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分式和它的基本性質(zhì) 一、分式的概念1、用A、B表示兩個(gè)整式，AB可以表示成 的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子 就叫做分式。這就是分式的概念。研究分式就從這里展開。2、既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意數(shù)值，但分母B不能為零，因?yàn)橛昧阕龀龜?shù)沒(méi)有意義。一般地說(shuō)，在一個(gè)分式里，分子中的字母可取任意數(shù)值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3、 （1）分式：，當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義。 （2）分式：，當(dāng)B0時(shí)，分式有意義。（3）分式：，當(dāng) 時(shí)，分式的值為零。（4）分式：，當(dāng) 時(shí)，分式的值為1。（5）分式：，當(dāng) 時(shí)，即 或 時(shí)， 為正數(shù)。（6）分式： ，當(dāng) 時(shí)，即 或 時(shí)，為負(fù)數(shù)。（7）分式： ，當(dāng) 時(shí)或 時(shí)，為非負(fù)數(shù)。 二、分式的基本性質(zhì)：1、學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比。不同點(diǎn)在于同乘以或同除以同一個(gè)不等于零的整式，這個(gè)整式可以是數(shù)也可以是字母，只要是不為零的整式。2、這個(gè)性質(zhì)可用式子表示為：（M為不等于零的整式）3、學(xué)習(xí)基本性質(zhì)應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1）分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零；（2）易范錯(cuò)誤是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。4、分式變號(hào)法則的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。5、分式的分子，分母和分式的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，如下列式子： ，。 三、約分：1、約分是約去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式，最簡(jiǎn)分式又叫既約分式。2、約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。3、約分的方法：如果分式的分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，就約去分子和分母中相同因式的最低次冪，當(dāng)分子和分母的系數(shù)是整數(shù)時(shí)，還要約去它們的最大公約數(shù)。 四、例題分析例1，請(qǐng)說(shuō)出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2） （3） （4） （5） a2- a（6）。解：根據(jù)分式定義知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。說(shuō)明：判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母。這里是分式，不能因?yàn)?= =a+b，而認(rèn)為 是整式，a+b是分式的值。要區(qū)分分式的值和分式這兩個(gè)不同的概念。另外是整式而不是分式。雖然分母中有，但不是字母而是無(wú)理數(shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的除式中不含字母。例2，在分式（1）（2） （3） 中，字母x的值有什么限制？解：（1）在中，當(dāng)x=2時(shí)，使得分母x-2=0，x2, （2）在中，當(dāng)x=-2時(shí)，使得分母x+2=0, x-2, （3）在中，當(dāng)x=-2或x=3時(shí)，使得分母(x+2)(x-3)=0，x-2且x3。 例3，x為何值時(shí)，分式，（1）無(wú)意義；（2）值為零；（3）值為1；（4）值為非負(fù)數(shù)。解： （1）當(dāng)分母2x+3=0時(shí)分式無(wú)意義，x=-時(shí)，分式無(wú)意義。（2）當(dāng) 時(shí)，分式值為零。，x=1時(shí)分式值為零。（3）當(dāng)時(shí)，分式值為1，x=-4時(shí)分式值為1。（4）當(dāng)或 時(shí)，分式值為非負(fù)數(shù)。 或 x1或x- 時(shí)分式值為非負(fù)數(shù)。例4，當(dāng)x取何值時(shí)，分式（1）值為零；（2）無(wú)意義；（3）有意義。解：（1）當(dāng)(x+3)(x-1)0時(shí)，分式有意義，當(dāng)x-3且x1時(shí)分式有意義。又6-2|x|=0時(shí)分式值為零，則3-|x|=0, |x|=3, x=3。 ， x=3時(shí)分式值為零。解：（2）(x+3)(x-1)=0分式無(wú)意義，即x+3=0或x-1=0，x=-3或x=1時(shí)分式無(wú)意義。說(shuō)明：對(duì)于（1）也可先令分子為零，求出字母的所有可能值為x=3后，再逐一代入分母驗(yàn)證是否為零，不為零者即為所求。對(duì)于（2）當(dāng)x+3=0或x-1=0時(shí)，都會(huì)使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。解：（3）(x+3)(x-1)0時(shí)分式有意義。即x+30且x-10時(shí)，x-3且x1時(shí)分式有意義，說(shuō)明：對(duì)于（3）分母(x+3)(x-1)只有不為零時(shí)，分式有意義，而(x+3)(x-1)0，當(dāng)x+3=0或x-1=0都會(huì)使(x+3)(x-1)=0，所以應(yīng)將x=-3和x=1都同時(shí)排除掉，寫成x-3且x1，用“且”字，而不用“或”字。意義為x不能為-3而且還不能為1，即-3和1都不能取。因?yàn)槿∪魏纹渲幸粋€(gè)值，分母(x+3)(x-1)都會(huì)為0，而使分式都會(huì)無(wú)意義。 例5，寫出等式中未知的分子或分母：（1） ；（2） ；（3）；（1）分析：這類問(wèn)題要從已知條件入手，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分析變化的過(guò)程，如（1）右邊分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左邊分母為x+y，所以需將左式的分子和分母同乘以(x-y)。解：，未知的分子是(x-y)2, （2）分析：左邊分子a2-ab=a(a-b)，而右邊分子是a-b，所以需將左式的分子和分母同除以a。解：= ，未知的分母是b。（3）a2+ab=a(a+b)（將分子因式分解）（比較分子，發(fā)現(xiàn)分子、分母同乘以a）=，2ab即為所求的分母。例6，把下列分式的分子和分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)。（1）；（2） ；（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數(shù)為15，再據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，分子和分母同乘以15。解：= 。（2）解：= = 注：必須乘以分子和分母的每一項(xiàng)，避免發(fā)生(0.2a+3b)10=2a+3b這樣的錯(cuò)誤。例7，不改變分式的值，使下列分式中分子與分母不含“-”號(hào)，（1）-；（2）- 。解：根據(jù)分式的符號(hào)法則得：（1）- = ；（2）-=- 。注意：分式、分子和分母的符號(hào)中，任意改變其中兩個(gè)，分式的值不變。（1）中改變分式本身和分母兩個(gè)負(fù)號(hào)，（2）中改變分子和分母兩個(gè)負(fù)號(hào)。例8，不改變分式的值，依照x的降冪排列，使分子和分母中x的最高項(xiàng)的系數(shù)都為正數(shù)。（1）；（2）- 。解：（1） = = ；（2）- =- =- =-。說(shuō)明：解題可分為三步：（1）先將分式的分子和分母都按x的降冪排列，這步只是運(yùn)用加法交換律，不改變符號(hào)。（2）將分子和分母的最高項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，只要提取公因式-1即可，提取時(shí)注意每項(xiàng)都要變號(hào)。（3）運(yùn)用符號(hào)法則進(jìn)行變號(hào)。注意：如果分子或分母的首項(xiàng)為負(fù)，則必須先將負(fù)號(hào)提到括號(hào)外面，再使用符號(hào)法則，要注意避免下列的錯(cuò)誤：= 。 例9，約分：（1）（2） 。解： （1） = =-3yz10。注意：分母的因式約去后得1，分式變?yōu)檎健Ｈ艋?jiǎn)分式時(shí)千萬(wàn)不要犯下列錯(cuò)誤： =0。（2）= = =- 。注意：分母的負(fù)號(hào)一般要移去。（2）如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先分解因式，然后再約分。例10、約分：（1）；（2） ；（3） ；（4）；（5） 。解：（1）= 。注意：不要把 約成 =，也不要將最后結(jié)果寫成 ，因?yàn)榉质降臋M線表示括號(hào)，再寫括號(hào)就多余了。（2）= 。注：不要將約做 ，因?yàn)檫@樣是分子分母都減a2，不是同除以相同的整式。（3）= = =x2+1。注：不要犯下面的錯(cuò)誤：=x3-x2。（4） = =- 。注意：這里應(yīng)用到了(2-x)3=-(x-2)3的變形。（5）= （分子按x的降冪排列）=（分子提取公因式-1）=（分子、分母都分解因式）=（約去公因式：x-1）=-（應(yīng)用分式的符號(hào)法則）說(shuō)明：此題的解法，一方面顯示出分式約分的一般步驟，另一方面在解題的右側(cè)的括號(hào)內(nèi)寫出運(yùn)算的算理，平日的化簡(jiǎn)是不寫這些的，但不是它不存在，在思維上它是不可缺少的。分?jǐn)?shù)的乘除法的關(guān)鍵是約分，而分式乘除法的關(guān)鍵也是約分，就是說(shuō)，分式乘除法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是約分，它能使運(yùn)算的結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式。同分?jǐn)?shù)的約分一樣，分式的約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子、分母同除以它們的公因式，把分式化簡(jiǎn)，因此約分的關(guān)鍵在于正確尋找到分式分子、分母中的公因式。測(cè)試選擇題1當(dāng)a=-2時(shí)，分式的值（）。 （A）等于零（B）不存在 （C）等于（D）等于- 2下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）（A）分式的分子與分母同時(shí)改變符號(hào)，分式的值不變（B）分式的分子與分母同除以一個(gè)非零常數(shù)m，分式的值不變（C）分式本身的符號(hào)、分子與分母的符號(hào)，同時(shí)改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變（D）分式的分子與分母同時(shí)平方，分式的值不變3把分式中的a, b都擴(kuò)大5倍，則分式的值（ ）（A）擴(kuò)大5倍 （B）縮小5倍 （C）擴(kuò)大8倍（D）不改變4要使成立，則未知分子x應(yīng)等于（ ）（A）(a+b)2 （B）(a-b)2 C）(a+b)(a-b)（D）a+b 5不改變分式的值，把-的分子、分母都按a的降冪排列，并且使最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，應(yīng)該等于（ ） （A）- （B） （C） （D）6給出下述變形：； ； 其中正確的變形是（）（A）和（B）和 （C）和（D）和7給出下述變形： ； -； - ； 其中正確的變形的個(gè)數(shù)為（ ） （A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè) （D）4個(gè) 8當(dāng)式子的值為零時(shí)，x的值是（ ）（A）5 （B）5 （C）1或5 （D）5或5 答案與解析 答案：1、B 2、D 3、D 4、A 5、B 6、B 7、D 8、B 解析：1、解：當(dāng)a=-2時(shí)，a+2=0，a2-4=(a-2)(a+2)=0. 因此當(dāng)a=-2時(shí)，分式的值不存在。 說(shuō)明“分式?jīng)]有意義”和“分式的值等于零”是兩個(gè)根本不同的概念，所謂“分式?jīng)]有意義”是指分式的分母的值為零；而“分式的值等于零”是指在分式有意義的前提下，分子的值為零。 6、解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，從左到右的變形是分子、分母同時(shí)除以一個(gè)整式a，a是分母的因式，所以a0，所以分子、分母同時(shí)除以的整式a是不等于零的整式，故是正確的變形（由于給定的的分子是有意義的，顯然有a0，b0）. 由于的分子、分母同乘以整式c，但c是否為零是無(wú)法確定的，故不正確。 由的分子、分母同除以a-2b，且a-2b0，故是正確的變形。 由于分子除以ab，而分母只有第一項(xiàng)除以ab，這種變形不符合分式的基本性質(zhì)，故不正確。 只有和是正確的變形，應(yīng)選B。 7、解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子、分母和分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不改變，所以上述變形都是正確的，應(yīng)選D。分式的意義和性質(zhì)考題例析1（福州市）當(dāng)x 時(shí)，分式有意義. 評(píng)析：使分式有意義，即分母不等于零，解不等式即可。求出字母取值為x1。2（徐州市）當(dāng)x= 時(shí)，分式 無(wú)意義；當(dāng)x= 時(shí)，分式的值為零。答案：1，-6 3（柳州）要使分式的值為零，則x=_. 解：由 得x=-2. 答：應(yīng)填-2。4. （廣州市）化簡(jiǎn)：得_答案：5（山西）若將分式（a、b均為正數(shù)）中的字母a、b的值分別擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則公式的值（）A、擴(kuò)大為原來(lái)的2倍 B、縮小為原來(lái)的C、不變D、縮小原來(lái)的分析：分析中a、b的值分別擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則原分式變形為= = ，這樣相當(dāng)于分子擴(kuò)大了2倍