計算機科學(xué)技術(shù)張宏偉矩陣答案.pdf

1 目錄目錄 第一章 誤差分析與向量與矩陣的范數(shù). 1 第二章 矩陣變換和計算 . 14 第三章 逐次逼近法. 32 附錄 I 矩陣分析介紹 . 45 第一章第一章 誤差分析與向量與矩陣的范數(shù)誤差分析與向量與矩陣的范數(shù) 一、內(nèi)容提要一、內(nèi)容提要 本章要求掌握絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字、誤差限的定義及其相互關(guān)系；掌握數(shù) 值穩(wěn)定性的概念、 設(shè)計函數(shù)計算時的一些基本原則和誤差分析； 熟練掌握向量和矩陣范數(shù)的 定義及其性質(zhì)。 1誤差的基本概念和有效數(shù)字 1） 絕對絕對誤差和相對誤差相對誤差的基本概念 設(shè)實數(shù)x為某個精確值，a為它的一個近似值，則稱ax為近似值a的絕對誤差絕對誤差，簡稱 為誤差誤差 當(dāng)0x時， x ax 稱為a的相對誤差相對誤差在實際運算中，精確值x往往是未知的，所 以常把 a ax 作為a的相對誤差 2） 絕對絕對誤差界界和相對誤差界相對誤差界的基本概念 設(shè)實數(shù)x為某個精確值，a為它的一個近似值，如果有常數(shù) a e，使得 a eax 稱 a e為a的絕對誤差界，或簡稱為誤差界誤差界稱 a ea 是a的相對誤差界相對誤差界 此例計算中不難發(fā)現(xiàn)，絕對誤差界和相對誤差界并不是唯一的，但是它們越小，說明a 近似x的程度越好，即a的精度越好 3） 有效數(shù)字 設(shè)實數(shù)x為某個精確值，a為它的一個近似值，寫成 n k aaaa 21 . 0 10 = 它可以是有限或無限小數(shù)的形式，其中), 2 , 1(=iai是9, 1, 0中的一個數(shù)字，ka, 0 1 為整 數(shù)如果 nk ax 10 2 1 則稱a為x的具有n位有效數(shù)字有效數(shù)字的近似值 2 如果a有n位有效數(shù)字，則a的相對誤差界滿足： n aa ax 1 1 10 2 1 。 4 4） 函數(shù)計算的誤差估計） 函數(shù)計算的誤差估計 如果),( 21n xxxfy=為n元函數(shù)，自變量 n xxx, 21 的近似值分別為 n aaa, 21 ， 則 )(),(),( 1 2121kk n k a k nn ax x f aaafxxxf = 其中 ),( 21n k a k aaaf xx f = ，所以可以估計到函數(shù)值的誤差界，近似地有 k a n k a k ann e x f eaaafxxxf = 1 2121 ),(),( 如果令2=n， 設(shè) 21, x x的近似值分別為 21, a a， 其誤差界為 1 11a eax和 22 ax 2 a e， 取 ),( 21 xxfy =為 21, x x之間的四則運算，則它們的誤差估計為， 1121 aaaa eee+ ； 1121 21aaaa eaeae+ ； 2 2 21 11 2 1 a eaea e aa a a + ， 0 2 a 。 數(shù)相加或減時，其運算結(jié)果的精度不會比原始數(shù)據(jù)的任何一個精度高 對于兩個數(shù)作相減運算時，由于其相對誤差界： 2121 2121 aa ee aa e aaaa + 。 如果 1 x和 2 x是兩個十分接近的數(shù)，即 1 a和 2 a兩個數(shù)十分接近，上式表明計算的相對誤 差會很大，導(dǎo)致計算值 21 aa 的有效數(shù)字的位數(shù)將會很少。 對于兩個數(shù)作相除運算時，由于其相對誤差界： 2 2 21 11 2 1 a eaea e aa a a + 。 從關(guān)系式中可以看出，如果 2 x很小，即 2 a很小，計算值 2 1 a a 的誤差可能很大。 5） 數(shù)值穩(wěn)定性的概念、設(shè)計算法時的一些基本原則 算法的數(shù)值穩(wěn)定性： 一個算法在計算過程中其舍入誤差不增長稱為數(shù)值穩(wěn)定。 反之， 成為數(shù)值不穩(wěn)定。不穩(wěn)定的算法是不能使用的。 在實際計算中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)兩個相近的數(shù)相減。 在實際計算中應(yīng)盡力避免絕對值很小數(shù)作除數(shù)。 注意簡化運算步驟，盡量減少運算次數(shù)。 多個數(shù)相加，應(yīng)把絕對值小的數(shù)相加后，再依次與絕對值大的數(shù)相加。 2 2向量和矩陣范數(shù) 把任何一個向量或矩陣與一個非負實數(shù)聯(lián)系起來， 在某種意義下， 這個實數(shù)提供了向量 和矩陣的大小的度量。對于每一個范數(shù)，相應(yīng)地有一類矩陣函數(shù)，其中每一個函數(shù)都可以看 作矩陣大小的一種度量。 3 范數(shù)的主要的應(yīng)用：范數(shù)的主要的應(yīng)用： 一、研究這些矩陣和向量的誤差估計一、研究這些矩陣和向量的誤差估計。 二、研究矩陣和向量的序列以及級數(shù)的收斂準(zhǔn)則。二、研究矩陣和向量的序列以及級數(shù)的收斂準(zhǔn)則。 1 1）向量范數(shù)）向量范數(shù) 定義定義 存在 n R（n維實向量空間）上的一個非負實值函數(shù)，記為xxf=)(，若該函數(shù) 滿足以下三個條件：即對任意向量x和y以及任意常數(shù)R（實數(shù)域） （1）非負性非負性 0x，并且0=x的充分必要條件為0=x; （2）齊次性齊次性xx=； （3）三角不等式三角不等式y(tǒng)xyx+ 則稱函數(shù)為 n R上的一個向量范數(shù) 常用三種的向量范數(shù) 設(shè)任意維向量 T n xxx),( 21 =x， （ T x為向量x的轉(zhuǎn)置） ， = = n i i x 1 1 x， 向量的 1-范數(shù) ()2 1 , 2 1 1 2 2 xxxxxx= = = T n i i ， 向量的 2-范數(shù) i ni xx = 1 max， 向量的-范數(shù) 一般情況下，對給定的任意一種向量范數(shù)，其加權(quán)的范數(shù)可以表為 xxW W =， 其中 W 為對角矩陣，其對角元作為它的每一個分量的權(quán)系數(shù)。 向量范數(shù)的連續(xù)性范數(shù)的連續(xù)性定理 n R上的任何向量范數(shù)x均為x的連續(xù)函數(shù)。 向量范數(shù)的等價性定理范數(shù)的等價性定理 設(shè) 和 為 n R上的任意兩種向量范數(shù)，則存在兩個與向量 x無關(guān)的正常數(shù) c1和 c2，使得下面的不等式成立 xxx 21 cc，其中 n xR. 2). 矩陣范數(shù) 定義 存在 nn R（nn維復(fù)矩陣集合）上的一個非負實值函數(shù)，記為AAf=)(，對 4 任意的A, nn RB均滿足以下條件： （1）非負性：對任意矩陣A均有0A，并且0=A的充分必要條件為OA =; （2）齊次性：AA=，C； （3）三角不等式：BABA+, nn RBA,； （4）相容性：BAAB, nn RBA,， 則稱為 nn R上的矩陣范數(shù)。 我們可定義如下的矩陣范數(shù)： = = m i n j ij m a 11 1 A，矩陣的 1 m-范數(shù) ( ) 2 1 11 2 = = m i n j ij F aA，矩陣的F-范數(shù)（Frobenius）范數(shù)。 （矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容性矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容性定義） 對于一種矩陣范數(shù) M 和一種向量范數(shù) V ，如 果對任意 nn 矩陣A和任意 n 維向量 x, 滿足 VMV xAAx， 則稱矩陣范數(shù)矩陣范數(shù) M 與向量范數(shù)與向量范數(shù) V 是相容的是相容的。 3 3）矩陣的算子范數(shù)）矩陣的算子范數(shù) 定理定理 已知 n R上的向量范數(shù) V ，A為 nn 矩陣，定義 V V V M V Ax x Ax A xx10 maxmax = = 則 M A是一種矩陣范數(shù)，且與已知的向量范數(shù)相容，稱之為矩陣的算子范數(shù)。矩陣的算子范數(shù)。 三種常用的矩陣的算子范數(shù)三種常用的矩陣的算子范數(shù) = = m i ij nj a 1 1 1 maxA； (列范數(shù)) = = n j ij mi a 1 1 maxA (行范數(shù)) 5 , )( max 2 AAA T = （譜范數(shù)） 其中)( max AAT表示矩陣AAT的最大特征值。 對任何算子范數(shù)，單位矩陣 nn RI 的范數(shù)為 1，即1=I。 可以證明：可以證明： 任意給定的矩陣范數(shù)必然存在與之相容的向量范數(shù)；任意給定的向量范數(shù)必然存在任意給定的矩陣范數(shù)必然存在與之相容的向量范數(shù)；任意給定的向量范數(shù)必然存在 與之相容的矩陣范數(shù)（如從屬范數(shù)） 與之相容的矩陣范數(shù)（如從屬范數(shù)） 一個矩陣范數(shù)可以與多種向量范數(shù)相容 （如矩陣一個矩陣范數(shù)可以與多種向量范數(shù)相容 （如矩陣 1 m范數(shù)與向量范數(shù)與向量p-范數(shù)相容） ； 多種范數(shù)相容） ； 多種 矩陣范數(shù)可以與一個向量范數(shù)相容 （如矩陣矩陣范數(shù)可以與一個向量范數(shù)相容 （如矩陣F范數(shù)和矩陣范數(shù)和矩陣2范數(shù)與向量范數(shù)與向量2范數(shù)相容） 。范數(shù)相容） 。 從屬范數(shù)一定與所定義的向量范數(shù)相容，但是矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容卻未必有從從屬范數(shù)一定與所定義的向量范數(shù)相容，但是矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容卻未必有從 屬關(guān)系。 （如，屬關(guān)系。 （如， F 與向量與向量 2 、 1 m 與向量與向量 1 相容，但無從屬關(guān)系） 。相容，但無從屬關(guān)系） 。 并非任意的矩陣范數(shù)與任意的向量范數(shù)相容。并非任意的矩陣范數(shù)與任意的向量范數(shù)相容。 4）矩陣范數(shù)的性質(zhì) 設(shè)為 nn R矩陣空間的一種矩陣范數(shù)，則對任意的 n 階方陣A均有 AA )( 其中其中()0detmax)(=AIA為方陣為方陣A的譜半徑。的譜半徑。 注意：注意：當(dāng) T AA =時，()()()( max 2 maxmax 2 AA=AAAAT。 對于任給的0, 則存在 nn R上的一種算子范數(shù) M （依賴矩陣A和常數(shù)） ， 使得 +)(AA M 對于 nn R上的一種算子矩陣范數(shù)，如果 nn RA且A1, 則AI n 可逆且 () A AI 1 1 1 n 二、典型例題分析二、典型例題分析 例例 1 11 1：下列近似值的絕對誤差限均為 0.005，問它們各有幾位有效數(shù)字？ 002.138=a，0312 . 0 =b， 4 1086 . 0 =c 解：解： 現(xiàn)將近似值寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： 3 10138002 . 0 =a, 1 10312 . 0 =b, 4 1086 . 0 =c, 在直接根據(jù)有效數(shù)字定義得出， 6 2 10 2 1 ax = nk23= n5=n，即a有 5 位有效數(shù)字； 2 10 2 1 bx = nk21=n1=n，即b有 1 位有效數(shù)字； 2 10 2 1 cx = nk24=n2=n，即c無有效數(shù)字。 例例 1 12 2：已知x的相對誤差為003 . 0 ，求 m a的相對誤差。 解：解：此題要利用函數(shù)計算的誤差估計，即取( ) m xxf=，( ) 1 = m xmxf，則由 ( )( )( )()axafafxf ，可推出 ()axamax mmm 1 ，故 m a的相對誤差為 m a ax m a ax m mm 003 . 0 = 。 例例 1 13 3：此為減少運算次數(shù)達到避免誤差危害的例子 利用 3 位算術(shù)運算求( )5 . 12 . 31 . 6 23 +=xxxxf在71 . 4 =x處的值。 表中給出了傳統(tǒng)的方法的計算的中間結(jié)果。 在這里我們使用了兩種取值法： 截斷法和舍入法。 x 2 x 3 x 2 1 . 6 x x2 . 3 精確值 4.71 22.1841 104.487 111 135.323 01 15.072 3 位數(shù)值（截斷法） 4.71 22.1 104 135 15.0 3 位數(shù)值（舍入法） 4.71 22.1 104 135 15.1 精確值：()5 . 1072.1501323.135111487.10471 . 4 +=f899263.14= 3 位數(shù)值（截斷法） ：()()() 5 . 135 . 1 0 . 1513410471 . 4 =+=f 3 位數(shù)值（舍入法） ：()()() 4 . 135 . 1 1 . 1513510571 . 4 =+=f 上述 3 位數(shù)值方法的相對誤差分別是 05 . 0 899263.14 5 . 13899263.14 + ，截斷法 06 . 0 899263.14 4 . 13899263.14 + ，舍入法 作為另一種辦法，用秦九韶方法（嵌套法）可將( )xf寫為 ( )5 . 12 . 31 . 6 23 +=xxxxf()()5 . 12 . 31 . 6+=xxx 那么，3 位數(shù)值（截斷法） ：()()() 2 . 145 . 171 . 4 2 . 371 . 4 1 . 671 . 4 71 . 4 =+=f ()5 . 171 . 4 2 . 371 . 4 38 . 1 += ()5 . 171 . 4 2 . 354 . 6 += 7 5 . 171 . 4 34 . 3 += 2 . 145 . 1 7 . 15=+= 3 位數(shù)值（舍入法） ：()()() 2 . 145 . 171 . 4 2 . 371 . 4 1 . 671 . 4 71 . 4 =+=f ()5 . 171 . 4 2 . 371 . 4 38 . 1 += ()5 . 171 . 4 2 . 355 . 6 += 5 . 171 . 4 35 . 3 += 3 . 145 . 1 8 . 15=+= 則相對誤差分別是 5004 . 0 899263.14 2 . 14899263.14 + ， （截斷法） 0025 . 0 899263.14 3 . 14899263.14 + ， （舍入法） 可見使用秦九韶方法 （嵌套法） 已將截斷近似計算的相對誤差減少到原方法所得相對誤 差的%10之內(nèi)。對于舍入近似計算則改進更大，其相對誤差已減少%95以上。 多項式在求值之前總應(yīng)以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是這種形式使得算術(shù)運算次 數(shù)最小化。 本例中誤差的減小是由于算術(shù)運算次數(shù)從 4 次乘法和 3 次加法減少到 2 次乘法和 3 次加法。減少攝入誤差的一種辦法是減少產(chǎn)生誤差的運算的次數(shù)。 例例 1 14 4：已知近似值21 . 1 1= a，65 . 3 2 =a，81 . 9 3 =a均為有效數(shù)字，試估計如下算 術(shù)運算的相對誤差。 321 aaa+ 解：由已知， 2 11 10 2 1 10 2 1 = nk ax； 2 22 10 2 1 ax； 2 33 10 2 1 ax。 令 () 321321 ,xxxxxxf+=，() 321321 ,aaaaaaf+=， 由函數(shù)運算的誤差估計式 () 321 ,xxxf() 321 ,aaaf ()() 11321 , 1 axaaafx+()() 22321 , 2 axaaafx+()() 33321 , 3 axaaafx ()() () 33221112 axaxaaxa+= 從而，相對誤差可寫成 ()() () 321 321321 , , aaaf aaafxxxf () 321 33221112 ,aaaf axaxaaxa+ + + 81 . 9 63 . 3 21 . 1 165 . 3 21 . 1 2 10 2 1 00206 . 0 = 若000 . 3 =x，100 . 3 =a， 8 則絕對誤差1 . 0= ax， 相對誤差為： 1 10333 . 0 0333 . 0 000 . 3 100 . 0 = = x ax ； 若0003000 . 0 =x，0003100 . 0 =a， 則絕對誤差 4 101 . 0 = ax， 相對誤差為： 1 10333 . 0 0003000 . 0 000100 . 0 = = x ax ； 若 4 103000 . 0 =x， 4 103100 . 0 =a， 則絕對誤差 3 101 . 0 = ax， 相對誤差為： 1 4 3 10333 . 0 103000 . 0 101 . 0 = = x ax ； 這個例子說明絕對誤差有較大變化時，相對誤差相同。作為精確性的度量，絕對誤差 可能引起誤解，而相對誤差由于考慮到了值的大小而更有意義。 例例 1 15 5：在 2 R中用圖表示下面的點集，并指出它們的共同性質(zhì)。 2 Rxxx=, 1 1 1 S， 2 Rxxx=, 1 2 2 S， 2 Rxxx= , 1 3 S 解： 這些點集的共同性質(zhì)是：它們都是有界、閉的、凸的，關(guān)于原點對稱的。 例例 1 16 6：+= n xxxx （2）對任給C， nT n Cxxx=),( 21 x，則 2 22 2 2 1 222 2 2 1 2 xx=+=+= nn xxxxxx （3） 對任給 nT n Cxxx=),( 21 x， nT n Cyyy=),( 21 y則由 Cauchy-Schiwatz 不等式： 22 ),(),(),(yxyyxxyx=可得 ),(),(),(),(),( 2 2 yyyxxyxxyxyx+=+ yx 2 2 2 2 ),(2yyxx+ 2 2 2 2 2yyxx+, = 2 22 )(yx+。 由向量范數(shù)的定義， 2 為 n C空間上的向量范數(shù)。 例例 1 18 8 設(shè)A= 420 001 ，求 1 m A、 F A、 1 A、 A和 2 A。 解：解：7421 3 1 2 1 1 =+= =j ij i m aA；21421 22 3 1 2 2 1 =+= =j ij i F aA 44, 2, 1maxmax 1 2 1 1 1 = = nj i ij nj aA；66, 1maxmax 1 3 1 1 = = nj j ij ni aA； 注意到，A T A= 40 20 01 420 001 = 1680 840 001 ，令 ()()()()()01641641 1680 840 001 det= = AAI T 得，)(AAT20=，從而5220)( max 2 =AATA。 1.1.4 4 習(xí)題解答習(xí)題解答 1、解解 10 （1）有定義， 1 A= 3, A= 5, F A=14, 2 A=1027 +及)(A= 3。 (2) 4 )12, 4, 0, 3(R= T x，則 1 x= 19, x= 12, 2 x= 13。 (3)（是） ；為給定向量 1-范數(shù)的加權(quán)的范數(shù)，其中取對角矩陣， = 3 2 1 W 。 （不是） ；不滿足向量范數(shù)性質(zhì) 1； （不是） ；不滿足向量范數(shù)性質(zhì) 1。 (4) a =8.3667。因43666002653 . 8 70 =，8 1= a，要是得相對誤差限不超過 %1 . 0，即001 . 0 70 a a ，則001 . 0 10 16 1 2 10 70 1 1 1 = n n aa a 時，有4=n。 2、只就（2）證明 ，由定義可得， 2 1 22 2 1 222 maxmax = =xnxxxxx n k k k n k kk k 從而， xxxn 2 。 3、首先，證明Pxx P =是一向量范數(shù)。事實上， 1） 因 nn RP是非奇異矩陣， 故0x，0Px， 故0=Px時，0=x， 且當(dāng)0=x 時，0=Px，于是，Pxx P =0當(dāng)且僅當(dāng)0=x時，Pxx P =0 成立； 2）對R，()() PP xPxPxxPx=； 3）() PPP yxPyPxPyPxyxPyx+=+=+=+。 故 P x是一向量范數(shù)。再 () Px PxPAP Px PAx x Ax A xx P P x P 1 000 maxmaxmax =， 令Pxy =，因P非奇異，故x與y為一對一，于是于是 () 1 1 0 max =PAP y yPAP A y P 4、證明：(1)，由算子范數(shù)的定義 () () 1maxmaxmaxmaxmax 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 = x x x xx x UxUx x UxUx x Ux x H x HH x H xx U； 11 證明：(2)， = 2 AU()()AUAU H max =()()UAAU HH max =()AAH max = 2 A， = 2 UA()()UAUA H max =()()AUUA H max =()AAH max = 2 A。 此結(jié)論表明酉陣具有保 2-范數(shù)的不變性。 5、解： （1）由于 1 10 2 1 A xe，由有效數(shù)字定義可知， A x有 2 位有效數(shù)字；又2 1= a， 再由相對誤差界的公式， 121 10 4 1 10 22 1 = A A x xe ； （2）由于 3 10 2 1 A xe，由有效數(shù)字定義可知， A x有 4 位有效數(shù)字；又2 1= a， 再由相對誤差界的公式， 341 10 4 1 10 22 1 = A A x xe ； （3）由于 3 10 2 1 A xe，由有效數(shù)字定義可知， A x有 2 位有效數(shù)字；又2 1= a， 再由相對誤差界的公式， 121 10 4 1 10 22 1 = A A x xe ； （4）由于 5 10 2 1 A xe，由有效數(shù)字定義可知， A x有 4 位有效數(shù)字；又2 1= a， 再由相對誤差界的公式， 341 10 4 1 10 22 1 = A A x xe 。 6、給定方程0126 2 =+xx，利用961.12168 ，求精確到五位有效數(shù)字的根。 并求兩個根的絕對誤差界和相對誤差界。 解： 由二次方程求根公式知，16813 1 +=x，16813 2 =x。 若利用961.12168 ， 則近似根961.25 1= a具有 5 位有效數(shù)字，而16813 2 =x 2 039 . 0 961.1213a=， 只有 2 位有效數(shù)字。若改用 16813 2 =x + = 961.25 1 16813 1 038519 . 0 2 a= 則此方程的兩個近似根 1 a， 2 a均具有 5 位有效數(shù)字。它們的絕對誤差界和相對誤差界分別 為： 352 11 10 2 1 10 2 1 = ax； 451 1 11 10 50 1 10 252 1 = a ax 12 651 22 10 2 1 10 2 1 = ax； 451 2 22 10 6 1 10 32 1 = a ax 。 7 = += 50 1 100 1 545494 i i i i s，其中8 . 0= i ，2= i 計算機作加減法時，先將相加數(shù)階碼對齊，根據(jù)字長舍入，則 個100 666 100000008 . 0 100000008 . 0 1054549 . 0 +=s 個50 66 10000002 . 0 10000002 . 0 + 6 1054549 . 0 = 545494 與 6 1000008 . 0 和 6 1000002 . 0 在計算機上做和時，545494由于階碼升為 5 位尾數(shù)左移變成機器零，這便說明用小數(shù)做除數(shù)或用大數(shù)做乘數(shù)時，容易產(chǎn)生大的舍入誤 差，應(yīng)盡量避免 若改變運算次序，先把 i 100相加， i 50相加。再與54549相加。即 6 50100 1054549 . 0 228 . 08 . 0+= 個個 s 62 1054549 . 0 50102 . 0108 . 0+= 5456701054567 . 0 1054549 . 0 1000018 . 0 1054549 . 0 108 . 1 66662 =+=+= 8分析：分析：由于)1ln()( 2 =xxxf，求)(xf的值應(yīng)看成復(fù)合函數(shù)。先令 1 2 =xxy， 由于開方用六位函數(shù)表， 則y的誤差為已知， 故應(yīng)看成)ln()(yygz=， 由y的誤差限 * yy 求)(yg的誤差限)ln()ln( * yy 。 解：解：當(dāng)30=x時求13030 2 =y，用六位開方表得 167 . 0 100167 . 0 9833.2930 1* = y，其具有 3 位有效數(shù)字。故 431* 10 2 1 10 2 1 10 2 1 = nk yy。 由)ln()(yygz=，得 y yg 1 )(=，故 y yy zz * * 。于是， 24 * * * 103 . 010 0167 . 0 5 . 0 y yy zz。 13 若用公式)1ln()( 2 +=xxxf，令1 2 +=xxy，此時)ln()(yygz=，則 599833 . 0 109833.599833.2930 2* =+=y，其具有 6 位有效數(shù)字。故 462* 10 2 1 10 2 1 10 2 1 = nk yy。 而 y yy zz * * 。于是， 64 * * * 10834 . 0 10 9833.59 5 . 0 y yy zz 可見，用公式)1ln()( 2 +=xxxf計算更精確。 9解解：方法（1）的誤差由 Taylor 展開可得， 10 1 5 5 !10 e ae，其中在5與 0 之間。而方法（2）得誤差是 1 9 0 1 9 0 10 1 5 ! 5 5 !10! 5 = = += i i i i i e i ae = 1 9 0 1 9 0 10 10 ! 5 5 !10! 5 5 !10 = = + i i i i i e i e = = = = 9 0 5 10 9 0 5 10 ! 5 !10 5 ! 5 !10 5 i i i i i e i e e ，其中055。 由此可知方法（2）得誤差是方法（1）的 7 . 143 1 ! 5 1 9 0 =i i i 倍，故方法（2）給出較準(zhǔn)確的 近似值。 10解：所給出的 5 個公式可分別看作 ( )()61= xxf，( )() 6 1 1 += xxf，( )()3 2 23xxf=，( )()3 2 23xxf=， ( )() 3 3 23 +=xxf，( )xxf7099 4 = 取2=x的近似值4 . 1=a時，相應(yīng)函數(shù)的計算值。而=02 . 0 2a。利用函 數(shù)計算的誤差估計公式可得： ()( )( )06144 . 0 4 . 061622 5 5 aaafaff； 14 ()( )01308 . 0 4 . 26162 7 7 11 + aaff； ()( )24 . 0 4 . 062362 2 22 aaff； ()( )+ 005302 . 0 2362 4 33 aaff； ()( )702 44 aff。由此可見，使用公式 () 3 223 1 + 計算時誤差最小。 11以（2）和（3）為例其它同理 解：解： （2）只需取 + =+ x x x xx x x x x 11 211 ； （3） ) 1(1 1 ) 1( 1 1 2 + =+= + + NN NN x dx N N arctgarctgarctg。 注：令NNarctgarctg=+=),1(，則N=tg，1tg+= N。 由于NNarctgarctg+=) 1(，由差角公式： tgtg1 tgtg )(tg + = 。得 tgtg1 tgtg arctg + =，進而有 ) 1(1 1 ) 1( + =+ NN NNarctgarctgarctg。 第二章第二章 矩陣變換和計算矩陣變換和計算 一、內(nèi)容提要一、內(nèi)容提要 本章以矩陣的各種分解變換為主要內(nèi)容，介紹數(shù)值線性代數(shù)中的兩個基本問題：線性 方程組的求解和特征系統(tǒng)的計算， 屬于算法中的直接法。 基本思想為將計算復(fù)雜的一般矩陣 分解為較容易計算的三角形矩陣. 要求掌握 Gauss（列主元）消去法、矩陣的（帶列主元的） LU分解、平方根法、追趕法、條件數(shù)與誤差分析、QR 分解、Shur 分解、Jordan 分解和奇 異值分解. (一) 矩陣的三角分解及其應(yīng)用 1矩陣的三角分解及其應(yīng)用 考慮一個n階線性方程組bAx =的求解，當(dāng)系數(shù)矩陣具有如下三種特殊形狀：對角矩 陣D，下三角矩陣L和上三角矩陣U，這時方程的求解將會變得簡單. = n d d d D 2 1 , = nnnn lll ll l L 21 2221 11 , = nn n n u uu uuu U 222 12111 . 15 對于bDx =，可得解為 iii dbx/=,ni, 2 , 1=. 對于bLx =，可得解為 1111 /lbx =, ii i k kikii lxlbx/ )( 1 1 = =,ni, 3 , 2=. 對于bUx =，可得解為 nnnn