第26屆全國中學生物理競賽決賽試題理論部分及標準答案.pdf

第 26 屆全國中學生物理競賽決賽試題理論部分及標準答案 一 填空題 每題 5 分 共 20 分 1 某光滑曲面由曲線 yf x 繞豎直y軸旋轉(zhuǎn)一周形成 一自然半徑為a 質(zhì)量為m 勁 度系數(shù)為k的彈性圓環(huán)置于該曲面之上 能水平靜止于任意高度 則曲線方程為 參考答案 2 2 2 yCxa mg C 為任意常數(shù) 2 如圖所示的電阻框架為四維空間中的超立方體在三維空間中的投影模 型 可視為內(nèi)外兩個立方體框架 對應頂點互相連接起來 若該結構 中 每 條 棱 均 由 電 阻R的 材 料 構 成 則AB節(jié) 點 間 的 等 效 電 阻 為 參考答案 7 12 R 3 某種蜜蜂的眼睛能夠看到平均波長為500nm的光 它是由 5000 個小眼構成的復眼 小眼 一個個密集排放在眼睛的整個表面上 小眼構造很精巧 頂部有一個透光的圓形集光裝置 叫角膜鏡 下面連著圓錐形的透明晶體 使得外部入射的光線匯聚到圓錐頂點連接的感光細 胞上 入射進入一個小眼的光線不會透過錐壁進入其他小眼 從而造成一個 影像點 像 素 所有小眼的影像點就拼成了一個完整的像 若將復眼看作球面圓錐 球面半徑 1 5rmm 則蜜蜂小眼角膜鏡的最佳直徑 d 約為 請給出兩位有效數(shù)字 參考答案 30 m 4 開路電壓 0 U與短路電流 SC I是半導體 p n 結光電池的兩個重要技術指標 試給出兩者之間 的關系表達式 0 U 式中各符號代表的物理量分別 為 參考答案 0 ln1 SC S IkT U eI 式中 e 為電子電量的絕對值 k 為波爾茲曼常量 T 為絕 對溫度 S I為 p n 結的反向飽和電流 評分標準 本題共 20 分 第 1 2 題每題填對均得 5 分 第 3 題只要答案在 27 30m 之間即得 5 分 否則 0 分 第 4 題第一空格占 4 分 第二空格占 1 分 二 15 分 天體或微觀系統(tǒng)的運動可借助計算機動態(tài)模擬軟件直觀顯示 這涉及幾何尺寸 的按比例縮放 為使顯示的運動對縮放后的系統(tǒng)而言是實際可發(fā)生的 運動時間也應縮放 1 在牛頓力學框架中 設質(zhì)點在力場 F r中作軌道運動 且有 k FrF r k為常 數(shù) r為位矢 若幾何尺寸按比率 縮放顯示 確定運行時間的縮放率 2 由此證明 行星繞太陽軌道運動周期的平方與軌道幾何尺寸的立方成正比 參考答案 1 設位矢 時間縮放分別為 rr tt 故速度 加速度滿足關系 00 limlim tt rr vv tt 1 22 0 0 limlim t t vv av tt 2 縮放前后質(zhì)點均滿足牛頓運動方程 即 maF r 3 maF r 4 利用 2 式及 k FrF r 4 式化簡為 12 k maF r 5 對照 3 式 得 1 2 k 6 2 萬有引力場中 有2k 設想軌道尺寸按 l 7 縮放 則周期按 1 2 8 縮放 故有 22 33 ll 9 評分標準 本題共 15 分 第一小題占 10 分 正確得出 6 式得得 10 分 其中正確得出 5 式得 5 分 第二小題占 5 分 正確得出 9 式得 5 分 三 20 分 在水平面上有兩根垂直相 交的內(nèi)壁光滑的連通細管 管內(nèi)放置兩 個質(zhì)量均為 m 電荷量均為 q 的同號帶 點質(zhì)點 A 和 B 初始時 質(zhì)點 A 至兩管 交點 O 的距離為 d 質(zhì)點 B 位于交點 O 處 速度相互垂直 方向如圖所示 大 小均為 2 0 kq u md k 為靜電力常量 求在以后的運動中 它們之間的最小距 y x A u0 B u0 O d 離 參考答案 兩質(zhì)點的相對位矢為 ABrrr rr 記其單位矢量為r r e r r r 由于質(zhì)點約束在管內(nèi)運動 所受合力必定沿運動方向 即靜電力沿運動方向的分力 兩質(zhì)點運動方程 2 2 Ar kq maei i r uurur r r 2 2 Br kq maej j r uurur r r 1 相減可得 2 2 r kq mae r rur 2 其中 BA aaa ruuruur 為 B 相對于 A 的加速度 2 式表明 B 相對于 A 的運動即力心固定之庫 侖勢場中質(zhì)點的 m 運動 其電勢能為 2 2 kq U r 3 中心力場中運動質(zhì)點的角動量 能量守恒 此處角動量與能量均應為 B 相對 A 的運動的值 可由初始條件定出 2 00 kq Lmdiu ju imd md rrr 4 22 2 00 1 2 2 kqkq Emu ju i dd rr 5 所求量即近力心點到力心的距離 m r 該點速度 m u必與矢徑 mr r e ur 垂直 故有 2 mm kq mr umd md 6 22 2 2 1 2 2 m m kqkq mru rd 7 從而解得 15 4 rd 8 評分標準 本題共 20 分 正確得出 3 式得 10 分 4 5 6 7 與 8 各占 2 分 四 10 分 熱機和熱泵利用物質(zhì)熱力學循環(huán)實現(xiàn)相反功能 前者從高溫處吸熱 將部分熱 量轉(zhuǎn)化為功對外輸出 其余向低溫處放出 后者依靠外界輸入功 從低溫處吸熱 連同外界 做功轉(zhuǎn)化成的熱量一起排向高溫處 按熱力學第二定律 無論熱機還是熱泵 若工作物質(zhì)循 環(huán)過程中只與溫度為 12 T T的兩個熱源接觸 則吸收的熱量 12 Q Q滿足不等式 12 12 0 QQ TT 其中熱量可正可負 分別表示從熱源吸熱與向熱源放熱 原供暖設備原本以溫度 T0的鍋爐釋放的熱量向房間直接供暖 使室內(nèi)溫度保持恒溫 T1 高于戶外溫度 T2 為提高能源利用率 擬在利用原有能源的基礎上采用上述機器改進供暖 方案 與直接供暖相比 能耗下降的理論極限可達到多少 參考答案 為表述方便 以下熱量均用絕對值表示 可以采用熱機熱泵聯(lián)合供暖方案 利用熱機從鍋爐吸收熱量 轉(zhuǎn)化為功 此功驅(qū)動熱泵 從戶外吸熱 向室外放熱 熱機的高溫熱源鍋爐 低溫熱源可選室內(nèi)或戶外環(huán)境 以室外為例 設熱機從鍋爐吸熱 0 Q 向室外放熱 10 Q 則有 010 00 0 QQ TT 1 熱泵的高 低溫熱源分別為室內(nèi) 戶外環(huán)境 設熱泵從戶外吸熱 2 Q向室外放熱 12 Q則有 2 通過熱機 熱泵聯(lián)合工作 室內(nèi)獲得的總能量為 11012 QQQ 3 將 1 2 兩式相加 得 021 021 0 QQQ TTT 4 若熱機以戶外環(huán)境為低溫熱源 同理可得上式 由能量守恒定律給出 102 Q QQ 5 直接供暖時 給室內(nèi)供熱 1 Q鍋爐所釋放的熱量為 122 12 0 QQ TT 01 QQ 6 聯(lián)立 4 5 兩式 可得熱機熱泵供暖鍋爐釋放的熱量為 012 01 102 T TT QQ T TT 7 能耗下降率為 00201 0102 QQT TT QT TT 8 理論極限為上式取等號 本題共 10 分 其中 4 式占 4 分 五 15 分 磁場會影響電子的運動 從而使存在磁場時的電流與電壓之間的關系偏離我們 熟悉的歐姆定律 本題研究的問題即為一例 設 xoy 平面內(nèi)有密度 單位體積內(nèi)的電子數(shù) 為 n 的二維電子氣 平面內(nèi)沿 x 軸方向 存在均勻電場EEi u rr i r 為軸正方向的單位矢量 垂直于平面的 z 軸方向存在勻強磁場 磁感應強度為BBk u rr k r 為 z 軸正方向的單位矢量 已知平面內(nèi)的電子運動受到的散射阻 力與速度v成正比 可等效地用一時間參量 描述為 mv m 為電子質(zhì)量 試求在穩(wěn)態(tài)沿 x 和 y 方向的電流密度 大小為垂直于電流方向單位長度的電流 x j和 y j 將結果用電子 電荷量絕對值 e n m E 及 表示出 eB m 參考答案 列出 x 和 y 方向的二維電子的牛頓方程如下 x xy mv maeEev B 1 y yx mv maev B 2 在穩(wěn)態(tài) v不隨時間變化 電子無加速度 0 xy aa 因此由 2 式得 yx vv 3 代入 1 式得 22 1 x e E v m 4 根據(jù)定義 xx jnev 5 yy jnev 6 2 22 1 x neE j m 22 22 1 y neE j m 可見在垂直于電場的方向上也產(chǎn)生電流 評分標準 本題共 15 分 其中 1 式與 2 式各占 2 分 其中0 xy aa 各占 2 分 3 式與 4 式各占 1 分 5 式 6 式共占 3 分 7 式與 8 各占 1 分 六 25 分 如圖 A 所示的兩塊平行薄板 由理想導體構成 板間距為 d y 方向無限延伸 兩板間沿垂直于 y 方向傳播的電磁波沿 x 正方向以行波形式傳播 其電場可表述為 0 22 sin sin zx zx EEt 式中 為圓頻率 t 為時間 zx 為待定參量 這種結構的組合可以制成實用的微波發(fā)射天 線 用來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的巨大拋物面天線 可以大幅度降低天線成本 1 證明 z 只能取如下值 2 1 2 3 z d m m 2 當 m 1 時 求 z 3 如將一系列板間距相等而長度不等的理想導體相對于沿 y 方向無限延伸的線狀波源 與紙 面交與 O 點 平行對稱疊排 板的右端對齊 面板的長度有一定的分布 此結構與與紙面 相交的截面圖如圖 B 所示 則在這一結構的右端可輸出沿 x 方向傳播的平面電磁波 試給 出滿足這一要求的板堆在 xoz 截面內(nèi)左側邊緣 如圖 b 所示 所滿足的曲線方程 取 m 1 y x z O 圖 A x O z 圖 B 已知波源到板堆左端的水平距離為 L 參考答案 1 已知兩板間的電磁波的電場強度 E 為 0 22 sin sin zx zx EEt 1 由于是理想導體板 當 z 0 和 d 時應有 E 0 從而 2 2 1 2 3 z z d d mm m 2 2 對于 1 式描述的電磁波 可以通過 1 sinsin cos cos 2 3 表達為兩列平面電磁波的疊加 12 EEE 10 122 cos 2 xz xz EEt 4 20 122 cos 2 xz xz EEt 式中兩列電磁波的波長 0 都可表達為 222 2 0 111 2 xz c 5 當 m 1 2 z d 2 1 1 22 z cd 6 3 因此 x 方向的波速 x v為 2 2 1 xx c v c d 7 如圖所示 設板堆左端任一點 P 到波源的距離 OP R OP 與水平線的交角為 要使得輸出 為沿水平方向的平面波 應滿足 cos x RLR L c cv 8 由此可得 22 11 11cos cc RL dd 9 評分標準 本題共 25 分 第一小題 5 分 第二小題 10 分 第三小題 10 分 其中 2 式占 5 分 5 式占 6 分 6 式占 4 分 8 式占 6 分 七 35 分 1 在經(jīng)典的氫原子模型中 電子圍繞原子核做圓周運動 電子的向心力來自于 核電場的作用 可是 經(jīng)典的電磁理論表明電子做加速運動會發(fā)射電磁波 其發(fā)射功率可表 示為 拉莫爾公式 22 3 0 6 e a P c 其中 a 為電子的加速度 c 為真空光速 0 1 4 k 8 854 10 12 F m 1 電子電荷量絕對值 e 1 602 10 19C 若不考慮相對論效應 試估 計在經(jīng)典模型中氫原子的壽命 實驗測得氫原子的結合能是13 6 H EeV 電子的靜止 質(zhì)量 31 0 9 109 10mkg 2 帶點粒子加速后發(fā)射的電磁波也有重要的應用價值 當代科學研究中應用廣泛的同步輻射 即是由以接近光速運動的電子在磁場中作曲線運動改變運動方向時所產(chǎn)生的電磁輻射 電子 存儲環(huán)是同步輻射光源裝置的核心 存儲環(huán)中的電子束團通過偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的 同步輻射光 上海光源是近年來建成的第三代同步輻射光源 它的部分工作參數(shù)如下 環(huán)內(nèi) 電子能量3 50EGeV 電子束團流強300ImA 周長 L 432m 單元數(shù) 裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的 彎道數(shù)量 N 20 偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場的磁感應強度 B 1 27T 使計算該設備平均每個光口的輻射 總功率 P0 在電子接近光速時 若動量不變 牛頓第二定律仍然成立 但拉莫爾公式不再適用 相應 的公式變化為 22 4 3 0 6 e a P c 其中 2 0 E m c E 為電子總能量 2 0 m c為電子的靜止能 量 3 由于存儲環(huán)內(nèi)的電子的速度接近光速 所以同步輻射是一個沿電子軌道的切線方向的光 x O z R P 錐 光錐的半頂角為 1 由此可見電子的能量越高 方向性越好 試計算 上述設備在 輻射方向上某點接受到的單個電子產(chǎn)生的輻射持續(xù)時間T 本題結果均請以三位有效數(shù)字表示 參考解答 1 由方程 Fma 1 2 v a r 2 2 2 0 1 4 e F r 3 可推導出電子的總能量為 2 0 0 8 e U r 4 由條件13 6 H EeV 推導出氫原子的軌道半徑和運動速度分別為 11 0 5 29 10rm 5 6 0 2 19 10 vm s 6 由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率 22 3 0 6 e a P c 6 33324 00 96 e cm r 7 在微小的時間間隔t 中 輻射使電子的總能量 U 減少 UP t 8 22 2 00 11 88 ee Ur rrrr 9 其中r 為電子軌道半徑的減少量 由此可導出時間和半徑 r 的變化方程 23222 2 00 4 12 4 cm r trArr e 10 其中 322 0 4 3 cm A e 構造一個半徑為 r0 的球體 則 2 4 rr 即為距離球心為 r 的薄球殼的體積 在 0 r到 0 的求和過程中可以算出球的體積為 3 0 4 3 r 對應本題情況解出電子軌道從 0 r減少到 0 所需的 時間為 23223 00 4 4cm r t e 11 代入數(shù)據(jù) 得 11 1 56 10s 12 2 對于高能電子有 vc 1 2 Emc 2 2 v a r 3 FeBc 4 Fma 5 以上條件可以得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑 E R ecB