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9.(湖北省八校高2008第二次聯(lián)考)在數(shù)列中,若(為常數(shù)),則稱為“等差比數(shù)列”. 下列是對“等差比數(shù)列”的判斷:不可能為0 等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列 等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列 等差比數(shù)列中可以有無數(shù)項為0其中正確的判斷是( )A B C D 答案:D10.(湖南省岳陽市2008屆高三第一次模擬)對于一個有限數(shù)列,的蔡查羅和(蔡查羅為一數(shù)學(xué)家)定義為,其中,若一個99項的數(shù)列的蔡查羅和為1000,那么100項數(shù)列的蔡查羅和為( )A991 B.992 C.993 D.999答案:A設(shè)等比數(shù)列的首相為,公比為q ,則“ 0 且0 q 1)。設(shè)=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (I) 若= 1,d=2,q=3,求 的值;(II) 若=1,證明(1-q)-(1+q)=,n; () 若正數(shù)n滿足2nq,設(shè)的兩個不同的排列, , 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力,滿分14分。()解:由題設(shè),可得所以, ()證明:由題設(shè)可得則 式減去式,得 式加上式,得 式兩邊同乘q,得 所以, ()證明: 因為所以 (1) 若,取i=n (2) 若,取i滿足且由(1),(2)及題設(shè)知,且 當時,得即,又所以 因此 當同理可得,因此 綜上,37.(2009年上海卷理)已知是公差為的等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列。(1) 若,是否存在,有說明理由; (2) 找出所有數(shù)列和,使對一切,并說明理由;(3) 若試確定所有的,使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項,請證明。解法一(1)由,得, 2分整理后,可得,、,為整數(shù), 不存在、,使等式成立。 5分(2)若,即, (*)()若則。 當為非零常數(shù)列,為恒等于1的常數(shù)列,滿足要求。 7分()若,(*)式等號左邊取極限得,(*)式等號右邊的極限只有當時,才能等于1。此時等號左邊是常數(shù),矛盾。綜上所述,只有當為非零常數(shù)列,為恒等于1的常數(shù)列,滿足要求。10分【解法二】設(shè) 則(i) 若d=0,則 (ii) 若(常數(shù))即,則d=0,矛盾綜上所述,有, 10分(3) 設(shè).,. 13分取 15分由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1, 故當且僅當p=3s,sN時,命題成立. 說明:第(3)題若學(xué)生從以下角度解題,可分別得部分分(即分步得分)若p為偶數(shù),則am+1+am+2+am+p為偶數(shù),但3k為奇數(shù)故此等式不成立,所以,p一定為奇數(shù)。當p=1時,則am+1=bk,即4m+5=3k,而3k=(4-1)k=當為偶數(shù)時,存在,使3k成立 1分當p=3時,則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3(4m+9)=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知,當k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時,存在m, 4m+9=3k成立 2分當p=5時,則am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍數(shù),所以,當p=5時,所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立. 2分38.(2009重慶卷理)設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈()若,且是公差為的等差數(shù)列,而是公比為的等比數(shù)列;數(shù)列的前項和滿足:,求通項;()若每個數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項,求證:; 解:(I)因是公比為d的等比數(shù)列,從而 由 ,故 解得或(舍去)。因此 又 。解得從而當時,當時,由是公比為d的等比數(shù)列得因此(II)由題意得有得 由,得, 故. 又,故有.下面反證法證明:若不然,設(shè)若取即,則由得,而由得得由得而及可推得()與題設(shè)矛盾同理若P=2,3,4,5均可得()與題設(shè)矛盾,因此為6的倍數(shù)由均值不等式得由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等(否則,從而與題設(shè)矛盾),故等號不成立,從而又,由和得因此由得8.(2009冠龍高級中學(xué)3月月考)由函數(shù)確定數(shù)列,函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列,若對于任意,都有,則稱數(shù)列是數(shù)列的“自反數(shù)列”。(1)若函數(shù)確定數(shù)列的自反數(shù)列為,求的通項公式;(2)在(1)條件下,記為正數(shù)數(shù)列的調(diào)和平均數(shù),若,為數(shù)列的前項和,為數(shù)列的調(diào)和平均數(shù),求;(3)已知正數(shù)數(shù)列的前項之和。求的表達式。解:(1)由題意的:f 1(x)= f(x)=,所以p = 1,所以an= (2) an=,dn=n, Sn為數(shù)列dn的前n項和,Sn=,又Hn為數(shù)列Sn的調(diào)和平均數(shù),Hn= = (3)因為正數(shù)數(shù)列cn的前n項之和Tn=(cn+),所以c1=(c1+),解之得:c1=1,T1=1 當n2時,cn = TnTn1,所以2Tn = TnTn1 +, Tn +Tn1 = ,即:= n,所以,= n1,= n2,=2,累加得:=2+3+4+ n, =1+2+3+4+ n =,Tn=16.(黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試)已知
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