數(shù)學(xué)分析(2)期末試題集(計(jì)算題第二部分).doc

廣義積分問題 1. 計(jì)算. 解 被積函數(shù)有奇點(diǎn),因而問題屬暇積分,但易知,該暇積分收斂2. 求的最大、最小值.解 因?yàn)闉榕己瘮?shù),故只需求函數(shù)在上的最大、最小值.令,得為唯一駐點(diǎn),且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.因此為極大值點(diǎn),即最大值點(diǎn),函數(shù)的最大值為,又,因此最小值為0. 3. 討論的收斂性(為常數(shù)) 解 當(dāng)時(shí), ,發(fā)散. 當(dāng)時(shí), ,所以,當(dāng)時(shí),廣義積分收斂;當(dāng)時(shí),廣義積分發(fā)散(極限不存在).4. 討論廣義積分的收斂性.解 因?yàn)闉橄军c(diǎn),于是,廣義積分是混合型,應(yīng)分別進(jìn)行討論.由于,而收斂,故收斂,由于,而收斂,故收斂,所以廣義積分收斂.5. 設(shè)為任意實(shí)數(shù),討論的收斂性.解 因?yàn)闉橄军c(diǎn),該廣義積分為混合型, .對(duì)于第一個(gè)積分,當(dāng)時(shí),與為同階無窮大量,因此,當(dāng)時(shí),收斂(注意:當(dāng)時(shí),此積分為普通定積分)對(duì)于第二個(gè)積分,取比較對(duì)象.考慮極限,該極限只有在時(shí)才存在(等于零或),因此,當(dāng),即時(shí),第二個(gè)積分收斂,而時(shí),第二個(gè)積分顯然發(fā)散.綜上分析,原廣義積分在時(shí)收斂,當(dāng)或時(shí)發(fā)散.6. 計(jì)算廣義積分.解 該廣義積分為混合型積分,需分成兩個(gè)積分進(jìn)行計(jì)算.7. 計(jì)算.解,所以,原積分.8.計(jì)算.解 因?yàn)樗栽?9. 求.解 令,所以,故10. 求.解 令,則原式.11.求.解 .12. 求.解 ,令,則,所以,令,則.13. 判別下列反常積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ; (7) .解 (1) 根據(jù),即可知,反常積分收斂;(2) 注意當(dāng)適當(dāng)大時(shí)有,所以,反常積分收斂;(3) 注意到,可知,被積函數(shù)在可延拓成為連續(xù)函數(shù).而,所以,反常積分收斂;(4) 只需注意到,可知反常積分收斂;(5) 因?yàn)?故反常積分收斂;(6) 因?yàn)?故,反常積分發(fā)散;(7) 注意到,以及,所以,因而,當(dāng)時(shí),反常積分收斂,而當(dāng)時(shí),反常積分發(fā)散;14. 判別下列積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) .解 (1) 由于,所以.注意到上式中的第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)的反常積分是絕對(duì)收斂的,第一項(xiàng)在是收斂的,故收斂;(2) 因?yàn)楸环e函數(shù)是負(fù)值,所以,只需看反常積分的收斂性,而從而,即當(dāng)時(shí),反常積分收斂,時(shí)發(fā)散.(3) 取,則,由Cauchy收斂準(zhǔn)則知,反常積分發(fā)散.15. 計(jì)算下列反常積分:(1); (2) . (3). ; (4) ; (5) .解 (1)因?yàn)樗栽?(2) 令,所以,故(3)令,則原式.(4) .(5) ,令,則,所以,令,則.16. 判別下列反常積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ; (7) .解 (1) 根據(jù),即可知,反常積分收斂;(2) 注意當(dāng)適當(dāng)大時(shí)有,所以,反常積分收斂;(3) 注意到,可知,被積函數(shù)在可延拓成為連續(xù)函數(shù).而,所以,反常積分收斂;(4) 只需注意到,可知反常積分收斂;(5)因?yàn)?故反常積分收斂;(6)因?yàn)?故,反常積分發(fā)散;(7)注意到,以及,所以,因而,當(dāng)時(shí),反常積分收斂,而當(dāng)時(shí),反常積分發(fā)散;17. 判別下列積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) .解 (1) 由于,所以.注意到上式中的第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)的反常積分是絕對(duì)收斂的,第一項(xiàng)在是收斂的,故收斂;(2) 因?yàn)楸环e函數(shù)是負(fù)值,所以,只需看反常積分的收斂性,而從而,即當(dāng)時(shí),反常積分收斂,時(shí)發(fā)散.(3) 取,則,由Cauchy收斂準(zhǔn)則知,反常積分發(fā)散.18. 試判別下列積分的絕對(duì)收斂性:(1); (2) ;(3) ; (4) 解 (1) 注意到不等式,根據(jù)比較判別法知,絕對(duì)收斂.(2) 由,根據(jù)比較判別法知,絕對(duì)收斂.(3) 應(yīng)用變量替換以及分部積分法,可得,注意到是絕對(duì)收斂的(用比較判別法易知),故絕對(duì)收斂.(4) 因?yàn)?所以絕對(duì)收斂.19. 試判別下列積分的收斂性:(1) . (2) .(3) . (4) . (5) .解 (1)應(yīng)用Dirichlet判別法,因?yàn)榈脑瘮?shù)有界,而在上單調(diào)遞減趨于零,故收斂.(2) 因?yàn)榈脑瘮?shù)是為有界函數(shù),而在上單調(diào)遞減趨于零,故收斂.(3) 令,則,我們有,而在上單調(diào)遞減趨于零,且由,故的原函數(shù)是有界的,從而收斂. (4) 用Taylor公式把被積函數(shù)寫成 根據(jù)Dirichlet判別法,積分,都收斂,而積分在即時(shí)是收斂的;在是發(fā)散的.綜上所述,反常積分在時(shí)收斂,在時(shí)發(fā)散. (5) 對(duì)用Taylor公式,得注意到,而且及的原函數(shù)是有界的,因此積分都收斂,而是絕對(duì)收斂的,故反常積分收斂.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題1. 設(shè),判斷級(jí)數(shù)的收斂性.解 (1) 當(dāng)時(shí),記,且,因此,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),因?yàn)樾蛄袨閱握{(diào)遞增趨于,所以,于是,所以,原級(jí)數(shù)必然發(fā)散.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)顯然絕對(duì)收斂.綜上分析,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散.2. 設(shè)參數(shù),討論級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)?所以,當(dāng),即為整數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng),即時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng),即時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂.3. 設(shè)單調(diào)遞減,且發(fā)散,試問是否收斂?解 因?yàn)閿?shù)列非負(fù)單調(diào)遞減,所以極限存在,記,由極限的保序性,則.由于交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)萊布尼茨判斂法知,故.由極限的性質(zhì),存在正整數(shù),使當(dāng)時(shí),有,故當(dāng)時(shí),有,由于幾何級(jí)數(shù)收斂,由比較判別法知,級(jí)數(shù)收斂.4. 討論級(jí)數(shù)的收斂性.解 記級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)且,極限故原級(jí)數(shù)收斂.(注:比值判別法因極限不存在,故失效)5. 討論級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)?因此,該級(jí)數(shù)收斂.6. 討論級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)?因此,該級(jí)數(shù)發(fā)散.7. 討論級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)?因此,該級(jí)數(shù)收斂.8. 設(shè)參數(shù),且,就參數(shù)的取值情況討論的收斂性.解 因?yàn)?因此,只有當(dāng)時(shí),收斂.9. 設(shè),求.解 因?yàn)樗?令,則,所以.10. 設(shè)兩條拋物線和,記它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為,求(1) 這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積; (2) 級(jí)數(shù)的和.解 (1) 交點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值為,因圖形關(guān)于軸對(duì)稱,于是. (2) ,.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題1. 求下列級(jí)數(shù)的收斂域.(1); (2) ; (3) ;解 (1)設(shè),它們的公共定義區(qū)域?yàn)?()對(duì)于,因?yàn)?由比式判別法知,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.()對(duì)于滿足的任意一點(diǎn),因?yàn)?所以,級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,的收斂區(qū)域是.(2) ()當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;()因?yàn)?所以,令,可知,當(dāng),即時(shí),級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,而當(dāng)時(shí),有,因而級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,的收斂區(qū)域是.(3) ()因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以,此時(shí)發(fā)散;()當(dāng)時(shí),有,故當(dāng)時(shí),收斂.綜上所述,的收斂域?yàn)?2. 求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性區(qū)域:解 ()當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以在內(nèi)收斂;當(dāng)時(shí),所以發(fā)散;當(dāng)時(shí),由比較判別法可知,級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),用Abel判別法可知,級(jí)數(shù)收斂,故的收斂域?yàn)?()當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí),由比較判別法知,絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),所以,級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),由知, 級(jí)數(shù)發(fā)散.故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?3. 試判別下列函數(shù)列在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2);(3).解 (1),而,因?yàn)?令,得是函數(shù)在上的最大值點(diǎn),所以 ,從而在上一致收斂于零.(2) ,而,因?yàn)?令,得是函數(shù)在上的最大值點(diǎn),所以 ,從而在上一致收斂于零. (3)令,可知在處達(dá)到最大值:,所以,當(dāng)時(shí),在上一致收斂于零.4. 試判定下列函數(shù)列在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2); (3); (4).(5); (6); (7); (8). (9)(注:為了證明,我們可適當(dāng)放大成為,并保證有即可,本題就是這類題目)解 (1),又因?yàn)?所以, ,故在上一致收斂于.(2) ,又因?yàn)?所以, ,故在上一致收斂于.(3) ,又因?yàn)?所以, ,故在上一致收斂于.(4) ,又因?yàn)楹瘮?shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增有上界,故有不等式,所以, ,故在上一致收斂于. (5), ,所以,故在上一致收斂于.(6), 所以,故在上一致收斂于.(7), 故在上一致收斂于.(8),由于是偶函數(shù),故只討論時(shí)的情況.當(dāng)時(shí),有 ,所以, ,故在上一致收斂.(9)從而有,而且,所以,故在上一致收斂.5. 試判定下列函數(shù)列的一致收斂性:(1); (2); 解 (1) 因?yàn)?() 在區(qū)間上,由可知,故在內(nèi)不一致收斂.()而在區(qū)間上,由,可得,從而在上不一致收斂.?(2),() 在區(qū)間上,因?yàn)?所以,取,則,故在區(qū)間上不一致收斂.() 在區(qū)間上,因?yàn)?即知在區(qū)間上一致收斂.6. 判別下列級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2);(3); (4);(5); (6); 解 (1) 因?yàn)?所以在上一致收斂.(2) 因?yàn)?,所以在上一致收斂.(3)令,則,令可得是的最大值點(diǎn),而且,所以,得,即在上一致收斂.另解 因,而級(jí)數(shù)收斂,故由M-判別法知,級(jí)數(shù)在上一致收斂.又解 因?yàn)樵趨^(qū)間上漁場(chǎng)一致收斂的,而對(duì)任意的,即是單調(diào)減少的,又,即在上一致有界,由阿貝爾判別法,知級(jí)數(shù)一致收斂.(4)令,令,可得是的最大值點(diǎn),且有,因此,我們有,即在上一致收斂.(5) 令,令,可得是的最大值點(diǎn),且有,因此,我們有,即在上一致收斂.(6) 令,令,可得是的最大值點(diǎn),且有,因此,我們有,即在上一致收斂.7. 判別級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性。解(1)令得的最大值點(diǎn)為,所以,故,取,對(duì),都存在,使得,由Cauchy準(zhǔn)則知,在區(qū)間上不一致收斂.8. 判別下列級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2); (3); (4).解 (1)因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.(2) 因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.(3) 因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.(4) 補(bǔ)充定義,則在閉區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.9. 判別下列級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2); (3); (4).(5);(6).解 (1)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列在閉區(qū)間上一致有界,而且,對(duì),隨增大而遞減,且有,由Dirichlet判別法,知一致收斂.(2) 改寫為,則因收斂,所以,其部分和數(shù)列在區(qū)間上一致有界,而且,對(duì),隨增大而遞減,且有,由Dirichlet判別法,知一致收斂.(3) 因?yàn)?也就是說, 級(jí)數(shù)的部分和在閉區(qū)間上一致有界,而數(shù)列隨增大而遞減,且有由Dirichlet判別法,知一致收斂.(4) 因?yàn)?也就是說, 級(jí)數(shù)的部分和在區(qū)間上一致有界,而數(shù)列單調(diào)遞減,且有由Dirichlet判別法,知一致收斂.(5) ()記,則有,對(duì)任意的,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有,所以,即是遞減的.()級(jí)數(shù)的部分和在上一致有界,而且,對(duì),隨增大而遞減,且有,由Dirichlet判別法,知一致收斂.(6) 因?yàn)?而數(shù)列單調(diào)遞減一致趨于零,由Dirichlet判別法,知一致收斂.10. 判別級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性解 對(duì)任意給定的,是單調(diào)數(shù)列,且一致有界.又因?yàn)?所以在上一致收斂,由Abel判別法知,一致收斂.11. 判別下列級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性:(1); (2); (3); (4).解 (1)顯然,級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂,而在區(qū)間上連續(xù),故和函數(shù)在上連續(xù).(2) 因?yàn)?而對(duì)任意給定的,是單調(diào)遞增數(shù)列,且在上一致有界,而級(jí)數(shù)和級(jí)在區(qū)間上都是一致收斂,有Abel判別法可知,原級(jí)數(shù)一致收斂,因此和函數(shù)在上連續(xù).(3) 因?yàn)樵趨^(qū)間上有不等式,由M判別法知,級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂,而在區(qū)間上連續(xù),故和函數(shù)在上連續(xù).(4) 對(duì),使得,因此,只需證明該級(jí)數(shù)在上一致收斂即可.因?yàn)?又存在,當(dāng)時(shí),有,由M判別法知,級(jí)數(shù)在上一致收斂,故和函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),又由的任意性,可知在內(nèi)連續(xù).12. 判別下列級(jí)數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性: (1); (2); (3); (4).(5).解 (1) 因?yàn)槎瘮?shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級(jí)數(shù)不一致收斂.(2) 因?yàn)楫?dāng)時(shí),而函數(shù),故在區(qū)間上不連續(xù),所以級(jí)數(shù)不一致收斂.(3) 顯然,又,因而函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級(jí)數(shù)不一致收斂.(4) 考察級(jí)數(shù)在區(qū)間上的情形,因?yàn)橐蚨瘮?shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級(jí)數(shù)不一致收斂.(5) 因?yàn)橐蚨瘮?shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級(jí)數(shù)不一致收斂.13. 試求下列極限值:(1); (2); (3); (4); (5).解 (1)考察區(qū)間上的情形,顯然是遞減趨于零的數(shù)列,且由可知,此數(shù)列是一致有界的.再注意到的一致收斂性,由Abel判別法,知,原級(jí)數(shù)一致收斂,所以在上連續(xù),從而得.(2) 考察區(qū)間上的情形,由,由M判別法知,原級(jí)數(shù)一致收斂,所以在上連續(xù),從而得,.(3) 考察區(qū)間上的情形,顯然是遞增且一致有界,且由可知,再注意到的一致收斂性,由Abel判別法,知,原級(jí)數(shù)一致收斂,所以從而得.(4) 考察區(qū)間上的情形,顯然,該級(jí)數(shù)一致收斂,從而得.(5) 考察區(qū)間上的情形,改寫此級(jí)數(shù)為,注意到級(jí)數(shù)是一致有界的,而隨的增大而遞減,又,可知,當(dāng)時(shí), 一致趨于零,由Dirichlet判別法,可知原級(jí)數(shù)一致收斂,從而得到. 14. 試討論下列級(jí)數(shù)在指定區(qū)域上的可微性: (1); (2);(3) .解 (1)當(dāng)時(shí),隨遞增而遞減趨于0,所以收斂.又由等式,以及在的鄰域上一致收斂,級(jí)數(shù)的部分和一致有界,由Dirichlet判別法知,在上一致收斂,因此在處可微且.(2)()由可知,此級(jí)數(shù)在是點(diǎn)收斂的.()當(dāng)時(shí),因其導(dǎo)數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂,又,所以,在處可導(dǎo).()當(dāng)時(shí),有,從而可知,所以在處不可導(dǎo).(3) 易知,在上收斂,且慢有,對(duì)任意的,可取,使,又存在,使得,從而可得,因而在上一致收斂,即在上可微.15. 試討論下列級(jí)數(shù)在給定區(qū)間上的可微性:(1); (2);(3);(4) .解 (1)易知,級(jí)數(shù)在上收斂.因?yàn)?所以,導(dǎo)數(shù)級(jí)數(shù)在上一致收斂,因此,在上可微.(2) ()根據(jù)在上有不等式可知級(jí)數(shù)在上一致收斂,故在上連續(xù).()由于,故知導(dǎo)數(shù)級(jí)數(shù)在上一致收斂,根據(jù)逐項(xiàng)求導(dǎo)定理可知, .(3) 因?yàn)樵谏弦恢率諗?而是單調(diào)一致有界的,所以,由Abel判別法知,級(jí)數(shù)一致收斂,又由等式可知,該級(jí)數(shù)一致收斂,故可微. (4)應(yīng)用最值判別法易知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.又由可知,導(dǎo)數(shù)級(jí)數(shù)在內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂,故可微. 冪級(jí)數(shù)問題1. 求實(shí)數(shù),使在內(nèi)發(fā)散,而在處收斂,并指出該級(jí)數(shù)的收斂域.解 因?yàn)?故收斂半徑.又由不等式(級(jí)數(shù)收斂的條件),令,則得,但當(dāng)時(shí),由,必有收斂點(diǎn),這與條件矛盾,所以只有成立.該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2. 設(shè)級(jí)數(shù)在點(diǎn)處條件收斂,判斷級(jí)數(shù)是否收斂,若收斂,說明是條件收斂,還是絕對(duì)收斂?解 由冪級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì),條件收斂點(diǎn)只能處于收斂區(qū)間的端點(diǎn),而該級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的中點(diǎn)為,由此得知其收斂半徑.有,又序列單調(diào)增加,因此,所以,而是相應(yīng)于冪級(jí)數(shù)在處的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),且,所以絕對(duì)收斂.由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別準(zhǔn)則可知,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.3. 級(jí)數(shù)收斂,求其和. 解 .4. 將在處展開成為冪級(jí)數(shù),并指明收斂域.解法1 因?yàn)?,兩邊求導(dǎo)得解法2 利用冪函數(shù)的基本展開式,有5. 將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù).解 ,所以,注意到,所以.（注: 上述展開的級(jí)數(shù)在處均收斂,但在處無定義,是可去間斷點(diǎn).從延拓的意義上講,收斂域也可以認(rèn)為是.）6. 設(shè)將展開成的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.解 因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)均條件收斂,最后得到.于是記上述的級(jí)數(shù)的和為,則,因此令,則.7. 將函數(shù)在處展開為冪級(jí)數(shù),并寫出收斂域.解 將拆分成部分分式形式,為,所以,收斂域?yàn)? 8. 設(shè)的麥克勞林級(jí)數(shù)為,又,求的麥克勞林級(jí)數(shù).解 由得到,逐次微分一次得,于是.9. 求級(jí)數(shù)的和函數(shù),并求的和.解 設(shè),則.因此得到.10. 求級(jí)數(shù)的和.解 設(shè),則只需求.又,而,所以故.(注:本題容易出錯(cuò)的地方是:級(jí)數(shù)是從開始求和的).11. 設(shè)滿足為正整數(shù)),且,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解 求解已知方程得到.由解出,于是,收斂域?yàn)?記,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),.12. 求級(jí)數(shù)之和.解 利用級(jí)數(shù)的運(yùn)算法則,只需求下列級(jí)數(shù)的和,對(duì)第一個(gè)級(jí)數(shù),考慮下列冪級(jí)數(shù)求二次導(dǎo)數(shù):令,于是,令,得.另外有,所以.13. 求級(jí)數(shù)的和.解 所以.14. 求在處的冪級(jí)數(shù)展開式,指明收斂域.解 因?yàn)?所以.15 將展開為的冪級(jí)數(shù).解 因?yàn)?當(dāng)時(shí),有16. 設(shè)參