第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)doc-物理學(xué)院與電子信息學(xué)院.docVIP

第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一、基本要求1、掌握描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本物理量，位置矢量、位移、速度、加速度的概念，明確它們具有的矢量性、相對(duì)性、瞬時(shí)性；2、明確運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程的物理意義，并能用求導(dǎo)方法由已知的運(yùn)動(dòng)方程求速度加速度；反之用積分方法由已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或加速度求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；3、熟練掌握直線運(yùn)動(dòng)，拋體運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，及直線運(yùn)動(dòng)的位置一時(shí)間曲線，速度一時(shí)間曲線。二、基本概念和規(guī)律1、參照系與坐標(biāo)系參照系：在描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)被選作參考的物體稱(chēng)為參照系。由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，所以參照系的選擇也具有注意性，而參照系的選擇主要問(wèn)題的性質(zhì)和研究的方便，但必須指出，同一物體的運(yùn)動(dòng)，由于參照系的選擇不同，而對(duì)它運(yùn)動(dòng)的描述亦不同。因此，當(dāng)其描述物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須指出是對(duì)哪個(gè)參照系來(lái)說(shuō)的。坐標(biāo)系：參照系選定后，只能對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)作定性描述。為了定量地描述物體的運(yùn)動(dòng)。就需要在參照系上選用一個(gè)固定的坐標(biāo)系。因此，坐標(biāo)系不僅在性質(zhì)上起到了參照系的作用，而且使運(yùn)動(dòng)的描述精確化。常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系（本性坐標(biāo)系）和平面極坐標(biāo)系等。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)看，所有參照系都是等價(jià)的，無(wú)優(yōu)劣之分。2、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)就是把物體視為只有質(zhì)量而無(wú)形狀大小的幾何點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)的概念突出了物質(zhì)“具有質(zhì)量”和在空間“占有位置”這兩個(gè)根本性質(zhì)。質(zhì)點(diǎn)是理想模型，是對(duì)客觀實(shí)際進(jìn)行全面的科學(xué)的分析之后，用簡(jiǎn)單、抽象的模型-質(zhì)點(diǎn)來(lái)代替復(fù)雜的具體的物體，以抓住其中的主要因素（質(zhì)量）。忽略次要因素（形狀和大?。莆掌湮矬w的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而為研究一般物體的運(yùn)動(dòng)打下基礎(chǔ)。理想模型方法是一種重要科研究方法，它能使物理現(xiàn)象的研究達(dá)到定量化、精確化。3、位置矢量位置矢量：由參考系上某一參考點(diǎn)間質(zhì)點(diǎn)所在的位置所作的有向線段稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的位置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)矢徑，記為r(t)。它是描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)某時(shí)刻在空間的位置的物理量，也是描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)物理量，它具有矢量性、瞬時(shí)性、相對(duì)性。運(yùn)動(dòng)方程：質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r(t)（如在直角坐標(biāo)系中x、y、z）隨時(shí)間t變化的函數(shù)，即r=r(t)（或x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)）稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)方程。它詳盡地描述了質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參照系的運(yùn)動(dòng)情況。軌道：質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)的實(shí)際路徑稱(chēng)為軌道或軌跡，由運(yùn)動(dòng)方程消去的時(shí)間t可得到質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)的軌道方程。如在直角坐標(biāo)系中(x、y)=c1、(y、z)=c2、c1、c2為常數(shù)。由上經(jīng)可見(jiàn)，運(yùn)動(dòng)方程不僅給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道，而且還指出隨著時(shí)間的流逝質(zhì)點(diǎn)如何在軌道上運(yùn)行（由此可得出質(zhì)點(diǎn)的速度加速度）。因此，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的最基本的問(wèn)題。4、位移和路徑位移：質(zhì)點(diǎn)在未時(shí)刻(t+t)的位置矢量r2與初始時(shí)刻(t)的位置矢量r1之差，即，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間tt+t內(nèi)的位移。路程；質(zhì)點(diǎn)由初始時(shí)刻到末時(shí)刻間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線的總長(zhǎng)度。記為s。必須指出：1）位移和路程是兩個(gè)不同的概念，切不可混淆。位移是矢量，路程是標(biāo)量且恒為正。2）一般說(shuō)來(lái)，位移的大小水等于相應(yīng)的路程。只有在下列兩種情況下位移的大小等于相應(yīng)的路程：a、在不同一個(gè)方面運(yùn)動(dòng)的直線運(yùn)動(dòng)中；b、在時(shí)間t0時(shí)，|lr|s，這也正是我人利用路程來(lái)計(jì)算位移大小的依據(jù)。c、位移具有相對(duì)性，即式中為以C為參照系質(zhì)點(diǎn)A在tt+t時(shí)間的位移；為以B為參照系質(zhì)點(diǎn)A在tt+t時(shí)間的位移；為以C為參照系質(zhì)點(diǎn)B在tt+t時(shí)間的位移；5、速度平均速度：質(zhì)點(diǎn)的位移與其所需時(shí)間的t的比值稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間tt+t內(nèi)的平均速度，即平均速度是矢量，它的方向一般不在軌道的切線方向，而是與方向相同。平均速率：質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程s與其所需時(shí)間t的比值，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間tt+t內(nèi)的平均速率，即平均速率是標(biāo)量，且恒為正，一般而言，。速度，在某時(shí)刻t附近，當(dāng)時(shí)間t0時(shí)平均速度的極限值定義為質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱(chēng)速度。即必須指出：1）速度是矢量，是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的物理量。它的方向始終在軌道的切線方向并指向質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)物理量。因此，描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要位置矢量和速度這兩個(gè)物理量。2）瞬時(shí)速度的大小稱(chēng)為速率，由于t0時(shí)|ds。所以：但必須注意3）速度具有瞬時(shí)性。4）速度具有相對(duì)性。即5）速度的計(jì)算在直角坐標(biāo)系中，分量式： 在自然坐標(biāo)系中 S= S(t)6、加速度加速度：在某時(shí)刻t附近，錄時(shí)間t0時(shí)平均加速度的極限值定義為該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度。即注意：1）加速度是矢量，是描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的物理量。速度的變化包括大小和方向。一般說(shuō)來(lái)，在曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度不是沿曲線的切線方向，而是指向曲線扔凹側(cè)。如眾所周知的拋物運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)例子。2）加速度具有瞬時(shí)性。3）加速度具有相對(duì)性，即4）加速度的計(jì)算在直角坐標(biāo)系中：在自然坐標(biāo)系中切向加速度：法向加速度：式中P為曲線在該點(diǎn)的曲半徑ac是改變速度的大小，an只改變速度的方向。質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)：式中為質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的角加速；w為質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的角加速，R為圓周半徑。而U=WR|R三、解題方法1、問(wèn)題的提法質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的基本問(wèn)題是：物體在空間的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。亦即研究物體在空間中的位置、速度，加速度和軌道等。為此，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)可將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)分為三類(lèi)：第一類(lèi)問(wèn)題：已知質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用函數(shù)形式表示。不是微分方程形式表示，求質(zhì)點(diǎn)的速度，加速度軌道等。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或以確定的函數(shù)形式給出，或從位置一時(shí)間曲線給出，或者以敘述具有某種特征的形式給出，那來(lái)，首先寫(xiě)出活動(dòng)方程，由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t得軌道方程，而求速度，加速度實(shí)為求導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。第一類(lèi)問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用微分方程的形式給出，即已知速度或加速度，求運(yùn)動(dòng)方程。第二類(lèi)問(wèn)題：實(shí)際上是積分問(wèn)題，并由初始條件（根據(jù)是中的文字?jǐn)⑹龌蛑苯咏o出）確定積分常數(shù)。第三類(lèi)問(wèn)題：相對(duì)運(yùn)動(dòng)，實(shí)為運(yùn)動(dòng)的合成問(wèn)題。2、解題步驟解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的步驟是：1）弄清題意，明確問(wèn)題，選用坐標(biāo)，建立方程弄清題意，明確問(wèn)題是首先分析題中物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、特點(diǎn)，是屬于什么樣的運(yùn)動(dòng)，是屬于哪一類(lèi)問(wèn)題，選用坐標(biāo)建立方程，矢徑、速度、加速度的定義為矢量式對(duì)任何坐標(biāo)系均適用。但在解題中一般根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，選用相應(yīng)的坐標(biāo)系。才能使計(jì)算得以進(jìn)行下去，根據(jù)題意并有所選用的坐標(biāo)系建立方程。2）解運(yùn)動(dòng)方程若屬第一類(lèi)問(wèn)題，將運(yùn)動(dòng)議程對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)得速度的各個(gè)分量，自對(duì)時(shí)間t求一次導(dǎo)數(shù)得加速度的各個(gè)分量，再對(duì)時(shí)間t求一次導(dǎo)數(shù)得加速度的各個(gè)分量，從運(yùn)動(dòng)主程消去時(shí)間t得軌道方程。若屬第二類(lèi)問(wèn)題，若已知速度實(shí)為一階常微分方程（二維直角坐標(biāo)系有二個(gè)、三維直角坐標(biāo)有三個(gè)）根據(jù)初始條件，對(duì)微分方程積分一次得運(yùn)動(dòng)方程。若已知加速度，實(shí)為二階常微分方程，根據(jù)初始條對(duì)微分方程積分二次得運(yùn)動(dòng)方程。若屬第三類(lèi)問(wèn)題，如求相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度。關(guān)鍵在于找出三個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體A、B、C及它們的相對(duì)速度然后根據(jù)求其所求之速度3、解題注意之點(diǎn)1）必須注意，矢徑、位移、速度，加速度是矢量，應(yīng)按矢量的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算。2）列方程時(shí)，必須注意矢徑、位移、速度、速度在各坐軸上分量的正負(fù)。四、解題示例例1，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為米，t以秒計(jì)。求：1）質(zhì)點(diǎn)的軌道方程；2）質(zhì)點(diǎn)在01秒內(nèi)的位移和平均速度；3）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解：本題屬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類(lèi)問(wèn)題，題中的坐標(biāo)系實(shí)際上已經(jīng)選定，運(yùn)動(dòng)方程已經(jīng)給出，其分量式為：x=2-t, y=5-t31）由運(yùn)動(dòng)方程的分量式消去時(shí)間t得質(zhì)點(diǎn)的軌道方程y=5-(2-x)32）質(zhì)點(diǎn)在01秒內(nèi)的位移為其平均速度為3）質(zhì)點(diǎn)的速度為其速度為本題說(shuō)明如何由運(yùn)動(dòng)方程求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程，位移、平均速度、速度、加速度，位移、平均速度與選取的時(shí)間間隔有關(guān)，一定要把握速度加速度的瞬時(shí)性、矢量性、相對(duì)性。例2、一個(gè)正在行駛的摩托快艇于發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，得到一個(gè)與快艇速度方向相反，大小與其速度平方成正比的加速度，設(shè)比例系數(shù)為K.求：1）在發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后t時(shí)刻的速率；2）在t時(shí)間內(nèi)所行駛的距離；3）在行駛x距離后的速率。設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉時(shí)快艇的速率為V。解：依題意摩托快艇作減速直線運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)方程是以文字?jǐn)⑹龅男问浇o出，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言為：所以本題為運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第二類(lèi)問(wèn)題現(xiàn)選取發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，且此時(shí)快艇所在位置作為直線坐標(biāo)系的原點(diǎn)O點(diǎn)，坐標(biāo)軸取向與發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉時(shí)的速度。方向同 那未初始條件為t0時(shí)，x00，VV01）設(shè)tt時(shí)，VV時(shí)，則由和初始條件t0，x00，VV0得解得：（1）2）設(shè)t=t時(shí)，快艇行駛的距離為x，則由和初始條件t=0，x0=0得解得（2）3）由式(1)、(2)消去t得VV0e-kx即摩托快艇行駛x距離后的速率為VV0e-kx亦可利用來(lái)計(jì)算V與X之關(guān)系。事實(shí)上，由而即當(dāng)x0=0時(shí)，VV0，而xx時(shí)，VV，所以解得VV0e-kx其結(jié)果相同。說(shuō)明，本題首先應(yīng)將文字?jǐn)⑹鲇眠\(yùn)動(dòng)微分方程表示出來(lái)，此后，根據(jù)題意得到初始條件，最后解運(yùn)動(dòng)微分方程。例3、一架飛機(jī)從南A處向北飛到B處(如圖)，然后又向南飛回A處，飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度為V，而空氣相對(duì)于地面的速度為，且的方向偏離南北方向某一角度Q，A、B之間的距離為L(zhǎng)、飛機(jī)相對(duì)于空氣的速率V保持不變。求飛機(jī)來(lái)回飛行所需時(shí)間。解：本題的飛機(jī)、空氣、地面的運(yùn)動(dòng)是一種相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的第三類(lèi)問(wèn)題。分析和確定A、B、C三個(gè)物體和乃是解題的關(guān)鍵。本題的A、B、C物體分別是飛機(jī)、空氣、地面，所以，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性得飛機(jī)由A飛到B時(shí)，飛機(jī)相對(duì)于地面的速度的方向必須由A指向B。設(shè)與南北方向的夾角為（如例3圖a所示），則有：解得飛機(jī)由B飛回A，如題例3圖6，同理可得解得飛機(jī)來(lái)回飛行所需時(shí)間為討論：a、當(dāng)u=0，即空氣靜止時(shí)，這是我熟知的結(jié)果。B、當(dāng)，即空氣相對(duì)于地面的速度由東向西時(shí)c、若u v，從數(shù)學(xué)結(jié)果看，這種情況下的時(shí)間t的表達(dá)式為一頁(yè)數(shù)或復(fù)數(shù)。雖然，負(fù)時(shí)間或復(fù)時(shí)間是沒(méi)有意義的。實(shí)際情況是，飛機(jī)從A出發(fā)后也不能飛到B，當(dāng)然也就談不上從B飛回A了。由此可見(jiàn)，飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度不僅有方向的要求，而且還有大小的要求。例4，如圖所示，山崗的斜面上水平面成角，在斜面上某點(diǎn)以初速度。把手榴彈向上投出，問(wèn)與斜面成怎樣的角度投出 時(shí)，才能投得最遠(yuǎn)，空氣阻力忽略不計(jì)。解：本題是拋射體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的選加原理可將它分解為豎直方向的變速直線運(yùn)動(dòng)和水平方向的速直線運(yùn)動(dòng)，選取如題例5圖a的直角坐標(biāo)系。設(shè)與斜 面的夾角為，手榴彈在斜面上的射程為L(zhǎng)。則拋射體的運(yùn)動(dòng)方程為L(zhǎng)cos=V0cos(x +)tLsin=V0sin(+)t消去t，整理得 L隨X而變，按求極值條件：得不難證明，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，L的值是取大值，即投得最遠(yuǎn)。本題說(shuō)明了在研究拋射體運(yùn)動(dòng)時(shí)常用的一種方法正交分解法，我們采用的的直角坐標(biāo)系分解，這是一種重要的方法。另又用到高等數(shù)學(xué)求極值的方法，求最大射程。例5，如圖所示，用槍瞄準(zhǔn)在高處的靶子A，當(dāng)子彈離開(kāi)槍口時(shí)，靶由自動(dòng)機(jī)械釋放自由下落。設(shè)靶的水平距離在槍的射程之內(nèi)，問(wèn)槍彈能否擊中靶？空氣的阻力忽略不計(jì)。解：子彈欲擊中靶必須滿足：(1) 子彈和靶的軌道相交；(2) 子彈和靶同時(shí)到達(dá)交點(diǎn)。取槍口位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)子彈的初速為，與X軸夾角為，靶子在A點(diǎn)的坐標(biāo)為（