江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 立體幾何中的向量方法導(dǎo)學(xué)案.doc

江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：立體幾何中的向量方法考情分析1通過(guò)線線、線面、面面關(guān)系考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算2能用向量方法證明直線和平面位置關(guān)系的一些定理3利用空間向量求空間距離基礎(chǔ)知識(shí)1空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1， b2，b3)，則|a|，cosa，b.設(shè)a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則dab|.2立體幾何中的向量方法(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量：l是空間一直線，a，b是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為(2)用向量證明空間中的平行關(guān)系設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.設(shè)直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使vxv1yv2.設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu.設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2.(3)用向量證明空間中的垂直關(guān)系設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1v20.設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu.設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1u20.(4)點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)ab為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離d.題型一利用空間向量證明平行問(wèn)題【例1】如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點(diǎn)求證：mn平面a1bd.【變式1】 如圖所示，平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad2，e、f、g分別是線段pa、pd、cd的中點(diǎn)求證：pb平面efg.題型二利用空間向量證明垂直問(wèn)題【變式2】 如圖所示，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中點(diǎn)證明：(1)aecd；(2)pd平面abe.題型三利用向量求空間距離【例3】在三棱錐sabc中，abc是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面sac平面abc，sasc2，m、n分別為ab、sb的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)b到平面cmn的距離【變式3】 (2013江西模擬)如圖，bcd與mcd都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2.(1)求點(diǎn)a到平面mbc的距離；(2)求平面acm與平面bcd所成二面角的正弦值 鞏固提高1.如圖，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e為pb的中點(diǎn)，cos，若以da，dc，dp所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)e的坐標(biāo)為_(kāi)2.已知棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，e是a1b1的中點(diǎn)，求直線ae與平面abc1d1所成角的正弦值_3如圖，四棱錐pabcd中，pa底面abcd.四邊形abcd中，abad，abad4，cd，cda45.(1)求證：平面pab平面pad；(2)設(shè)