第八章 高斯投影.doc

第八章 高斯投影地面-橢球面-平面熟悉,簡(jiǎn)單地圖投影高斯克呂格投影（高斯投影）8.1高斯投影概述8.1.1投影與變形所謂地球投影，簡(jiǎn)略說(shuō)來(lái)就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門(mén)學(xué)科叫地圖投影學(xué)。這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)法則可用下面兩個(gè)方程式表示： (8-1)式中L，B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而是該點(diǎn)投影后的平面(投影面)直角坐標(biāo)。式(8-1)表示了橢球面上一點(diǎn)同投影面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的解析關(guān)系，也叫做坐標(biāo)投影公式。投影問(wèn)題也就是建立橢球面元素與投影面相對(duì)應(yīng)元素之間的解析關(guān)系式。投影的方法很多，每種方法的本質(zhì)特征都是由坐標(biāo)投影公式F的具體形式體現(xiàn)的。橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面，若將這個(gè)曲面上的元素（比如一段距離、一個(gè)角度、一個(gè)圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱作投影的變形。地圖投影必然產(chǎn)生變形。投影變形一般分為角度變形、長(zhǎng)度變形和面積變形三種。在地圖投影時(shí)，我們可根據(jù)需要使某種變形為零，也可使其減小到某一適當(dāng)程度。因此，地圖投影中產(chǎn)生了所謂的等角投影（投影前后角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形）、等距投影（投影前后長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形）、等積投影（投影前后面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形）等。8.1.2控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求1.應(yīng)采用等角投影（又稱正形投影）。這樣保證了在三角測(cè)量中大量的角度元素在投影前后保持不變，免除了大量的投影工作；所測(cè)制的地圖可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似，給國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中識(shí)圖用圖帶來(lái)很大方便。如圖多邊形，相應(yīng)角度相等，但長(zhǎng)度有變化，投影面上的邊長(zhǎng)與原面上的相應(yīng)長(zhǎng)度之比，稱為長(zhǎng)度比。圖中, 即在微小范圍內(nèi)保證了形狀的相似性，當(dāng)ABCDE無(wú)限接近時(shí)，可把該多邊形看作一個(gè)點(diǎn)，因此在正形投影中，長(zhǎng)度比m僅與點(diǎn)的位置有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)，給地圖測(cè)制及地圖的使用等帶來(lái)極大方便。2.要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。為此地圖投影應(yīng)該限制在不大的投影范圍內(nèi)，從而控制變形并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。3.要求投影能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。保證每個(gè)帶進(jìn)行單獨(dú)投影，并組成本身的直角坐標(biāo)系統(tǒng)，然后再將這些帶用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法聯(lián)接在一起，從而組成統(tǒng)一的系統(tǒng)。8.1.3高斯投影的基本概念高斯投影又稱橫軸橢圓柱等角投影，是德國(guó)測(cè)量學(xué)家高斯于18251830年首先提出的。實(shí)際上，直到1912年，由德國(guó)另一位測(cè)量學(xué)家克呂格推導(dǎo)出實(shí)用的坐標(biāo)投影公式后，這種投影才得到推廣，所以該投影又稱高斯-克呂格投影。想象有一橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（稱中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定的投影方法將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面。我國(guó)規(guī)定按經(jīng)差和度進(jìn)行投影分帶，為大比例尺測(cè)圖和工程測(cè)量采用帶投影。特殊情況下工程測(cè)量控制網(wǎng)也可用帶或任意帶。高斯投影帶自子午線起每隔經(jīng)差自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,。我國(guó)中央子午線的經(jīng)度，由起每隔而至，共計(jì)12帶，帶號(hào)用n表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，。高斯投影帶是在帶的基礎(chǔ)上分成的，它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合，一部分同帶分界子午線重合，帶號(hào)用n/表示，帶中央子午線用L表示，關(guān)系是：。在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸，這樣便形成了高斯平面直角坐標(biāo)系。在我國(guó)坐標(biāo)均為正，坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330KM。為避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加500KM。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面冠以帶號(hào)，這種坐標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。如某點(diǎn)Y=19123456.789m，該點(diǎn)位于19帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)是：首先去掉帶號(hào)，再減去500KM，最后得y=-376543.211m。 由于分帶造成了邊界子午線兩側(cè)的控制點(diǎn)和地形圖處于不同的投影帶內(nèi)，為了把各帶連成整體，一般規(guī)定各投影帶要有一定的重疊度，其中每一帶向東加寬，向西加寬，這樣在上述重疊范圍內(nèi)，控制點(diǎn)將有兩套相鄰帶的坐標(biāo)值，地形圖將有兩套公里格網(wǎng)，從而保證了邊緣地區(qū)控制點(diǎn)間的互相應(yīng)用，也保證了地圖的拼接和使用。由此可見(jiàn)，由于高斯投影是正形投影，故保證了投影的角度不變性、圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上長(zhǎng)度比的同一性；由于采用了同樣法則的分帶投影，既限制了長(zhǎng)度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡(jiǎn)單公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進(jìn)行。高斯投影這些優(yōu)點(diǎn)使用權(quán)它得到廣泛的推廣和具有國(guó)際性。8.1.4橢球面三角系化算到高斯平面高斯投影坐標(biāo)計(jì)算；平面子午線收斂角r；方向改化，距離改化；換帶計(jì)算。8.2正形投影的一般條件研究高斯投影應(yīng)首先滿足正形投影的一般條件，然后加上高斯投影的特殊條件，即可導(dǎo)出高斯投影坐標(biāo)正反算公式。推求時(shí)抓住正形投影區(qū)別于其它投影的特殊本質(zhì)：在正形投影中，長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)。建立長(zhǎng)度比關(guān)系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有： (8-5)則長(zhǎng)度比為 (8-6) 引進(jìn)等量緯度 (8-7) 則 (8-8)因q只與B有關(guān)，故可把dq和dl看作互為獨(dú)立的變量的微分。則(8-6)式可表示為： (8-9)地圖投影就是建立x,y與L,B的函數(shù)關(guān)系，因B與q有確定的關(guān)系，因此投影問(wèn)題也可以說(shuō)是建立x,y與q,l的函數(shù)關(guān)系。設(shè)函數(shù)關(guān)系式為： (8-10)全微分 (8-11)代入(8-5)2式得：令,， (8-12) 得： (8-13) 則(8-9)式變?yōu)椋?(8-14)引入方向，由圖知： (8-15)則 (8-16)代入(8-14)式 (8-17) 若想使上式中m與A無(wú)關(guān)，必須滿足條件：F=0、E=G (8-18)將條件代入(8-12)式得： (8-19) 由F=0得, 代入(8-19)2式得： 整理得： 或上式開(kāi)方并代入(19)式得柯西(Cauchy)黎曼(Riemann)條件： (8-20)通常，在選取橢球面和平面的坐標(biāo)軸方向時(shí)，要求，橢球面上沿經(jīng)線方向q(或B)增加時(shí)平面上x(chóng)也增加，即要求為正；沿緯線方向l增加時(shí)，平面上的y也增加，即也要求為正，對(duì)此取相應(yīng)的 (8-20) (8-20)(8-21)式即為橢球平面正形投影的一般條件，是各類正形投影方法都必須遵循的法則，高斯坐標(biāo)正、反算公式均以此為基礎(chǔ)。當(dāng)滿足F=0，E=G條件時(shí)，長(zhǎng)度比的公式：（8-22）8.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式任何一種投影坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系是最主要的；如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外（C-R偏微分方程），還有它本身的特殊條件。8.3.1高斯投影坐標(biāo)正算公式： B, x,y高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件：中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線，即(8-10)式中，x為的偶函數(shù)，y為的奇函數(shù)；，即，如展開(kāi)為的級(jí)數(shù)，收斂。 （8-33） 式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。由第三個(gè)條件知：(8-33)式分別對(duì)和q求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式 (8-34)上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數(shù)應(yīng)相等，即 (8-35) (8-35)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其余各系數(shù)。 由第二條件知:位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長(zhǎng)X，即(8-33)式第一式中，當(dāng)時(shí)有： (8-36)顧及(對(duì)于中央子午線)得： (8-37,38) (8-39)依次求得并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式 (8-42)8.3.2高斯投影坐標(biāo)反算公式 x,y B,投影方程： (8-43)滿足以下三個(gè)條件：x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對(duì)稱軸； x坐標(biāo)軸投影后長(zhǎng)度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。高斯投影坐標(biāo)反算公式推導(dǎo)要復(fù)雜些。由x求底點(diǎn)緯度(垂足緯度),對(duì)應(yīng)的有底點(diǎn)處的等量緯度，求x,y與的關(guān)系式，仿照(8-10)式有， 由于y和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將展開(kāi)為y的冪級(jí)數(shù)；又由于是對(duì)稱投影，q必是y的偶函數(shù)，必是y的奇函數(shù)。 (8-45)是待定系數(shù)，它們都是x的函數(shù).由第三條件知：， ， (8-21)(8-45)式分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式 上式相等必要充分條件，是同次冪y前的系數(shù)相等， 第二條件，當(dāng)y=0時(shí)，點(diǎn)在中央子午線上，即x=X，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為底點(diǎn)，其緯度為底點(diǎn)緯度，也就是x=X時(shí)的子午線弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的緯度，設(shè)所對(duì)應(yīng)的等量緯度為。也就是在底點(diǎn)展開(kāi)為y的冪級(jí)數(shù)。 由(8-45)1式 依次求得其它各系數(shù)(8-51) (8-51)1 將代入(8-45)1式得 (8-55)1 (8-55) 將代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表達(dá)式)求與的關(guān)系。由(8-7)式知： (8-47) (8-48) 按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在展開(kāi) (8-49) (8-50)由(8-7)式可求出各階導(dǎo)數(shù)： (8-53) (8-54)1(8-54)2 將式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y冪集合得高斯投影坐標(biāo)反算公式(8-56)1, (8-56)歸納由求的基本思想：由點(diǎn)得到底點(diǎn)，將底點(diǎn)f作為過(guò)渡，也就是說(shuō)將坐標(biāo)原點(diǎn)o移到f點(diǎn)，先求關(guān)系式，再將關(guān)系式代入關(guān)系式得關(guān)系式，最后將坐標(biāo)原點(diǎn)移回到o點(diǎn),從而求得點(diǎn)。8.3.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋當(dāng)B=0時(shí)x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說(shuō)，赤道投影為一直線且為y軸。當(dāng)l=0時(shí),則y=0,x=X,這就是說(shuō)，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長(zhǎng)度與中央子午線長(zhǎng)度相等。兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)l=常數(shù)時(shí)(經(jīng)線),隨著B(niǎo)值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當(dāng)用-B代替B時(shí)，y值不變，而x值數(shù)值相等符號(hào)相反，這就說(shuō)明赤道是投影的對(duì)稱軸。當(dāng)B=常數(shù)時(shí)(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說(shuō)，緯線是凸向赤道的曲線。又當(dāng)用-l代替l時(shí)，x值不變，而y值數(shù)值相等符號(hào)相反，這就說(shuō)明，中央子午線是投影對(duì)稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長(zhǎng)度變形愈大。8.4高斯投影計(jì)算的實(shí)用公式1子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式改寫(xiě)并擴(kuò)充(7-65)(7-64)兩式2正算公式(8-67)(8-81)式中： 3 底點(diǎn)緯度公式 (單位：弧度)(單位：弧度) 式中：4 反算公式(8-71)(8-83)式中： 8.5平面子午線收斂角8.5.1定義，用途。8.5.2公式1由求r的公式。由于正形投影的關(guān)系，B=常數(shù)(或q=常數(shù))與x=常數(shù)直線在P/點(diǎn)所組成的角也是r。設(shè)P/沿B=常數(shù)(或q=常數(shù))的曲線移到P/1，P/與P/1無(wú)限接近， （8-77）對(duì) 全微分 因此有： 根據(jù)C-R條件又有(8-77)1 (8-77)2上兩式用于由求r。根據(jù)(8-42)式求偏導(dǎo)數(shù)，求并代入上式得，再按反正切展開(kāi)即得由求r的(8-81)式。分析(8-81)式:在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。r為奇函數(shù)，有正負(fù)，當(dāng)描寫(xiě)點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)，經(jīng)差為正，r也為正；當(dāng)描寫(xiě)點(diǎn)在中央子午線以西時(shí)，經(jīng)差為負(fù)，r也為負(fù)。在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，也愈大，在極點(diǎn)處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))愈大也愈大。2由xy求r的公式式(8-81)中經(jīng)差l用(8-57)2式代入，緯度B須化算為底點(diǎn)緯度。由(8-57)1式，只取主項(xiàng)，即,將上兩式及(8-57)2代入(8-81)式，忽略以上的小項(xiàng)，得精確至1/的計(jì)算子午線收斂角式(8-82)。如欲精確到0.001/，可順至得式（8-83） 8.6方向改化公式定義： 8.6.1方向改化近似公式的推導(dǎo)AB橢球面上的大地線OEP中央子午線ab大地線在高斯平面上的描寫(xiě)形坐標(biāo)第一個(gè)假設(shè)，認(rèn)為大地線AB距離不太長(zhǎng)，可以假定AB所在的一塊橢球面是球面，園球的半徑為相應(yīng)A，B的平均緯度的平均曲率半經(jīng)。那么大地線AB成了大圓弧，過(guò)A和B作大圓弧(卯酉圈)AD和BE垂直于中央子午線OP，ABED是球面四邊形。如果把地球當(dāng)作圓球，則高斯投影變成墨卡托橫軸園柱正形投影，由高斯投影知大圓弧AD和BE投影到平面上是平行于y軸的直線，由此，ad和be就是AD和BE的描寫(xiě)形。由正形投影的性質(zhì)是四邊形的球面角超。0P是四邊形的面積，由此得出結(jié)論：大地線的描寫(xiě)形 (在高斯平面上)是一條背向中央子午線的曲線。第二個(gè)假設(shè)園球面ABED的面積近似的等于平面四邊形abed的面積,即第三個(gè)假設(shè)，即把a(bǔ)b當(dāng)做大園弧，應(yīng)為“-”，應(yīng)為“+” 。最后寫(xiě)成 (8-97) 上式的誤差小于0.1/，可適用于三、四等三角測(cè)量的計(jì)算。8.6.2方向改化較精密公式的推導(dǎo)傳統(tǒng)的推導(dǎo)方法是用微分幾何學(xué)中曲率的公式，這里應(yīng)用幾何方法進(jìn)行推導(dǎo)，仍視橢球?yàn)榍?。建立關(guān)系式。過(guò)點(diǎn)加作一條平行于中央子午線的小園弧，它與正交；過(guò)再作大圓弧。投影平面上相應(yīng)的投影為直線和曲線，設(shè)其夾角為。因?yàn)槭钦瓮队埃逝c垂直即平行于x軸，并得： (8-98) 的推求與近似公式一樣，有 (8-99)求-T。由球面三角形按勒讓德?tīng)柖ɡ?(8-100)式中為相應(yīng)的球面角超。因，故有 (8-101)由(b)圖可知 (8-102)設(shè)點(diǎn)長(zhǎng)度比為，則近似有式，于是有 (8-103) 并有 (8-104)顧及 (8-105)得 (8-106)將(8-99)及上式代入(8-98)得 (8-107)整理。按測(cè)量計(jì)算習(xí)慣，將賦以符號(hào)，并以秒表示之，則得方向改化的較精密公式： (8-108)我國(guó)二等三角網(wǎng)平均邊長(zhǎng)為13KM，當(dāng)時(shí)，上式精確至0.01/，故通常用于二等三角測(cè)量計(jì)算。若時(shí)則需用下面的精密公式計(jì)算, （8-109）該式精確至0.001/，適用于一等三角測(cè)量計(jì)算。8.6.3計(jì)算的檢校 式中分別為橢球面及平面上的方向觀測(cè)值，若為角度改正數(shù)，則有： 將上式兩端相加得 顧及到 因而得： 由此可知，一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的角度改正值（同一點(diǎn)相應(yīng)兩個(gè)方向的方向改正之差）之和應(yīng)等于該三角形的球面角超的負(fù)值。此式可用來(lái)檢查方向改正計(jì)算。8.7 距離改化公式橢球體上有兩點(diǎn)及其大地線S，在高斯投影面上的投影為，s是一條曲線，而連接兩點(diǎn)的直線為D。由S化至D所加的改正稱為距離改正。一般情況下高斯投影的長(zhǎng)度比恒大于1，則有 。為求S與D的關(guān)系，先研究平面曲線長(zhǎng)度s與其弦線長(zhǎng)度D的關(guān)系；然后研究用大地坐標(biāo)B、L和平面坐標(biāo)x、y計(jì)算長(zhǎng)度比m的公式；最后導(dǎo)出距離改化的計(jì)算公式。8.7.1s與D的關(guān)系設(shè)是弦上的微分線段，表示弧線上的微分線段，它們的夾角為，則有 因此 由于是一個(gè)小角，最大不會(huì)超過(guò)方向改化值，因此可把展開(kāi)為級(jí)數(shù)： 于是有 (8-117)式中用的最大值代替。已是二次項(xiàng)，D與s之差是四次項(xiàng)微小量。當(dāng)取最大40/,s=50KM時(shí)，代入上式得，化算為相對(duì)中誤差為。所以，對(duì)現(xiàn)有測(cè)量方法這個(gè)誤差可忽略不計(jì)，完全可以認(rèn)為大地線的平面投影曲線長(zhǎng)度s等于其弦線長(zhǎng)度D。8.7.2長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形長(zhǎng)度比m是指橢球面上某一點(diǎn)的微分元素，與其投影面上的相應(yīng)的微分元素之比，即 由于長(zhǎng)度比恒大于1，故稱為長(zhǎng)度變形。1.用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式由（8-22）式第二式得 (8-118) 偏導(dǎo)數(shù)見(jiàn)(8-78) 將上式代入(8-118)得 再根據(jù)近似公式得 (8-121) 實(shí)用時(shí)一般取至二次項(xiàng)，在帶的邊緣及低緯度處，有時(shí)用到項(xiàng)。2.用平面坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式在(8-121)式中如果能將用x,y表達(dá)，即可求得用平面坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式。利用正算公式(8-42)2式， (8-42)2 級(jí)數(shù)回求公式，若則這里，求得 （忽略六次項(xiàng)）（忽略六次項(xiàng)）代入(8-121)式得 (8-125)分析(8-121)(8-125)式：m隨點(diǎn)的位置(B,L)或(x,y)而異，但在一點(diǎn)上與方向無(wú)關(guān)；當(dāng)y=0 (或l=0)時(shí)，即在縱坐標(biāo)軸或中央子午線上時(shí)，各點(diǎn)的m都等于1，即中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；當(dāng)時(shí)，由于m是y（或l）的偶函數(shù)，且各項(xiàng)都為“+”號(hào)，故m恒大于1，即除中央子午線外其它投影后都變長(zhǎng)了；長(zhǎng)度變形（m-1）與成正比例地增大，愈離遠(yuǎn)中央子午線長(zhǎng)度變形愈大。在同一緯線上，即B=常數(shù)，長(zhǎng)度變形（m-1）隨l的增大而增大。在同一經(jīng)線上，即l=常數(shù)，長(zhǎng)度變形（m-1）隨B的減少而增大，在赤道處(B=0)為最大。8.7.3距離改化公式長(zhǎng)度比定義由前面的分析知可用弦線來(lái)代替大地線的描寫(xiě)形，積分之，上式中長(zhǎng)度比隨點(diǎn)的位置而變，但當(dāng)投影區(qū)域不大時(shí)，m的變化很緩慢，例如當(dāng)y=300km，P1和P2兩點(diǎn)的緯差達(dá)一度時(shí)，兩點(diǎn)長(zhǎng)度比之差小于410-7，因此用近似積分的方法而仍可得到較高的精度。現(xiàn)按辛普生近似積分公式，并且只把區(qū)間 分成兩段，每段長(zhǎng)s/2又按式(8-125)代入，并用代替對(duì)計(jì)算影響可忽略不計(jì)，可認(rèn)為中點(diǎn)處又又因項(xiàng)已是很微小，故完全可以作以下替換，代入得大地線S歸算到高斯平面上直線距離D的公式， （8-133）當(dāng)S70km,350km(帶的邊緣) 計(jì)算精度小于0.001m，對(duì)于一等邊長(zhǎng)的歸算完全可滿足要求，對(duì)于二等邊長(zhǎng)的歸算可略去項(xiàng)，對(duì)于三四等邊長(zhǎng)的歸算又可再略去項(xiàng)。8.10工程測(cè)量投影面與投影帶的選擇我國(guó)有關(guān)測(cè)量規(guī)范中明確規(guī)定，國(guó)家大地測(cè)量控制網(wǎng)依高斯投影方法按帶或帶進(jìn)行分帶和計(jì)算。對(duì)于城市測(cè)量，既有測(cè)制大比例尺地形圖的任務(wù)，又有滿足各種工程建設(shè)和市政建設(shè)施工放樣工作的要求。1999年城市測(cè)量規(guī)范規(guī)定：一個(gè)城市只應(yīng)建立一個(gè)與國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)相聯(lián)系的、相對(duì)獨(dú)立和統(tǒng)一的城市坐標(biāo)系統(tǒng)，并經(jīng)上級(jí)行政主管部門(mén)審查批準(zhǔn)后方可使用。城市平面控制測(cè)量坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇應(yīng)以投影長(zhǎng)度變形值不大于2.5cm/km為原則，并根據(jù)城市地理位置和平均高程而定?？砂聪铝写涡蜻x擇城市平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系統(tǒng)：1當(dāng)長(zhǎng)度變形值不大于2.5cm/km時(shí),應(yīng)采用高斯正形投影統(tǒng)一帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。統(tǒng)一帶的主子午線經(jīng)度由東經(jīng)起,每隔至東經(jīng)。2當(dāng)長(zhǎng)度變形值大于2.5cm/km 時(shí)，可依次采用：1)投影于抵償高程面上的高斯正形投影帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)；2)高斯正形投影任意帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)，投影面可采用黃海平均海水面或城市平均高程面。3面積小于25km2的城鎮(zhèn),可不經(jīng)投影采用假定平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)在平面上直接進(jìn)行計(jì)算。8.10.1工程測(cè)量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)1. 有關(guān)投影變形的基本概念平面控制測(cè)量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長(zhǎng)度變形問(wèn)題。這種投影變形主要由以下兩方面因素引起：1).實(shí)量邊長(zhǎng)歸算到參考橢球體面上的變形影響，其值依(8-100)式有： (8-176)式中,為歸算邊高出參考橢球面的平均高程；s為歸算邊的長(zhǎng)度 ；R為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。歸算邊的相對(duì)變形為： (8-177)由公式可以看出：的值總為負(fù)，即地面實(shí)量長(zhǎng)度歸算至參考橢球體面上，總是縮短的；值與成正比，隨增大而增大。2).將參考橢球面上邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形影響，其值依（8-138）式有： (8-178)式中,，即為投影歸算邊長(zhǎng)，為歸算邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值，為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊的相對(duì)變形為： (8-179)由公式可以看出：的值總為正，即橢球面上長(zhǎng)度歸算至高斯面上，總是增大的，值與成正比而增大，離中央子午線愈遠(yuǎn)變形愈大。2. 有關(guān)工程測(cè)量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念為便于施工放樣的順利進(jìn)行，要求由控制點(diǎn)坐標(biāo)直接反算的邊長(zhǎng)與實(shí)地量得的邊長(zhǎng)，在長(zhǎng)度上應(yīng)該相等，即由上述兩項(xiàng)歸算投影改正而帶來(lái)的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測(cè)量精度為1/50001/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長(zhǎng)度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對(duì)誤差為1/100001/40000，也就是說(shuō)，每公里的長(zhǎng)度改正數(shù)，不應(yīng)該大于102.5cm。3. 工程測(cè)量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)(1) 在滿足精度要求的前提下，為使測(cè)量結(jié)果一測(cè)多用，應(yīng)采用國(guó)家統(tǒng)一帶高斯平面直角坐標(biāo)系，將觀測(cè)結(jié)果歸算至參考橢球面上。即工程測(cè)量控制網(wǎng)應(yīng)同國(guó)家測(cè)量系統(tǒng)相聯(lián)系；(2) 當(dāng)邊長(zhǎng)的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時(shí)，為保證測(cè)量結(jié)果的直接利用和計(jì)算的方便，可采用任意帶的獨(dú)立高斯平面直角坐標(biāo)系，歸算測(cè)量結(jié)果的參考面可自己選定。為此可用以下手段實(shí)現(xiàn)：(a) 通過(guò)改變從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）；(b) 改變從而對(duì)中央子午線作適當(dāng)移動(dòng)，以抵償由高程面的邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）；(c) 通過(guò)既改變（選擇高程參考面），又改變（移動(dòng)中央子午線），來(lái)抵償兩項(xiàng)歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。8.10.2工程測(cè)量中幾種可能采用的直角坐標(biāo)系目前，在工程測(cè)量中主要有以下幾種常用的平面直角坐標(biāo)系：1. 國(guó)家?guī)Ц咚拐瓮队捌矫嬷苯亲鴺?biāo)系 據(jù)計(jì)算，當(dāng)測(cè)區(qū)平均高程在100m以下，且值不大于40km時(shí)，其投影變形值均小