高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件 新人教A版選修11.pptVIP

3 3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3 3 1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 一 情境設(shè)置 過山車是一項富有刺激性的娛樂工具 那種風(fēng)馳電掣 有驚無險的快感令不少人著迷 二 函數(shù)單調(diào)性定義 一般地 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域為i 如果對于定義域i內(nèi)某個區(qū)間d上的任意兩個自變量的值 當(dāng)時 都有 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間d上是增函數(shù) 如果對于定義域i內(nèi)某個區(qū)間d上的任意兩個自變量的值 當(dāng)時 都有 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間d上是減函數(shù) 1 正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理 重點 2 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性 難點 3 掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 如圖 1 表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象 圖 2 表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象 運動員從起跳到最高點 以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別 a a b b t t v h o o 1 2 探究點 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系 1 2 a a b b t t v h o o 運動員從起跳到最高點 離水面的高度h隨時間t的增加而增加 即h t 是增函數(shù) 相應(yīng)地 從最高點到入水 運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少 即h t 是減函數(shù) 相應(yīng)地 1 2 提示 這種情況是否具有一般性 1 觀察圖象 完成下列填空 圖 中的函數(shù)y x的導(dǎo)函數(shù)y 此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 圖 中的函數(shù)y x2的導(dǎo)函數(shù)y 此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 圖 中的函數(shù)y x3的導(dǎo)函數(shù)y 此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 圖 中的函數(shù)y 的導(dǎo)函數(shù)y 此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 1 2x 0 3x2 0 0 0 2 根據(jù) 1 中的導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系 思考函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有什么關(guān)系 提示 根據(jù) 1 中的結(jié)果可以看出 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān) 當(dāng)導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上大于0時 此時對應(yīng)的函數(shù)為增函數(shù) 當(dāng)導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上小于0時 此時對應(yīng)的函數(shù)為減函數(shù) 思考 1 在區(qū)間 a b 上 如果f x 0 則f x 在該區(qū)間上單調(diào)遞增 反過來也成立嗎 提示 不一定成立 例如 f x x3在r上為增函數(shù) 但f 0 0 即f x 0是f x 在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件 2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時 能否忽視定義域 提示 首先需要確定函數(shù)的定義域 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集 規(guī)律總結(jié) 1 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 1 充分條件 注意f x 0 或f x 0 僅是函數(shù)f x 在某個區(qū)間上遞增 或遞減 的充分條件 2 恒成立 在區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上遞增 或遞減 的充要條件應(yīng)是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立且f x 在區(qū)間 a b 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 3 常數(shù)函數(shù) 特別地 如果f x 0 那么函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù) 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時應(yīng)注意的四個問題 1 定義域 在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時 首先要確定函數(shù)的定義域 解決問題的過程只能在定義域內(nèi) 通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 端點值 在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時 除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外 還要注意在定義域內(nèi)的間斷點 3 符號 如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個 這些單調(diào)區(qū)間之間不能用 連接 而只能用 逗號 或 和 字等隔開 4 常數(shù)函數(shù) 如果函數(shù)在某個區(qū)間上 恒有f x 0 則f x 為該區(qū)間上的常數(shù)函數(shù) 如f x 3 則f x 3 0 設(shè)f x x x 0 則f x 的單調(diào)增區(qū)間是 a 2 b 2 0 c d 0 c 即時訓(xùn)練 例1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息 當(dāng)1 x 4時 當(dāng)x 4或x 1時 當(dāng)x 4或x 1時 試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀 當(dāng)x 4或x 1時 可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 當(dāng)x 4或x 1時 綜上 函數(shù)圖象的大致形狀如圖所示 y f x 變式訓(xùn)練 2016 吉安高二檢測 函數(shù)y f x 在定義域內(nèi)可導(dǎo) 其圖象如圖所示 記y f x 的導(dǎo)函數(shù)為y f x 則不等式f x 0的解集為 解析 由題意不等式f x 0的解集即函數(shù)y f x 的遞減區(qū)間為 2 3 答案 2 3 例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性 并求出單調(diào)區(qū)間 因此 函數(shù)在上單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性步驟 1 確定函數(shù)f x 的定義域 2 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3 解不等式f x 0 得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間 解不等式f x 0 得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間 提升總結(jié) 1 函數(shù)y x2 x 3 的減區(qū)間是 增區(qū)間是 2 0 2 0 2 函數(shù)f x cos2x的單調(diào)減區(qū)間是 k k k z 變式練習(xí) 求證函數(shù)f x 2x3 6x2 7在 0 2 內(nèi)是減函數(shù) 變式練習(xí) c 上 解析 f x x2 ax a 1 x 1 x a 1 當(dāng)a 1 1 即a 2時 函數(shù)f x 在 1 上為增函數(shù) 不合題意 當(dāng)a 1 1 即a 2時 函數(shù)f x 在 1 上為增函數(shù) 解 由已知得 因為函數(shù)在 0 1 上單調(diào)遞增 1 求可導(dǎo)函數(shù)f x 單調(diào)區(qū)間的步驟 1 求f x 2