Geitel第五章 大數(shù)定律與中心極限定理習題解答.pdf

習題 5 1 習題 5 1 1 設(shè)隨機變量獨立同分布 21n XXX k E X 81 2 k D Xk 令 n k k X n X 1 1 利用切比雪夫不等式估計 4 XP 解 解 n k k n k k XE n X n EXE 11 1 1 n k k n k k n XD n X n DXD 1 2 1 8 1 1 由切比雪夫不等式 n n XEXPXP 2 1 1 4 8 1 4 4 2 2 擲六顆骰子 利用切比雪夫不等式估計六顆骰子出現(xiàn)點數(shù)和在 15 27 之間的概率 解 解 表示第i顆骰子出現(xiàn)的點數(shù) i X6 5 4 3 2 1 i 則 獨立同分布 X表示 6 顆骰子的點數(shù)和 則 的分布律為 6 1i i XX i X 因為 116 6 123456 662 i E X 1 7 2 i X12 3 4 56 P 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 222222 1 123456 6 16 6 1 6 2 1 91 66 i E X 2 6 所以 2 22 91735 6212 iii D XE XE X 666 111 77 621 22 ii iii E XEXE X 66 11 3535 6 122 ii kk D XDXD X 于是 2 35 37 2 1527 216 1 67 PXP X 2 在每次試驗中 事件3 A發(fā)生的概率為 0 75 利用切比雪夫不等式求需要多么大時 才能使得在次獨立重復試驗中 事件 n nA出現(xiàn)的頻率在 0 74 0 760 90 之間的概率至少為 解 解 設(shè)X為 n 次獨立重復試驗中 A 出現(xiàn)的次數(shù) 75 0 nBX nX75 nXD187 025 075 0 E 0n5 則 nn n nnxPnxnP n x P 1875 1 01 0 1875 0 1 01 075 6 0 76 074 0 7 074 0 2 要使9 0 76 074 0 n x P 只需令9 0 1875 1 n 解出 即n至少為18750 4 設(shè)隨機變量獨立同分布 且 在 證明 對任意 18750 n 2 1 kXk 0 kkk 存 0 42 XEaXDXE 有 1 1 lim 22 n n aXP 證明 證明 1 k k n 2 0 kkk 2222 E XD XE Xa 222 2 0 aaXEXDXE kkk a 2 n k n k k n k k aa n XE n X n E 1 2 1 2 2 1 21 1 1 本節(jié)由定理 3 得 4 4 2 2 42 aXEXEXEXD kkkk 1 1 1 lim 1 lim 1 2 1 2 2 1 2 n k k n k k n kn k n x n x n PaxP 即 E 1 1 lim 2 1 2 ax n P n k k n 習題 5 2 習題 5 2 1 設(shè)是相互獨立的隨機變量 且它們都服從參數(shù)為 0 03 的泊松分 布 記 50 1 2 50 i X i 12 XXX X 試用中心極限定理計算 解 解 易知 由中心極限定理可知 隨機變量 3 XP 0 03 0 03 1 2 50 kk E XD Xk 50 1k Z 近似 50 0 03 500 03 k X 服從標準正態(tài)分布于是 1 0 N 50 0 03350 0 03350 0 03 3 1 3 1 1 1 1 5 50 0 0350 0 0350 0 03 X P XP xP 0 1103 2 部件包括部分 每部分的長度是一個隨機變量 它們相互獨立且具有同一分布 其 數(shù)學期望為 均方差為 規(guī)定總長度為 10 2mm0 05mm200 1mm 時產(chǎn)品合格 試求產(chǎn)品 合格的概率 解解 設(shè) i X為第 部分的長度 10 2 1 i 設(shè)X表示總長度 則 1i i XX 10 i 2 101010 111 2 E XD 0 05 0 05 220 iii ii iii XD X E X 則產(chǎn)品合格的概率 EXE X 1010 2 11 0 05100 025 ii kk D XDXD X 0 1200 1 200 1200 1 0 0250 0250 025 X PXP 0 12 2 12 10 4714 0 02510 3 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝 每箱的重量是隨機的 假設(shè)每箱平均重 50 千克 標 準差為 5 千克 若用最大載重量為 5 噸的汽車承運 試用中心極限定理說明每輛車最多可以 裝多少箱 才能保障不超載的概率大于 0 9770 設(shè)第 箱的重量 設(shè)最多可裝箱 解 解 i Xin5 50 ii XDXE 由中心極限定理知 1 50 n i Xn 近似 0 1 i N 5n 1 i P 50 500050500050 0 977 555 n i Xn nn nnn 即 1000 10 0 977 n n 2 所以2 101000 n n 解得 因此 最多可以裝 98 箱 4 某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明 在索賠戶中被盜索賠占 以 0199 98 9005 9 2 n 20 X表示在隨意抽 查的個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù) 求被盜索賠戶不少于 14 戶且不多于 30 戶的概率的近似值 設(shè) 100 解 解 X為個索賠戶中被盜索賠戶數(shù) 則 于是100 2 0 100 bX 1 5 1 5 2 5 1 5 2 4 2030 4 20 4 2014 304 X PX 1 P 有一批建筑房屋用的木柱 其中的長度不小于 現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出 根 利用中心極限定理計算至少有根短于 設(shè) 2 5 0 9938 0 9332 1 0 9270 1 5 1 5 解 解 80 30 3m 的概率 1003m X為 100 根中短于 3m 的根數(shù) 2 0 100 BX 202 0100 E X 168 02 0100 XD 0062 09938 01 5 2 1 30 1 203020 30 16 20 1616 X PX 6 件的損壞率為 0 9 P 設(shè)一個復雜系統(tǒng)由 100 個相互獨立起作用的部件組成 在整個運行期間 每部 0 1 為了個系統(tǒng)正常工作 至少必須有 85 個部件正常工作 求整個系統(tǒng) 正常工作的概率 設(shè)一個復雜系統(tǒng)由個相互獨立起作用的部件組成 在整個運行期間 每部件的可靠 性為 且必須至少有的部件工作才能使整個系統(tǒng)正常工作 問至少取多大時才 能使整個系統(tǒng)的可靠性不低于 使整 n 80 0 n 95 X 解 解 1 設(shè) 100 個部件正常工作的個數(shù)為 則 9 0 100 X 9 90 B XDXE 于是 3 9085 1 85 P X 1 3 5 9525 0 3 5 2 X表示 n 個部件中正常工作的個數(shù) 則 則 9 0 nBX nE9 X0 nnXD09 01 09 0 3 09 0 1 0 1 09 0 9 08 0 n 09 0 9 0 8 0 n n n n n n nx PnxPP 80 n x 要使95 0 80 P 需有 n x 645 1 645 1 3 n 9 0 n 5 3 3542 24 n 即 n 取 25 總復習題五 總復習題五 1 設(shè)隨機變量方差 XD 2 的數(shù)學期望 E X X則由切比雪夫不等式 3XP 4 4XP 解 解 9 1 3 3 2 2 XP 16 15 4 1 4 44 2 2 XPXP 2 設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學期望分別是 2分別為 1 和 4 而相關(guān)系和 2 方差數(shù)為 0 5 則根據(jù)切比雪夫不等式 6YXP 解 解 2 XE 2 YE1 XD 4 YD 5 0 XY 341 5 0 241 2 YDXDYDXDYXD XY 0 YEXEYXE 12 1 6 3 6 YXP 2 設(shè)都服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布 且相互獨立 則當時 3 n X X X 21 n i in X n Y 1 2 n 1 依概率收斂于 解 解 2 1 i XE 4 1 i XD 2 1 2 1 4 1 2 22 iii XEXDXE 2 1 n YE 1 2 1 lim n n YP由 5 2 定理 3 得 n Y 以概率收斂于 2 1 4 設(shè)隨機變量相互獨立 且有分布律 12 k XXX k X 1 0 1 k p 1 證明 0 1 lim n 1 n k k X n 2k 1 k 2 1 1 1 2 1 k 證明 證明 0 2 1 1 2 1 1 0 2 1 1 11 kkk k XE kkk 2 1 1 0 2 1 1 22 1 k XE 2 1 2 1 1 1 2 2 k 2 1 1 2 1 0 2 1 22 kXEXEXD kk kkk 0 1 1 lim 1 lim 111 n k k n k k n k k n x n Ex n Px n P 由本節(jié)定理 2 0 1 lim 1 n k k n x n P 所以 5 設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列 且均服從參數(shù)為 21n XXX 1 的指數(shù)分 布 記為標準正態(tài)分布函數(shù) 則 x A limP 1 xx n nX n i i n B lim 1 xx n nX P n i i n lim 1 xx n nX P n i i C n D lim 1 xx n n X P n i i 解 解 C 正確 2 1 1 XDXE i n i n i i n i nn i i n i i i i n XDXD n XEXE 11 22 1111 1 1 心極限定理 lix n 由中m lim 1 2 1 xx n nX P n n X P n i i n i i n 6 設(shè) 隨 機 變 量的 概 率 密 度 為 0 xe n x xf x n X試 證 02 1 PXn 解 解 1 n n 1 1 11 0 1 0 nn n dxex n dxe n x xXE xnx n 1 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 2 0 2 0 22 nnnnXEXEXD nnn n dxex n dxe n x xXE xnx n 由切比雪夫不等式 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 20 2 nn XD nXEXP nnXPnnXnPnXP 1 2 1 20 n nXP 即 7 一個螺絲釘重量是一個隨機變量 期望值是 1 兩 標準差是 0 1 兩 利用中心極限 定理求一盒 100 個 同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^ 10 2 斤的概率 解解 設(shè)是第 個螺絲釘?shù)闹亓?i Xi100 2 1 i 易知 由中心極限定理可知 2 1 0 1 ii XDXE 1 0100 100102 1 0100 100 1 102 1 102 i X 100 1 100 1 100 1 i i i i i X PXPP 8 計算機在進行加法時 對每個加數(shù)取整 取為最接近它的整數(shù) 設(shè)所有的取整誤差是相 互獨立的 且它們都在上服從均勻分布 1 若將 1500 個數(shù)相加 問誤差總和的絕對值超過 15 的概率是多少 0227 09773 01 2 1 5 0 5 0 2 問多少個數(shù)加在一起可使得誤差總和的絕對值小于 10 的概率為 0 90 解 解 1 設(shè) i X表示第i個數(shù)的誤差150 0 2 1 i 5 0 5 0 UXi 12 1 0 ii XDXE 由中心極限定理知 1 0 55 12 1 1500 01500 1500 1 1500 1 N XX i i i i 近似 1802 0 9098 01 2 5 3 22 5 3 5 3 1 55 15 55 1 151 15 1500 1 1500 i PXP 1500 i ii X XP 11 ii 2 設(shè) n 個數(shù)加在一起時誤差總和絕對值小于 10 的概率為 0 9 1 0 12 1 1 N n XnEXE n i ii 近似 9 0 12 10 12 10 1500 1 1 nn X PXP i in i i 9 0 12 10 12 10 nn 95 0 12 10 n 查附表 2 可得443 即n 9 解 解 將一枚硬幣連擲 100 次 求出現(xiàn)正面的次數(shù)大于 60 的概率 表示將一枚硬幣擲 100 次出現(xiàn)正面的次數(shù) 則 2 1 100 BX X 50 2 1 100 XE 25 2 1 1 2 1 100 XD 0228 09772 01 2 1 25 5060 25 50 60 X PXP 10 設(shè)船舶在某海區(qū)航行 已知每遭受一次波浪的沖擊 縱搖角度大于的概率為6 1 3 p 若船舶遭受了 90000 次波浪沖擊 問其中有 29500 到 30500 次縱搖角度大于的概率為多 少 解 解 設(shè) 6 為在 90000 次波浪沖擊中縱遙角度數(shù)大于的次數(shù) 則 3 3 1 90000 BXX 于是由中心極限定理 所求為 9995 0 2 25 2 25 3 2 3 1 90000 3 1 9000030500 3 2 3 1 90000 3 1 90000 3 2 3 1 90000 3 1 9000029500 X 3050029500 PXP 11 甲 乙兩個戲院競爭 1000 名觀眾 假定每個觀眾