點線面的位置關系與平行關系.doc

第 課 點、線、面位置關系以及線面平行關系 【教學目標】一、知識目標1、熟練掌握點、線、面的概念；2、掌握點、線、面的位置關系，以及判定和證明過程；3、掌握點、線、面平行的性質二、能力目標1、在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法，培養(yǎng)學生類比思維能力；2、通過對公理，定理的應用，提高學生分析問題和解決問題的能力；2、培養(yǎng)學生的空間想象能力，通過歸納總結，促進學生自主學習和歸納的能力三、情感目標1、使用學生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學習的興趣；2、讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣；3、讓學生了解空間與平面互相轉換的數學思想【教學重點】1、異面直線的概念；2、直線與平面平行的判定定理及應用；3、兩個平面平行的判定【教學難點】1、異面直線所成角的計算；2、兩平面平行性質定理的正確運用；3、兩平面平行判定定理的證明【知識點梳理】1、公理及推論公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內用符號語言表示公理1：公理1作用：判斷直線是否在平面內公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面和相交，交線是a，記作a符號語言：公理2作用：它是判定兩個平面相交的方法它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一面公理3及其推論作用：它是空間內確定平面的依據；它是證明平面重合的依據公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2、空間直線與直線之間的位置關系（1） 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線（2） 異面直線性質：既不平行，又不相交（3） 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線（4） 異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直（5）求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角（6）異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離（7）兩條異面直線的公垂線有且只有一條（8）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補3、空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內有無數個公共點三種位置關系的符號表示：a；aA；a直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外4、平面與平面之間的位置關系：平行沒有公共點：；相交有一條公共直線：l5、直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（記憶口訣：線線平行 線面平行）符號表示為：圖形如右圖所示Pab6、面面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行用符號表示為：圖形如右圖所示a7、直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過該直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行（記憶口訣：線面平行 線線平行）用符號表示為：圖形如右圖所示8、面面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行用符號語言表示為：.其它性質：；夾在平行平面間的平行線段相等圖形如右圖所示【典型例題】題型一、證明點或線共面、三點共線或三線共點問題例題1：如圖，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點，且EF交GH于P求證：P在直線BD上分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點即，已知：EFGHP， EAB、 FAD， GBC， HCD，求證：B、D、P三點共線【解析】證明：ABBDB，AB和BD確定平面ABD（推論2）AAB，DBD， EAB，FAD， EFGHP， P平面ABD同理，P平面BCD平面ABD平面BCDBDPBD即B、D、P三點共線【點評】結合本例，說明證三點共線的常規(guī)思路變式1：如圖，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F、G分別是邊BC、CD上的點，且，則（）（A）EF與GH互相平行（B）EF與GH異面（C）EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上（D）EF與GH的交點M一定在直線AC上【解析】依題意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因為EHBD，故EHFG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設交點為M，因為點M在EF上，故點M在平面ACB上，同理，點M在平面ACD上，即點M是平面ACB與平面ACD的交點，而AC是這兩個平面的交線，由公理3可知，點M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上選（D）【點評】本題主要考查公理2和公理3的應用，證明共線問題利用四個公理來證明共點、共線的問題是立體幾何中的一個難點變式2：如圖所示，設，分別是空間四邊形的邊，上的點，且，求證：（1），四點共面；（2）當時，四邊形是平行四邊形；（3）當時，四邊形是梯形分析：只需利用空間等角定理證明即可【解析】證明：連結，在中， ，且在中， ，且 ， 頂點，在由和確定的平面內（1）當時，故四邊形為平行四邊形；（2）當時，故四邊形是梯形說明：顯然，課本第11頁的例題就是本題（2）的特殊情況特別地，當時，是空間四邊形各邊中點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形是平行四邊形如果再加上條件，這時，平行四邊形是菱形題型二、異面直線的判定或求異面直線所成的角例題2： A是BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點， （1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角【解析】（1）證明：用反證法假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內，這與A是BCD平面外的一點相矛盾故直線EF與BD是異面直線（2）解：取CD的中點G，連結EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角在RtEGF中，求得FEG=45，即異面直線EF與BD所成的角為45【點評】證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”注意，異面直線所成角的范圍是（0，變式3：給出下列關于互不相同的直線和平面的三個命題：若為異面直線，則；若，則；若，則，其中真命題的個數為（ ）A3 B2 C1 D0【解析】選C，由異面直線的定義得，兩直線可分屬兩個平面，但是這兩個平面不一定平行，命題錯誤；由面面平行的性質定理得線面平行，不一定得到線線平行，命題錯誤；由線面平行的性質定理得線線平行，再由線線平行的遞推性可得，命題正確題型三、直線與平面、平面與平面平行的判定例題3：如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F，且B1E=C1F求證：EF平面ABCD【解析】證明：方法一：分別過E，F作EMAB于M，FNBC于N，連接MN.BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1， EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二：過E作EGAB交BB1于G，連接GF，則，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD變式4：一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP/平面FMC，并給出證明【解析】點P在A點處，證明：取DC中點S，連接AS、GS、GAG是DF的中點，GS/FC，AS/CM面GSA/面FMCGA/面FMC 即GP/面FMC【點評】證明線面平行，在平面內找一條直線與平面外的直線平行，是證明線面平行的關鍵題型四、證明線面平行與線面平行性質的運用例題4：如下圖，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求證：MN平面BCE【解析】證法一：過M作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，連結PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ=BN=CM=MP，MPQN是平行四邊形MNPQ，PQ平面BCE，而MN平面BCE，MN平面BCE證法二：過M作MGBC，交AB于點G（如下圖），連結NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同樣可證明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE 又MN平面MNGMN平面BCE【點評】證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行變式5：如下圖，設a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過AB的中點O作平面與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點，MN與交于點P，求證：P是MN的中點【解析】證明：連結AN，交平面于點Q，連結PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O為AB的中點， Q為AN的中點 a，a平面AMN且平面AMN=PQ， aPQP為MN的中點變式6：如圖所示，是圓柱的母線，為矩形，分別是線段的中點，求證：面【解析】證明：在中，分別是的中點所以，（中位線定理）在矩形中， 所以，因為，平面，平面 所以，平面同理，在中，有（中位線定理）因為，平面，平面 所以，平面因為，平面，平面， 所以，平面平面因為，平面 所以，平面（面面平行的性質定理）【點評】運用中位線定理，證得兩直線分別平行兩平面，根據面面平行的判定定理證得平面平面，再運用面面平行的性質定理證得線面平行，綜合運用線線，線面，面面三者平行關系解題變式7：如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，求證：面【解析】證明：取中點，連接由題可得，即四邊形為平行四邊形因為，分別為中點，可得因為，平面，平面所以，平面在中，分別為的中點所以，因為，平面，平面所以，平面因為，平面，平面，所以，平面平面因為，平面所以，平面（面面平行的性質定理）【點評】設取中點，從而找到兩條相交的直線分別平行同一平面，證得面面平行，再運用面面平行的性質定理得到線面平行題型五：證明面面平行與面面平行性質的運用例題5：如圖，在四棱錐P ABCD中，M,N分別是側棱PA和底面BC邊的中點，O是底面平行四邊形ABCD的對角線AC的中點求證：過O、M、N三點的平面與側面PCD平行【解析】證明：O、M分別是AC、PA的中點，連接OM，則OM/PCOM平面PCD，PC平面PCD，OM/平面PCB連結ON，則ON/AB，由AB/CD，知ON/CDON平面PCD，CD平面PCD，ON/平面PCD又OMON=O，OM、ON確定一個平面OMN由兩個平面平行的判定定理，知平面OMN與平面PCD平行，即過D、M、N三點的平面與側面PCD平行【點評】本題考查線線、線面、面面位置關系相互轉化的基本能力若兩條相交直線分別與某已知平面平行，則這兩條相交直線確定的平面平行于已知平面變式8：正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1平面FBDA1AB1BC1CD1DGEF【解析】證明：（1）由B1BDD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1BD， 又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中點G，AEB1G從而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD【點評】要證“面面平面”只要證“線面平面”，要證“線面平行”，只要證“線線平面”，故問題最終轉化為證線與線的平行【方法與技巧總結】1位置關系：（1）兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90；證明線面垂直，得到線線垂直；（2）直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；利用平行四邊形利用三角形中位線（3）面與面平行證明方法：主要證明線線平行即可（4）掌握線性平行，線面平行，面面平行三者之間的相互轉化2求角：（1）兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是；（2）直線和平面所成的角：先找射影，構造成直角三角形【鞏固練習】1、表示不同的點，、表示不同的直線，、表示不同的平面，下列推理不正確的是（ ）A B，直線C D，且不共線與重合2對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（ ）A如果、n是異面直線，那么B如果、n是異面直線，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么3有以下命題，正確命題的序號是 直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行； 直線與平面內的任何一條直線都不相交，則直線與平面平行；直線上有兩點，它們到平面的距離相等，則直線與平面平行；直線與平面內的無數條直線不相交，則直線與平面平行 4在三棱錐中，分別是的中點求證：平面5如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別是的中點，證明：平面6如圖所示，在三棱柱中，點為棱的中點，求證：平面7如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點，為中點證明：平面8如圖，已知，2AB=DE，且是的中點，求證：平面9在棱長為的正方體中,是線段的中點，底面的中心是，求證：平面【課后作業(yè)】1已知直線l1、l2，平面，l1l2，l1，則2與的位置關系是（ ）A l2 B l2 C l2或l2 D l2與相交2設平面與平面交于直線l，直線，直線，則M_l3直線AB、AD，直線CB、CD，點EAB，點FBC，點GCD，點HDA，若直線HE直線FG=M，則點M必在直線_上4如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為AA1、C1D1的中點，過D、M、N三點的平面與直線A1B1交于點P，則線段PB1的長為 5如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線BD1與過A1、D、C1的平面交于點M，則BM：MD1= (5題) (6題)6直線a、b不在平面內，a、b在平面內的射影是兩條平行直線，則a、b的位置關系是 7正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、CC1、C1D1、D1A1的中點，則四邊形EFGH的形狀是 8空間四邊形ABCD中, AD=1 , BC=, BD=, AC=, 且, 則異面直線AC和BD所成的角為 9在四棱錐中，為中點，為中點求證：平面10如圖，矩形，為圓的直徑，點在圓上，設的中點為，求證：平面11M、N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中點，（1）求MN與AD所成的角；（2）求MN與CD1所成的角 12如圖，已知空間四邊形ABCD的對角線AC=14cm，BD=14cm，M、N分別是AB，CD的中點，MN=cm，求異面直線AC與BD所成的角13已知四面體ABCD中，M，N分別是和的重心，求證：（1）BD/平面CMN；（2）MN/平面ABD14如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一個矩形，（1）求證：CD/平面EFGH；（2）求異面直線AB，CD所成的角15M，N，P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點，且AM：MB=CN：NB=CP：PD求證：（1）AC/平面MNP，BD/平面MNP；（2）平面MNP與平面ACD的交線/AC【拓展訓練】1（四川卷）l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）Al1l2，l2l3 l1l3 Bl1l2，l2l3 l1l3Cl1l2l3 l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共點 l1，l2，l3共面2（浙江卷）若直線l不平行于平面，且l，則（ ）A內的所有直線與l異面 B內不存在與l平行的直線 C內存在唯一的直線與l平行 D內的直線與l都相交3（四川卷）下列命題正確的是（ ）A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行5（四川卷）如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是_6如圖，是底面半徑為1的圓柱的內接正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面），過作圓柱的截面交下底面于，已知，證明：四邊形是平行四邊形7如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，分別在棱上，且求證： 【參考答案】1、鞏固練習答案1【答案】C 2【答案】C 3【答案】4【答案】 因為，分別為的中點 所以， 又因為，平面，平面 所以，平面5【答案】 因為，分別是的中點所有，由題可得，即又因為，平面，平面 所以，平面6【答案】連接交于點，連接在平行四邊形中，為中點又因為為中點所以，又因為，平面，平面 所以，平面7【答案】證明：連接在平行四邊形中，因為為的中點，所以為的中點，又為的中點，所以因為平面，平面所以平面8【答案】取中點，連結，為的中點，又 為平行四邊形， 又平面，平面 平面9【答案】連接因為，所以為平行四邊形，因此在正方形中，為中心，即為中點由于是線段的中點，所以， 所以為平行四邊形，即因為面，平面，所以平面2、課后作業(yè)答案1【答案】C 2 3BD 4 52:1 6平行或異面7等腰梯形 89009【答案】證明：連接， . 為中點，則因為，所以，則四邊形是平行四邊形所以因為不在平面內，在平面內,所以平面10【答案】設的中點為，則，又，則，四邊形為平行四邊形， 又平面，平面，平面11解：（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD/B1C1B1C1與MN所成的銳角（或直角）是AB、CD所成的角 B1NM=450 MN與AD所成的角為450（2）連接A1B，過M在面A1B中作A1B的平行線交A1B1于點L，連接LN，LM/D1CLMN（或其補角）即為MN與CD1所成的角 LMN=600 MN與CD1所成的角為60012解：取BC的中點P，連接PM，PN，可證MPN（或其補角