參數(shù)方程和普通方程的互化.doc

參數(shù)方程和普通方程的互化 教學(xué)目標(biāo)1理解參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程是等價(jià)的2基本掌握消去參數(shù)的方法3培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和靈活地進(jìn)行公式的恒等變形的能力即在“互化”訓(xùn)練中，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)使學(xué)生掌握參數(shù)方程與普通方程之間的互化法則，明確新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，掌握消去參數(shù)的基本方法教學(xué)過程師：前面的課程里，我們學(xué)習(xí)了參數(shù)方程，下面請(qǐng)看這樣一個(gè)問題：(放投影片)由圓外一點(diǎn)Q(a，b)向圓x2+y2=r2作割線，交圓周于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(如圖3-5)分析 割線過點(diǎn)Q(a，b)，故割線PQ方程為：此斜率k可作為參數(shù)(投影)解 設(shè)過點(diǎn)Q的直線方程是y-b=k(x-a)，則圓心O與AB中點(diǎn)P的即為所求點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程師：你能根據(jù)點(diǎn)P的參數(shù)方程說出點(diǎn)P的軌跡嗎？生：(無言以對(duì))看不出來(啟發(fā)學(xué)生猜想，培養(yǎng)參與意識(shí))師：你通過題目中點(diǎn)P符合的條件，多畫幾個(gè)點(diǎn)，猜想一下它的形狀(學(xué)生在紙上畫，討論)生：點(diǎn)P的軌跡(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)，也就是已知圓的圓心(2)軌跡不是直線師：參數(shù)方法是研究曲線和方程的又一種方法，是一種利用參數(shù)建立兩個(gè)變量之間的間接聯(lián)系的方法也就是說，參數(shù)方程里的參數(shù)可以協(xié)調(diào)x、y的變化基于這點(diǎn)理論，有時(shí)為了判定曲線的類型、研究曲線的幾何性質(zhì)，需要把參數(shù)方程化為普通方程即想辦法消去參數(shù)k，把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為我們熟知的普通方程，再去研究它的幾何性質(zhì)就容易了把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0(4)方程(4)證實(shí)了我們的猜想是正確的，具體地說：點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)過圓心的圓弧(在圓x2+y2=r2的內(nèi)部)師：以上事例說明，有時(shí)為了判定曲線的類型，研究曲線的幾何性質(zhì)，確實(shí)需要把參數(shù)方程化為我們認(rèn)知的普通方程這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)把參數(shù)方程化為普通方程的法則例1 炮彈從點(diǎn)(0，0)以初速度v0向傾斜角為的方向發(fā)射，問：(1)在時(shí)刻t的高度和水平距離如何？(2)炮彈描繪的(彈道)是一條什么樣的曲線？(學(xué)生通過物理知識(shí)，很容易解決這個(gè)問題)解 (1)設(shè)炮彈發(fā)射后的位置在點(diǎn)M(x，y)(如圖3-6)，因?yàn)榕趶椩贠x方向是以v0cos為速度的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在Oy方向是以v0sin為初速度的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，所以按勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式知：炮彈在時(shí)刻t的水平距離是x=v0cost，按豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式知：炮彈在時(shí)即彈道曲線的參數(shù)方程上看不出來，那么怎么辦呢？生：消去參數(shù)t，轉(zhuǎn)化成為普通方程后，就可看出曲線的形狀了故炮彈描繪的曲線是一條拋物線(含頂點(diǎn)在內(nèi)的一部分因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)是負(fù)值，所以這是開口向下的拋物線，與實(shí)際問題相吻合)例2 把參數(shù)方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的軌跡是一條直線師：這個(gè)同學(xué)理解了消參的基本方法代入消參法這正與解方程組中代入消元法相類似他用學(xué)過的知識(shí)解決了新問題你認(rèn)為他的解題過程有問題嗎？生：挺好的我與他解的一樣，沒問題師：同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)注意參數(shù)t的取值范圍了嗎？生：t為不等于-1的實(shí)數(shù)，即t-1師：答案是否有何不妥？生：沒覺得哪兒不妥，軌跡確實(shí)是一條直線師：普通方程是相對(duì)于參數(shù)方程而言的，它反映了坐標(biāo)變量x與y之間的直接關(guān)系，而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x與y之間的間接關(guān)系如能消去參數(shù)(不是所有的參數(shù)方程都能化為普通方程)，參數(shù)方程就轉(zhuǎn)化為普通方程，所以普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同的表達(dá)形式為此，在化參數(shù)方程為普通方程時(shí)，必須注意變數(shù)的范圍不應(yīng)擴(kuò)大或縮小，也就是對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)不應(yīng)增加也不應(yīng)減小這就要求參數(shù)方程和消去參數(shù)后的普通方程等價(jià)請(qǐng)修正一下你的答案生：3x+5y-11=0(x-3)是所求的普通方程，它的軌跡是一條直線(去掉點(diǎn)(-3，4)師：觀察一下方程(1)、(2)的形式與你學(xué)過的知識(shí)中哪個(gè)式子類似？(提供類比，用以理解直線的參數(shù)方程形式不只一種，它與選定的參數(shù)相關(guān))至此，想必學(xué)生悟到t的幾何意義：動(dòng)點(diǎn)P分P1P2所成的比，即t=解 過點(diǎn)(2，1)，(-3，4)的直線方程是：化簡(jiǎn)，得3x+5y-11=0師：這個(gè)事實(shí)說明，據(jù)參數(shù)的幾何意義，也能達(dá)到消參的目的師：例2表明，直線的參數(shù)方程的形式不只一種那么對(duì)同一個(gè)參數(shù)方程來說，指定的參數(shù)不同，會(huì)帶來曲線的形狀不同嗎？你試試看(激發(fā)學(xué)生探索問題的興趣)生：對(duì)同一個(gè)參數(shù)方程來講，由于指定的參數(shù)不同，會(huì)帶來曲線形狀的變化例4 化下列參數(shù)方程為普通方程(讓學(xué)生按小組討論求解，然后在投影儀上打出答案)略解 (1)(x+1)2+y=sin2+cos2，所以 (x+1)2+y=1，(0y1)所以x2-y2=4師：消去參數(shù)的方法常用的有哪些？轉(zhuǎn)化過程中應(yīng)注意什么？(學(xué)生討論后教師板書)消去參數(shù)的方法常用的有以下兩種：(1)代入法：先求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入另一個(gè)方程中去(如例1)(2)利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消去參數(shù)(如例4)轉(zhuǎn)化過程中應(yīng)注意參數(shù)的范圍不能擴(kuò)大也不能縮小也就是對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)，不應(yīng)增加也不應(yīng)減少，保證參數(shù)方程和消參后的普通方程等價(jià)師：方程組中有3個(gè)變量，其中的x和y表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；是參變量參數(shù)方程之所以能描繪出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，是由于當(dāng)給出一個(gè)參數(shù)值時(shí)，就能唯一地求出相應(yīng)的x與y的值，因而也就確定了這時(shí)點(diǎn)所在的位置所以問題可轉(zhuǎn)化為討論當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最小問題因?yàn)閠an、cot同號(hào)，又|tan+2cot+2|tan+2cot|-|2|，從例5的結(jié)論知道，參數(shù)不是問題的主要對(duì)象，卻能牽動(dòng)主要對(duì)象的根本性質(zhì)這個(gè)問題的解決再一次說明：參數(shù)方程能明確地揭示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)解決某些問題有不可替代的優(yōu)越性師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了參數(shù)方程化為普通方程的法則首先通過問題的提出，我們知道有時(shí)為了判定曲線的類型，研究曲線的幾何性質(zhì)，需要把參數(shù)方程化為普通方程又在將參數(shù)方程化為普通方程的過程中，掌握了消去參數(shù)的常用方法，并且理解了參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程為什么要等價(jià)家庭作業(yè)：一、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線二、關(guān)于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，yR，i是虛數(shù)單位)有實(shí)根，求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡的普通方程下面是作業(yè)題略解一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)為圓心，|t|為半徑的圓(2)y-y0=tan(x-x0)，過點(diǎn)(x0，y0)，斜率是tan的直線(3)2x+y-5=0(0x3)，缺一個(gè)端點(diǎn)的線段(4)y2-x2=4(y2)，雙曲線的上支二、已知方程整理為：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因?yàn)閤，y，tR，得4x2+y2+4x-2y=0為所求設(shè)計(jì)說明參數(shù)方程與普通方程的互化，應(yīng)該是兩課時(shí)，這是第一課時(shí)的內(nèi)容：參數(shù)方程化為普通方程對(duì)這一問題課本僅用32頁(yè)的篇幅介紹了互化的方法共3個(gè)例題縱觀全章參數(shù)方程、極坐標(biāo)也只是對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行了初步研究而事實(shí)上，參數(shù)方程也是解析幾何的重要內(nèi)容之一，是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用我們知道，參數(shù)方程與帶有參數(shù)的問題固然不同，但是學(xué)習(xí)參數(shù)方程對(duì)于熟練參數(shù)的運(yùn)用卻很有幫助更有一類問題，看來不是參數(shù)方程，而實(shí)質(zhì)上是參數(shù)方程問題這就是所求軌跡的方程，軌跡是雙曲線這解法有些使人莫名其妙，實(shí)際上這是參數(shù)方程本來我們應(yīng)該先把對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)求出來：這就是所求軌跡的參數(shù)方程為了求x、y的方程而消t的話，可以照這樣進(jìn)行：數(shù)學(xué)中的參數(shù)好像是一種活潑的元素，有它