第二十定義新運算.docVIP

第二十講 定義新運算專題簡析： 定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些特殊算式的一種運算。解答定義新運算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運算算式進行計算。 定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、等，這是與四則運算中的“D、#、*、”不同的。 新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種運算定律的。例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定ab3a2b，求 32， 23；這個運算“”有交換律嗎？求（176）2，17（62）；這個運算“”有結(jié)合律嗎？如果已知4b2，求b.分析解定義新運算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運算的本質(zhì)是：用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解： 32 33-229-4 5233223660.由的例子可知“”沒有交換律.要計算（176）2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：176317-2639；再計算第二步3923 39-22113，所以（176）2113.對于17（62），同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6236-2214，其次171431721423，所以17（62）23.由的例子可知“”也沒有結(jié)合律.因為4b34-2b12-2b，那么12-2b2，解出b5.例2 定義運算為abab（ab），求57，75；求12（34），（123）4；這個運算“”有交換律、結(jié)合律嗎？如果3（5x）3，求x.解： 5757（57）35-1223，7 5 75（75）35-1223.要計算12（34），先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3434（34）5，再計算第二步125125（125）43，所以 12（34）43.對于（123）4，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，123123（123）21，其次214214（214）59，所以（12 3）459.由于abab（ab）；baba（ba）ab（ab）（普通加法、乘法交換律）所以有abba，因此“”有交換律.由的例子可知，運算“”沒有結(jié)合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5）12x15（4x2） 8x 13那么 8x133解出x2. 這個運算有交換律和結(jié)合律嗎？的觀察，找到規(guī)律：例5 x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求12）*3的值，首先我們要計算12，根據(jù)“”的定義：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l2的值也就計算出來了，我們設(shè)12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此要計算（12）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）4=64求出 k的值.解：因為1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出：當(dāng)m=1，n=2時：（2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k有32k=64，解出k=2.當(dāng)m=3，n=1時：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k所以m=l，n=2，k=2. （12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.在上面這一類定義新運算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點不放，在計算時，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒有確定新運算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運用這些運算律來解題.例6、假設(shè)a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26同類練習(xí)1.將新運算“*”定義為：a*b=(a+b)(a-b).求27*9。2.設(shè)a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。3.設(shè)a*b=3ab，求（25*12）*（10*5）。例7、設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定：pq=4q-(p+q)2。求3(46). 3(46). 3【46（4+6）2】 319 419（3+19）2 7611 65同類練習(xí)1.設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定pq4q（p+q）2，求5（64）。2.設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定pqp2+（pq）2。求30（53）。3.設(shè)M、N是兩個數(shù)，規(guī)定M*N+，求10*20。例8如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420同類練習(xí)1.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，.那么，4*4=？，18*3=？2.規(guī)定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa.a,那么8*5=？（b-1）個a3.如果2*1=，3*2=，4*3=，那么（6*3）（2*6）=？例9、規(guī)定=123，=234 ，=345，=456，如果=A，那么A是幾？ A =（） =（）=1=1=同類練習(xí)1.規(guī)定：=123，234，345，456，.如果A，那么A=？2.規(guī)定：234，345，456，567，.如果+，那么？3.如果121+2，232+3+4，.565+6+7+8+9+10，那么x354中，x？例10、設(shè)ab=4a-2b+ab,求x（41）34中的未知數(shù)x。4144-21+4116X164x216+x1612x32X 5.5同類練習(xí)1.設(shè)ab=3a-2b,已知x（41）7求x。2.對兩個整數(shù)a和b定義新運算“”：ab=，求64+98。3.對任意兩個整數(shù)x和y定于新運算，“*”：x*y（其中m是一個確定的整數(shù)）。如果1*21，那么3*12？例11、有一種數(shù)學(xué)符號，使下列算式成立：84=28 76=27 108=38 求：128=？解析：要找出符號所規(guī)定的運算定義是解題的關(guān)鍵，要從這三個算式中的108=38入手，（因為這個算式中有整數(shù)），經(jīng)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)103+8=38，再用其它算式驗證規(guī)律是否正確。最后得到結(jié)論ab=a3+b所以128=123+8=44例12、小明來到紅毛族住地探險?？吹较旅鎺讉€紅毛族的算式：88=8 999=5 93=3 （93+8）7=837老師告訴他，紅毛族算術(shù)中的加、減、乘、除、括號與我們算式中的意義相同，進制也是十進制，只是每個數(shù)字雖然與我們寫法相同，但代表的數(shù)不同，請你按照紅毛族的算式規(guī)則，完成下面算式：8957= 解析：由88=8想到11=1，所以8為1，999=5三個相同的數(shù)還得相乘還得一位數(shù)，那么9只能是我們的數(shù)字2,5是數(shù)字8.把2帶入93=3中得出23=3,那么3就是我們的數(shù)字0,再把得出的數(shù)字代入(93+8)7=837,可化為（20+1）7=107，由此我們能推斷出紅毛族的7就是我們的數(shù)字5.所以，8957=1285=1020典型題特訓(xùn)1、 設(shè)ab=aa-2b，那么56=？（52）3=？（第六屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽題）2、 如果32=333=36 23=2+22+222=246 14=1+11+111+1111=1234那么45=？（北京市第十一屆“迎春杯”刊賽題）3、 設(shè)m、n是兩個數(shù)，規(guī)定mn=4n（m+n）2，這里加減乘除是通常的四則運算符號，括號的作用也是通常的含義。是新的運算符號。計算：3（46）。（南京市第二屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽題）4、 有一種數(shù)學(xué)運算符號，是下列算式成立：24=8 53=13 97=25，那么64= （育苗杯小學(xué)數(shù)學(xué)通訊賽預(yù)賽）5、 表示一種新的數(shù)學(xué)運算符號，已知23=2+3+4，72=7+8 35=3+4+5+6+7，按此規(guī)則n8=68，那么n的值是多少？（第九屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽）6、 如果：45=13, 55=15， 1210=34那么20072008=？7、 如果：45=18， 910=38， 1122=66， 2020=80，那么199200=？8、 如果13=123， 54=5678， 那么（