數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(204).pdf

4 2 中 等 數(shù) 學(xué) 熬 滁 蓖寓 刪艨 2 0 4 中圖分類號 C 4 2 4 7 9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 6 0 0 4 2 0 5 第 一 試 一 填空題 每小題 8 分 共 6 4 分 1 函數(shù)廠 一 2 的值域為 2 如 圖1 在 4 6的方 格 表 中 單 位格 為 紅格 在此 方格表 中包 含紅 格 的矩形共有 個 圖1 3 已知 a b C 為 A B C的三邊長 a b c t 二二 二二二二 口 b b c c 口 則 t 的取值范圍是 4 已知實數(shù) 口 b 滿足 a r c s i n 1 一 a r c s i n b 一 1 則 a r c c o s a 一 b 5 方 程 組 i x e ln 三y 的 解 為 6 已知集合 T 1 2 2 0 1 0 對于 的每一個非空子集的所有元素 計算它們乘 積的倒數(shù) 則所有這樣倒數(shù)的和為 7 已知直線 y 6與雙曲線 y k 2 交于點 m 一 1 n 2 則 k o k 的解集為 8 已知內(nèi)心為 一1 7 的 R t O A B的 三個頂點均為整點 坐標(biāo)原點 0為直角頂點 則滿足條件的 R t O A B的個數(shù)為 二 解答題 共 5 6分 9 1 6分 若復(fù)數(shù) 滿足 4 z 一 n 一3 i z 一 加 一3 i z 1 4 0 求t f 1 的 取 值 范 圍 z 1 0 2 0分 兩兩外切且半徑分別為 1 2 3的三個實心木球 球 0 球 0 球 0 夾在 V 字型木架之間 每個球與 V字型木架兩 個面相切 求 V字型木架兩個面 的夾角的 度數(shù) 1 1 2 0分 定義在 R上的函數(shù)廠 滿足 1 9一 9 若 O 0 f 0在 區(qū)間 一 4 0 2 0 4 0 2 0 上有 11 個根 求 的最小值 加試 一 4 0分 如 圖2 o D與o D 內(nèi) 切 oD的內(nèi)接四邊 形 A BC D 的 邊 B C C D分別與o0 切于 點 B A D的平 分線與刪 交于點 證 明 為 BC D 的內(nèi)心 圖 2 二 4 0 分 設(shè)實數(shù) x y z 0 滿足 12 7 求 y 上 2 5 的最大值 三 s o分 求所有的素數(shù) P 使得P 一 8 7 p 7 2 9為完全立方數(shù) 四 5 0 分 證 明 存在一種給集合 M 2 0 1 6年第 6期 4 3 1 2 2 0 1 0 染五種顏色的方法 使得任 何一個 由集合 的元素組成 的 9項等差數(shù) 列均不為單色的 參 考 答 案 第 一 試 一 1 0 1 注意到 1 一 1 一 顯然 的定義域為 一 1 1 且 為偶函數(shù) 當(dāng) 0 1 時 1 一 1 一 均為增 函數(shù) 于是 f x 為增函數(shù) f x 的值域為 0 1 e P l O 1 2 7 2 由于格 A的上 下 左 右分別有 2條水 平線 3條水平線 3條豎線 4條豎線 含格 A的邊所在的直線 故所求矩形的個數(shù)為 c 21 乙 31 乙 31 c j 2 x 3 3 x 4 7 2 3 13 口 6 6 c c a I 1 一 口 6 6 c c a 因為I a b I c a b 所以 a一 6 C 2 c 2 c a 6 6 c 2 2 a b 6 c c a a 6 c 2 4 a b 6 c c a 于是 t 2 因此 由前兩式得 Y 由后兩式得 彳 戈 故 Y 與假設(shè)矛盾 因此 類似地 y 故 Y 類似地 Y z 從而 Y 厄 于是 e i e Y e 6 2 0 1 0 注意到 在乘積 1 1 1 1 1 展開式的2 2 o I o 項中 每一項均為正整數(shù)的倒 數(shù) 也恰為集合 的 2 2 0 1 0 個子集中的一個子 集的數(shù)的乘積的倒數(shù) 刪去 1 這一項 其對應(yīng) 的子集為空集 于是 所求倒數(shù)的和為 2 x 3 4 一l 2 01 0 7 2 顯然 k o O時 O 不是不等式 的解 直線Y k o X 6 o 與雙曲線Y 的反函 數(shù) 分 別 為 與 譬 兩 個 反 函 數(shù) 的 圖 像交于點 P 1 m Q 2 如圖3 所示 當(dāng) 0時 不等 式 化為 觀 i 0 察圖像知其解為 2 當(dāng) 0時 不等 式 化 為 一k 2 J 二y 一 1 D I 2 圖 3 觀察圖像知其解為 一 1 綜上 解集為 2 8 2 如圖4 設(shè) x O A 0 c x O l 中 等 數(shù) 學(xué) 則 一 又 t a n 盧 7 故 t肌 叫JE 一 一 屋二 一 一 1 t a n JE 一3 J D 戈 圖 4 t a n t鋤 詈 一 co t 一 1 一 3 4 t a I l 則點 A 3 t 4 t B 4 k 3 k Z 從而 O A 5 t O B 5 k R t O A B的內(nèi) 切圓半徑為 r O s i n 4 5 O 5 又r O A 一 佃 5 t S k 一 5 f 5 5 t 一 2 t 一 2 一 2 2 因為 t k 均為正整數(shù) 所以 f J 3 4 或 4 3 因此 滿足條件的 R t O A B有兩個 二 9 將已知等式變形為 4 n 3 i 3 i石一4 0 z 2 0 0 4 z 3 i 4 3 i z I zl 2 0 1 0 1 4 z 3 i I 1 4 3 i J 設(shè) z 口 b i 口 b R 則 l 4 z 3 i I 一 1 4 3 i I 1 4 a 4 6 3 i I 一I 4 3 b 一 3 a i l 1 6 a 4 b 3 一 4 3 6 一 9 a 7 口 b 一 1 7 I z l 一 1 若 l 4 3 i zI 而式 中 有 l如 3 i I 1 亦推出矛盾 因此 I I 1 令 z e 3 4 i 5 e 貝 IJ t 3 4 i z 3 4 i 5e l 0 5e一 8 a 1 0 c o s 0 一 1 0 1 0 故所求取值范圍是 一 1 O 1 0 1 O 設(shè) V字型木架的兩個面為 與 JE 的交線為 Z 三個球心所在的面為 設(shè) 一Z 一 0 貝 IJ z 一 z 一 J 一 z 一 記點 0 0 0 在面 上的投影分別為 0 D D 注意到 01 02 3 01 03 4 02 03 5 Ol O 1 D 2 0 2 0 3 0 3 面 0 1 o l o o 與直線 Z 交于點 絲 由 MO l D MO 3 0 得 01 M 2 03 6 若面 0 D D D 3 與直線 Z 交于點 如圖 5 過點 D 3 作 0 3 P上 Z 于 點 P 聯(lián)結(jié) P 則 D P上 Z 從 而 0 3P O 罷 易求 D 3 N 1 5 在 D 1 0 2 0 3 中 由余 弦定理得 c s D D D s i n D D 3 D 在 M N O 中 由余弦定理得 MN 3 叉 s MN o3 P 1 03M 03 Ns i n 0l D3 D2 于是 s P 1 8 圖 5 2 0 1 6年第 6期 4 5 s i n 0 n 0 3 P O 0 2a r e s i n 1 1 用4一 替換 1 9一 中的 得 5一 5 于是 5為 的對稱軸 類似地 9也為 的對稱軸 又 1 一 1 9 一 1 8 則 8 為 的一個周期 因為 0 0 所以 8 0 廠 2 5 3 廠 5 3 8 0 則廠 在區(qū)間 8 8 k 1 k z 內(nèi)至少有兩個根 而 4 0 2 0 8 5 0 2 4 故 0在 區(qū) 間 0 4 0 2 0 內(nèi)至少有 5 0 2 X 2 2 1 0 0 6個 根 在 區(qū)間 一 4 0 2 0 0 內(nèi)至少有 5 0 2 2 1 0 0 4個根 因此 0在 區(qū)間 一 4 0 2 0 4 0 2 0 內(nèi)至少有 1 0 0 6 1 0 0 4 2 0 1 0個根 可構(gòu)造出一個 鋸齒型 函數(shù) 如圖6 滿足上述所有條件 其在區(qū)間 一 4 0 2 0 4 0 20 內(nèi)有2 0 1 0個根 除此之外不再有其他的棍 J I 1 一 8 6 D 2 5 8 1 0 元 圖 6 故所求 的最小值為 2 0 1 0 加試 一 如圖 7 聯(lián)結(jié) C O 與 MN交于點 延長 C O 與oD交于點 過點A作oD的 直徑 A F 聯(lián)結(jié) A C M D E 0 由相交弦定理得 ol C o E 0t A 0 F 圖 7 0 E O A A F D s i n B C D O E A F D s i n 1 曰 c D 又 D O Ms i n 1 c D O As i n 1 j 5 cD 則 I E 0 E 0 AF s i n BC D DE 類似地 E 加 故 為 B C D的內(nèi)心 在 R t 0 MC中 由射影定理得 0 t M 0t I 0 t c 于是 O A 0 0 C 故 A D C O A O A I A c D 注意到 B t 9 0 o一 0 一 AC B 9 0 一 Bc o 9 0 一 1 j 5 c D 類似地 D A I 9 0 一 1 B C D 則 B M D M 即 平分 B A D 從而 點 與 J 重合 因此 為 B C D的內(nèi)心 二 令 m 5 一 m o m 則 廠 m 詈 2 d 5 一 5 一 巾 等 數(shù) 學(xué) 5 一 m 5 一 m I 2 于是 m 4 2 從而 0 m 3 5 一 m 2 6 當(dāng)且僅當(dāng) 時 以上各式等號成立 故 南 南 南 v 4 6 3 6 3 6 3 去 4 學(xué) 于 是 走 去 一 學(xué) 當(dāng)且僅當(dāng) Y 時 以上各式等 號成立 因 此 所 求 最 大 值 為 一 半 三 當(dāng) P 2 3 5 7時 P 一8 7 p 7 2 9的 值依次 為 5 5 9 4 7 7 3 1 9 1 6 9 均不 為完全立 方數(shù) 因此 p 1 1 設(shè) P 一8 7 p 7 2 9 口 口 N 則 口為奇數(shù) 當(dāng) 17 為小于 1 7的奇數(shù)時 可一一檢驗 不存在符合題意的素數(shù) P 因此 口 1 7 注意到 P P一 8 7 口 9 口 9 a 8 1 由 口 p 一 8 7 p 7 2 9 p 故 P 一定為 口 9 D 8 1 的因子 從而 O 2 9 a 8 1 P一 8 7 k 0 9 其 中 2 將式 代人式 消去P得 口 9 a 8 1 k 2 a 8 7 k 一 9 k k 口 9 口 9 a 9 3 川8 口 1 8 D 否則 由式 導(dǎo)出矛盾 令 k C m m 2 7 m Z 代人式 得 1 8 a 8 1 m a 8 7 k 一 9 m 顯然 3 I 由式 且 3十 P 知 3十 因此 3 I 玩 當(dāng) m 1 2時 由式 得 口 1 5 7 1 3 此時 P 2 0 1 1 素數(shù) 其他情形不符合題意 綜上 符合題意的P為 2 0 1 1 四 集合M的不同五色染色數(shù)為5 m 令 為集合 中項成等差數(shù)列的數(shù) 目 則每一種染色中要包含單色的成等差數(shù)列的 9項總數(shù)小于 5 A 5 m 若 5 A 5 啪一 A 5 0 吆 5 啪 即A 5 則題設(shè)的性質(zhì)可以滿足 設(shè)等差數(shù)列的第一項為 k 公差為