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文檔簡介
6.2.1 等差數(shù)列的概念【教學(xué)目標(biāo)】1. 理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式;掌握等差中項的概念2. 逐步靈活應(yīng)用等差數(shù)列的概念和通項公式解決問題3. 通過教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、推理的能力,滲透由特殊到一般的思想【教學(xué)重點】等差數(shù)列的概念及其通項公式【教學(xué)難點】等差數(shù)列通項公式的靈活運用【教學(xué)方法】本節(jié)課主要采用自主探究式教學(xué)方法充分利用現(xiàn)實情景,盡可能地增加教學(xué)過程的趣味性、實踐性在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動參與,讓學(xué)生自己去分析、探索,在探索過程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論,從而達(dá)到使學(xué)生既獲得知識又發(fā)展智能的目的【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖導(dǎo)入問題 某工廠的倉庫里堆放一批鋼管(參見教材圖6-1),共堆放了7層,試從上到下列出每層鋼管的數(shù)量教師出示引例,并提出問題學(xué)生探究、解答希望學(xué)生能通過對日常生活中的實際問題的分析對比,建立等差數(shù)列模型,進(jìn)行探究、解答問題,體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程新課新課新課新課新課新課從上例中,我們得到一個數(shù)列,每層鋼管數(shù)為4,5,6,7,8,9,10.1等差數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示) 練習(xí)一搶答:下列數(shù)列是否為等差數(shù)列?1,2,4,6,8,10,12,;0,1,2,3,4,5,6,;3,3,3,3,3,3,3,;2,4,7,11,16,;8,6,4,0,2,4,;3,0,3,6,9,注意:求公差d一定要用后項減前項,而不能用前項減后項2常數(shù)列特別地,數(shù)列3,3,3,3,3,3,3,也是等差數(shù)列,它的公差為0公差為0的數(shù)列叫做常數(shù)列3等差數(shù)列的通項公式首項是a1,公差是d的等差數(shù)列an的通項公式可以表示為ana1(n1)d4通項公式的應(yīng)用根據(jù)這個通項公式,只要已知首項a1和公差d,便可求得等差數(shù)列的任意項an事實上,等差數(shù)列的通項公式中共有四個變量,知道其中三個,便可求出第四個例1 求等差數(shù)列8,5,2,的通項公式和第20項解 因為a1= 8,d = 58=3,所以這個數(shù)列的通項公式是an = 8+(n-1)(-3),即an = 3n + 11所以a20 = 320 + 11 = -49.例2 等差數(shù)列5,9,13,的第多少項是401?解 因為a1= 5,而且d = 9(5)=4,an = 401,所以 401= 5+ (n1)(4)解得 n=100即這個數(shù)列的第100項是401練習(xí)二(1)求等差數(shù)列3,7,11,的第4,7,10項(2)求等差數(shù)列10,8,6,的第20項練習(xí)三 在等差數(shù)列an中:(1)d = ,a7 = 8,求a1;(2)a1 = 12,a6 = 27,求d例3 在3與7之間插入一個數(shù)A,使3,A,7成等差數(shù)列,求A解 因為3,A,7成等差數(shù)列,所以A3 = 7A,2A = 3 + 7解得A=55等差中項的定義一般地,如果a,A,b 成等差數(shù)列,那么A 叫做a與b的等差中項6等差中項公式如果A 是a與b的等差中項,則A = 這就表明,兩個數(shù)的等差中項就是它們的算術(shù)平均數(shù)7一個結(jié)論在等差數(shù)列a1,a2,a3,an,中,a2 = ,a3 = , an = ,這就是說,在一個等差數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮等差數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項練習(xí)四 求下列各組數(shù)的等差中項:(1)732與136;(2)與42例4 已知一個等差數(shù)列的第3項是5,第8項是20,求它的第25項解 因為a 3 = 5,a 8 = 20,根據(jù)通項公式得整理,得解此方程組,得a1 = 1,d = 3所以a25 = 1+(251)3 = 71.強(qiáng)調(diào):已知首項a1和公差d,便可求得等差數(shù)列的任意項an練習(xí)五(1)已知等差數(shù)列an 中,a1 = 3,an = 21,d = 2,求n(2)已知等差數(shù)列an 中,a4 = 10,a5 = 6,求a8 和d例5 梯子的最高一級是33 cm,最低一級是89 cm,中間還有7級,各級的寬度成等差數(shù)列,求中間各級的寬度解 用an 表示題中的等差數(shù)列已知a1= 33,an = 89,n = 9,則a9 = 33+(91)d ,即89 = 33 + 8d,解得d = 7于是a2 = 33 + 7 = 40,a3 = 40 + 7 = 47,a4 = 47 + 7 = 54,a5 = 54 + 7 = 61,a6 = 61 + 7 = 68,a7 = 68 + 7 = 75,a8 = 75 + 7 = 82即梯子中間各級的寬從上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm例6 已知一個直角三角形的三條邊的長度成等差數(shù)列求證:它們的比是345證明 設(shè)這個直角三角形的三邊長分別為ad,a,a+d根據(jù)勾股定理,得(ad)2 + a2 =(a+d)2解得a = 4d 于是這個直角三角形的三邊長是3d,4d,5d,即這個直角三角形的三邊長的比是345師:請同學(xué)們仔細(xì)觀察,看看這個數(shù)列有什么特點?學(xué)生觀察、回答教師總結(jié)特征:從第二項起,每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差)我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字等差數(shù)列教師板書定義師:等差數(shù)列的例子,在生活中有很多,誰能再舉幾個?教師出示題目學(xué)生思考、搶答師:你能說出練習(xí)一中,各等差數(shù)列的公差嗎?學(xué)生說出各題的公差d教師訂正并強(qiáng)調(diào)求公差應(yīng)注意的問題師:已知一個等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,如何求出它的任意項an呢?學(xué)生分組探究,填空,歸納總結(jié)通項公式a2a1 + d,a3= + d = + d= a1 + d,a4= + d = + d= a1 + d,an = a1 + d師:一個等差數(shù)列的各項,已知 和 就可以確定下來?師:等差數(shù)列的通項公式中共有幾個變量?教師引導(dǎo)學(xué)生分析本題,已知什么?求什么?怎么求?學(xué)生思考、說出已知、所求,代入通項公式強(qiáng)調(diào):通項公式是用含有n 的式子表示 an 學(xué)生嘗試解答后,師生共同板書解題過程仿照例1,教師引導(dǎo)、點撥學(xué)生解答多媒體出示解題過程學(xué)生核對、訂正教師強(qiáng)調(diào)解題過程要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)生練習(xí)請學(xué)生在黑板上做題教師巡視指導(dǎo)師生共同訂正教師出示例題學(xué)生同桌之間合作探究學(xué)生分析解題思路教師出示答案,訂正師:在a與b 之間插入一個數(shù)A,使a,A,b 成等差數(shù)列你能用a,b 來表示A 嗎?學(xué)生探究、回答教師訂正學(xué)生的回答,給出等差中項的定義和公式師:你能用文字描述一下這個式子的含義嗎?師:在等差數(shù)列1,3,5,7,9,11,13,中,每相鄰的三項,滿足等差中項的關(guān)系嗎?學(xué)生分組合作探究,得出結(jié)論師:能將這個結(jié)論推廣到一般的等差數(shù)列中嗎?學(xué)生繼續(xù)分組合作探究教師總結(jié)學(xué)生的回答,給出結(jié)論學(xué)生做練習(xí)學(xué)生回答各題結(jié)果,統(tǒng)一訂正答案教師出示例題學(xué)生分組合作探究教師點撥、引導(dǎo):(1)例題給出了哪些量?如何用數(shù)列符號表示?(2)例題中的所求量是什么?需要知道哪些條件?教師總結(jié)學(xué)生思路,給出解題過程學(xué)生自主練習(xí)教師巡視指導(dǎo)請個別學(xué)生在黑板上做題后,師生共同訂正教師出示例題引導(dǎo)學(xué)生將題中的已知和未知轉(zhuǎn)化為用數(shù)列符號表示學(xué)生解答教師巡視指導(dǎo)教師出示解題過程,強(qiáng)調(diào)解題步驟要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn),敘述要簡明、完整教師出示例題,提示點撥:當(dāng)已知三個數(shù)成等差數(shù)列時,可將這三個數(shù)表示為ad,a,a+d,其中d 是公差由于這樣具有對稱性,運算時往往容易化簡學(xué)生根據(jù)教師的提示,分組探究請學(xué)生在黑板上做題教師引導(dǎo)學(xué)生訂正解題過程,規(guī)范解題步驟由特殊到一般,發(fā)揮學(xué)生的自主性,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上得出定義和公式,更有利于學(xué)生理解和運用引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想,培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力學(xué)生在分組合作探究過程中,可能會找到多種不同的解決辦法,教師要逐一點評,并及時肯定、贊揚學(xué)生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì),激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識鼓勵學(xué)生自主解答,培養(yǎng)學(xué)生運算能力通過例題,強(qiáng)化學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的理解,強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的意識由特殊到一般,發(fā)揮學(xué)生的自主性,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上得出定義和公式,更有利于學(xué)生理解和運用引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想,培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力通過兩道直接套用公式的練習(xí)題,強(qiáng)化學(xué)生對中項公式的掌握學(xué)生在分組合作探究過程中,可能會找到多種不同的解決辦法,教師要逐一點評,并及時肯定、贊揚學(xué)生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì),激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識鼓勵學(xué)生自主解答,培養(yǎng)學(xué)生運算能力通過例題,強(qiáng)化學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的理解,強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的意識在例題的教學(xué)中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生分析題意,教會學(xué)生思考問題、解決問題的思路與方法;在解決問題中,將新的知識內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去小結(jié)1等差數(shù)列的定義及通項公式2. 等差中項的定義和公式3等差數(shù)列通項公式和中項公式的應(yīng)用學(xué)生閱讀課本P9P12,暢談本節(jié)課的收獲教師引導(dǎo)梳理,總結(jié)本節(jié)課的知識點和解題方法教師鼓勵學(xué)生積極回答,答不完整沒有關(guān)系,其它同學(xué)補(bǔ)充以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力,歸納概括能力作業(yè)
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