行程問題答案及詳解.doc

關(guān)于行程問題一、為什么小學生行程問題普遍學不好？ 1、 行程問題的題型多，綜合變化多。 行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，有的涉及多個物體的運動。涉及兩個物體運動的，又有“相向運動”（相遇問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動”（相離問題）三種情況。行程問題每一類型題的考察重點都不一樣，往往將多種題型綜合起來考察。比如遇到相遇問題關(guān)鍵要抓住速度和，追擊問題則要抓住速度差，流水行船中的相遇追及問題要注意跟水速無關(guān)等等。 2、 行程問題要求學生對動態(tài)過程進行演繹和推理。 奧數(shù)中靜態(tài)的知識學生很容易學會。打個比方，比如數(shù)線段問題，學生掌握了方法，依葫蘆畫瓢就行。一般情況，靜態(tài)的奧數(shù)知識，學生只要理解了，就能容易做出來。行程問題難就難在過程分析是動態(tài)的，甲乙兩個人從開始就在運動，整個過程來回跑。學生對文字題描述的過程很難還原成對應的數(shù)學模型，不畫圖，習慣性的在腦海里分析運動過程。還有的學生會用手指，用橡皮模擬，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去往往把自己都兜暈了還是沒有搞明白這個過程，更別說找出解題所需要的數(shù)量關(guān)系了。二、行程問題“九大題型”與“五大方法” 很多學生對行程問題的題型不太清楚，對行程問題的常用解法也不了解，那么我給大家歸納一下。 1、九大題型： 簡單相遇追及問題；多人相遇追及問題；多次相遇追及問題；變速變道問題；火車過橋問題；流水行船問題；發(fā)車問題；接送問題；時鐘問題。 2、五大方法： 公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火車過橋公式，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式，而且有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件。 圖示法：在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具。示意圖包括線段圖、折線圖，還包括列表。圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點。另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法。 ps：畫圖的習慣一定要培養(yǎng)起來，圖形是最有利于我們分析運動過程的，可以說圖畫對了，意味著題也差不過做對了30%！ 比例法：行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數(shù)值。更重要的是，在一些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題。 ps：運用比例知識解決復雜的行程問題經(jīng)?？?，而且要考都不簡單。 分段法：在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用。這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來。 方程法：在關(guān)系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼狻?ps：方程法尤其適用于在重要的考試中，可以節(jié)省很多時間。 假設(shè)法：在速度發(fā)生變化、或提前（晚）出發(fā)等數(shù)值發(fā)生變化的的行程問題中，假設(shè)速度沒變或時間統(tǒng)一，往往非常起到意想不到的效果，極其有利于解決行程問題。三、怎樣才能學好行程問題？ 因為行程的復雜，所以很多學生已開始就會有畏難心理。所以學習行程一定要循序漸進，不要貪多，力爭學一個知識點就要能吃透它。學習奧數(shù)有四種境界： 第一種：課堂理解。就是說能夠聽懂老師講解的題目。 第二種：能夠解題。就是說學生聽懂了還能做出作業(yè)。 第三種：能夠講題。就是不僅自己會做，還要能夠講給家長聽。第四種：能夠編題。就是自己領(lǐng)悟這個知識了，自己能夠根據(jù)例題出題目，并且解出來。其實大部分學生學習奧數(shù)都只停留在第一種境界（有的甚至還達不到），能夠達到第三種境界的學生考取重點中學實驗班基本上沒有什么問題了。而要想在行程上一點問題沒有，則要求學生達到第四種境界。即系統(tǒng)學習，還要能深刻理解，刻苦鉆研。而這四種境界則是學習行程的四個階段，或者說是好的方法。 建議一：不論是什么問題，在學習之前有必要對于要學的東西有個縱向的了解，要系統(tǒng)地梳理一遍，這樣有系統(tǒng)，有方向，學習的時候也不會迷茫。一般這個步驟需要家長和老師一起幫助孩子完成。這樣把大的目標分為不同的小的目標，各個擊破，孩子也會有信心。同時發(fā)現(xiàn)問題時，也可以有針對性的進行解決。 建議二：需要強調(diào)一點，就是在學習過程中不能撿芝麻丟西瓜，簡言之就是要在每學一個知識的時候，都要對學過的知識進行練習。一定要要重視總結(jié)，把行程問題進行分類比較，這樣孩子對于行程問題的理解會上升一個新的高度。建議三：在學習過程中，可以積累孩子的錯題，以便日后觀察孩子在此部分知識點學習過程中的薄弱環(huán)節(jié)，這樣我們以后的計劃會更有針對性。在制定計劃時慢慢的達到量身定做的效果。行程問題的典型例題行程問題中最基本的公式就是 路程=速度時間，任何行程問題，不管是多么“波瀾起伏或者是一波三折”，他的本質(zhì)都是研究路程、速度、時間三者的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上衍生出其他問題，在每一個方面或幾個方面發(fā)生了細微的改變。類型一：相遇問題相遇問題強調(diào)的是一個“和”的思想，兩人在時間統(tǒng)一的前提下，路程和=速度和時間。 當然他的使用，不僅僅局限于相遇這個現(xiàn)象，只要這個題目知道了“和”，我就可以利用這個公式進行求解?！纠?1】AB兩地900米，甲乙兩人在A處同時向B點出發(fā)，甲的速度60米/分，乙的速度40米/分，甲到達B地后立即返回，返回途中與乙相遇，甲乙兩人多長時間相遇？解：路程和=9002=1800（米）速度和=60+40=100（米/分）相遇時間=1800100=18（分鐘）上面講的是比較基本的相遇，到了高年級，可能等多的會涉及到多次或者是多人相遇。下面來說說多次相遇。方法一：運用倍比關(guān)系解多次相遇問題1. 兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；第2次相遇，共走3個全程；第3次相遇，共走5個全程；， ；第N次相遇，共走2N-1個全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程；第2次相遇，共走4個全程； 第3次相遇，共走6個全程；， ；第N次相遇，共走2N個全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個全程【例 2】 甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離是多少千米？【解析】 畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線)：2011-9-1 17:14 上傳下載附件 (8.57 KB)可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離當甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即953=285（千米），而這285千米比一個A、B兩地間的距離多25千米，可得：953-25=285-25=260(千米)【例3】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(只算迎面相遇)，則甲、乙兩地的距離為 千米【解析】第一次相遇走了1個3千米，第二次相遇走了3個3千米即33=9（千米）9+6=15（千米）兩個全程152=7.5（千米）繼續(xù)上面多次相遇問題，解多次相遇問題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少?！纠?】 甲、乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時分別從直路的兩端A、B兩點出發(fā)，當他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩人同時到達某一點算作一次相遇）?！痉治觥?多次相遇，如圖所示，甲用實線表示，乙用虛線表示。在180秒內(nèi)，甲、乙共相遇5次，最后又回到出發(fā)的狀態(tài)。所以甲、乙共相遇了12（18060）=20（次）【例5】甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【解析】 采用運行圖來解決本題相當精彩！首先，甲跑一個全程需要301=30（秒），乙跑一個全程需要300.6=50（秒）與上題類似，畫運行圖如下（實線表甲，虛線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）：從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就相遇54=20（次）備注：一個周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇有些多次相遇的題目可以根據(jù)速度比m:n,設(shè)路程為m+n份。舉個例子?！纠?】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，并在A、B兩地間不斷往返行駛。已知甲車速度是15千米/時，乙車速度是25千米/時，甲乙兩車第一次相遇地點與第二次相遇地點之間相差100千米。A、B兩地相距多少千米？（從出發(fā)后兩人同時到達某一點算作一次相遇）。【分析】甲車速度是15千米/時，乙車速度是25千米/時，甲、乙兩車的速度之比為15:25=3:5將A、B兩地平均分成8小格，甲每走3小格，乙就走5小格；如圖所示，C1、C2分別表示第1、2次相遇的地點；其中第一次相遇地點與第二次相遇地點之間相差4小格；每小格的長度為1004=25千米；所以A、B兩地相距258=200千米。說了多次相遇，再來說說多人的相遇問題即多人行程。這類問題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。【例7】甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米。甲從A地，乙和丙從B出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇，求A、B兩地的距離?！窘馕觥?人相遇問題。先畫圖分析整個題目說了兩個相遇過程。第一次相遇：甲和乙相遇。兩人一共走了一個全程。因此全程=（甲的速度+乙的速度）時間發(fā)現(xiàn)相遇的時間不知道。第二次相遇：甲和丙的相遇。前提是“甲乙相遇后，再過15分鐘”。發(fā)現(xiàn)走的路程是CD。因此CD的距離=（甲的速度+丙的速度）時間=（60+40）15=1500（米）但是我們的目標是要求出甲乙相遇的時間，發(fā)現(xiàn)CD是在這段時間里乙、丙的路程差。因此時間=路程差速度差=1500（50-40）=150（分鐘）因此全程=（60+50）150=110150=16500（米）類型二：火車過橋過橋問題是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長加車長，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的基本數(shù)量關(guān)系：過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：過橋的路程 = 橋長 + 車長車速 = (橋長 + 車長)過橋時間通過橋的時間 =(橋長 + 車長)車速橋長 = 車速過橋時間 車長車長 = 車速過橋時間 橋長后三個都是根據(jù)第二個關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決?；疖囋谛旭傊?，經(jīng)常發(fā)生過橋與通過隧道，兩車對開錯車與快車超越慢車等情況火車過橋是指“全車通過”，即從車頭上橋直到車尾離橋才算“過橋”如下圖：后三個都是根據(jù)第二個關(guān)系式逆推出的對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時候一定得結(jié)合著圖來進行兩列火車的追及情況，請看下圖：【例8】兩人沿著鐵路線邊的小道，從兩地出發(fā)，兩人都以每秒1米的速度相對而行。一列火車開來，全列車從甲身邊開過用了10秒。3分后，乙遇到火車，全列火車從乙身邊開過只用了9秒。火車離開乙多少時間后兩人相遇？分析 根據(jù)題意圖示如下：A1、B1 分別表示車追上甲時兩人所在地點， A2、B2 分別為車從甲身邊過時兩人所在地點， A3、B3 分別為車與乙相遇時兩人所在地點，A4、B4分別為車從乙身邊開過時兩人所在地點。要求車從乙身邊開過后甲乙相遇時間用A4到B4之間的路程除以兩人速度和。解：（1）求車速（車速-1）10=10車速-10=車長（車速+1）9 = 9車速+ 9=車長比較上面兩式可知車速是每秒19米。（2）A3到B3的路程，即車遇到乙時車與甲的路程差，也是甲與乙的相距距離。（19-1）（10+190）=3420（米）（3）A4到B4的路程，即車從乙身邊過時甲乙之間的路程。3420-（1+1）9=3402（米）（4）車離開乙后，甲乙兩人相遇的時間為3402（1+1）=1701（秒）答：火車離開乙1701秒后兩人相遇【走進賽題】1、鐵路旁的一條平行小路上，有一行人與一騎車人同時向南行進。行人速度為3.6千米/小時，騎車人速度為10.8千米/小時。這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒。這列火車的車身總長是多少米？（第三屆“迎春杯”第二題第1題）2、一個人站在鐵道旁，聽見行近來的火車汽笛聲后，再過57秒鐘火車經(jīng)過他面前.已知火車汽笛時離他1360米；(軌道是筆直的)聲速是每秒鐘340米，求火車的速度？(得數(shù)保留整數(shù)) （第4屆“從小愛數(shù)學”競賽第8題）3、某人沿著鐵路邊的便道步行，一列客車從身后開來，在身旁通過的時間是15秒鐘，客車長105米，每小時速度為28.8千米.求步行人每小時行多少千米？（第3屆“祖沖之杯”數(shù)學競賽第3題）4、一條單線鐵路上有A，B，C，D，E 5個車站，它們之間的路程如圖所示(單位：千米).兩列火車同時從A，E兩站相對開出，從A站開出的每小時行60千米，從E站開出的每小時行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道，要使對面開來的列車通過，必須在車站停車，才能讓開行車軌道.因此，應安排哪個站相遇，才能使停車等候的時間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘？（第6屆“迎春杯”數(shù)學競賽第6題）【走進賽題】1、286米 2、22秒 3、3.6千米/小時 4、D站 5分鐘行程問題加難試題1. 如圖21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時步行速度是每小時4千米，平路時步行速度是每小時5千米，下坡時步行速度是每小時6千米小張和小王分別從A和D同時出發(fā)，1小時后兩人在E點相遇已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的當小王到達A后9分鐘，小張到達D那么A至D全程長是多少千米? 【分析與解】 BE是BC的，CE是BC的，說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時間多，也就是DC這一段，比AB這一段長，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長，如下圖： 另外，再在圖上畫出一點G，使EG和EC一樣長，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G 小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時因為小張走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一樣多) 因此，小王從F至C，走下坡所用時間是9=18(分鐘) 因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘走B至C全程(平路)要30分鐘 從A至曰下坡所用時間是60-18-6=36(分鐘)； 從D至C下坡所用時間是60-6=54(分鐘)； A至D全程長是(36+54)+30=11.5千米2. 如圖2l-2，A，B兩點把一個周長為l米的圓周等分成兩部分藍精靈從B點出發(fā)在這個圓周上沿逆時針方向做跳躍運動，它每跳一步的步長是米，如果它跳到A點，就會經(jīng)過特別通道AB滑向曰點，并從B點繼續(xù)起跳，當它經(jīng)過一次特別通道，圓的半徑就擴大一倍已知藍精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長等于多少米? 【分析與解】 4=即藍精靈跳4次到A點圓半徑擴大一倍即乘以2后，跳8次到A點 圓半徑乘以4后，跳16次到A點 依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A點1000次跳完后圓周長是1=128米 3已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā)問當它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程? 【分析與解】由題意，貓與狗的速度之比為9:25，貓與兔的速度之比為2