高等數(shù)學解題中轉(zhuǎn)化的應(yīng)用.pdf

第 26 卷 第 3 期 邢 臺 職 業(yè) 技 術(shù) 學 院 學 報 Vol 26 No 3 2009 年 6 月 Journal of Xingtai Polytechnic College Jun 2009 收稿日期 2009 02 26 作者簡介 馮娟 1962 女 河北邢臺人 邢臺學院數(shù)學系 副教授 32 高等數(shù)學解題中轉(zhuǎn)化的應(yīng)用 馮 娟 邢臺學院 數(shù)學系 河北 邢臺 054001 摘 要 轉(zhuǎn)化是數(shù)學中常用的方法 通過實例 說明轉(zhuǎn)化在高等數(shù)學中的廣泛應(yīng)用 關(guān)鍵詞 高等數(shù)學 轉(zhuǎn)化 應(yīng)用 中圖分類號 O13 文獻標識碼 A 文章編號 1008 6129 2009 03 0032 03 轉(zhuǎn)化 是數(shù)學中最常用最基本的思維方式之一 它是在分析解決問題時 把那些待解決或難解決 的問題 轉(zhuǎn)化為簡單 明顯的問題 在高等數(shù)學中 這種方法更是貫穿于整個微積分學 本文就此方法 的應(yīng)用進行逐一整理 以期對所蘊含的數(shù)學思想有更深刻的理解 一 數(shù)列極限與函數(shù)極限間的轉(zhuǎn)化 數(shù)列可以看成是函數(shù)的一種特殊形式 因此 數(shù)列極限可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限 二者有如下的極限關(guān) 系 海涅定理 如果極限 lim 0 xf xx 存在 n x為函數(shù) xf的定義域內(nèi)任意收斂于 0 x的數(shù)列 且滿足 0 Nnxxn 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 n xf必收斂 且 lim lim 0 xfxf xx n n 反之亦然 例 1 求極限 n n n x l cos lim 解 取對數(shù)并以t代 n 1 n x nl n coslnlimln txt t coslnlim 2 0 2cos2 sin lim 2 0 x txt txx t 所以 2 2 x el 二 數(shù)列與級數(shù)間的轉(zhuǎn)化 級 數(shù) 所 表 示 的 是 一 個 給 定 數(shù) 列 321n aaaa的 無 窮 項 形 式 和 即 n n n aaaaa 321 1 由此還可驗證 級數(shù)概念與數(shù)列概念實質(zhì)上互相等價 所以 判定 n x 收斂與求 n n x lim的問題可轉(zhuǎn)化為判定 1n n a收斂與求和 1n n aS 反之亦然 通常我們常習慣將級數(shù)的收 斂問題與求和問題轉(zhuǎn)化為其部分和數(shù)列的收斂問題 而相反的轉(zhuǎn)化往往不重視 沒有充分運用起來 1 1 利用數(shù)列部分和討論級數(shù)的收斂性 例 2 討論級數(shù) 1 1 1 n nn 的收斂性 并求和 解 1 11 1 1 nnnn 于是得 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn Sn 1 1 1 n 1lim n n S 由定義知級數(shù)收斂 并且1 1 1 1 n nn 2 利用級數(shù)的收斂性討論數(shù)列 2 例 3 求極限 n n n n n 2 5 lim 解 設(shè) n n n n n x 2 5 邢臺職業(yè)技術(shù)學院學報 2009 年 第 3 期 33 n nn nn n n n n nn nn x x 1 2 5 5 22 2 1 5 1 1 1 1 2 5 1 1 1 2 5 n e n n 當 正項級數(shù) 1n n x收斂 從而 n n n n n 2 5 lim 0 三 積分間的相互轉(zhuǎn)化 在高等數(shù)學中所涉及到的積分包括不定積分 定積分 重積分 曲線積分 曲面積分等 它們的計 算大都是通過轉(zhuǎn)化進行的 從中真正體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的巨大作用 除教材中介紹的累積積分與重積分的 相互轉(zhuǎn)化 曲線積分化成定積分 曲線積分化為二重積分等 本文介紹積分間相互轉(zhuǎn)化其他幾種形式 1 空間曲線積分轉(zhuǎn)化為平面曲線積分 平面曲線積分無疑比空間曲線積分要簡單 因此可考慮化空間曲線積分為平面曲線積分 這里只討 論第二類曲線積分 設(shè) 是一空間曲線 L是 在xoy平面上的投影 其方向與 一致 設(shè)RQP 是在包含 的某區(qū)域 內(nèi)有定義的函數(shù) 若QP 與z無關(guān) 則有如下轉(zhuǎn)化公式 L QdyPdxRdzQdyPdx 例4 計算 xydzzxdyyzdxI3 其中 為曲線 013 4 22 zy yyx 從z軸正向看過去 的方 向沿逆時針方向 解 曲 線 在xoy平 面 上 的 投 影 為L yyx4 22 且 在L上 恒 有13 yz 故 xydydyyxdxyyI3 13 3 13 dyyxdxyy 12 3 13 設(shè)所圍成的區(qū)域為D 則區(qū)域D的面積為 4 利用格林公式 得 82 16 36 DD dxdydxdyyyI 2 曲面積分的計算 曲面積分包括第一類曲面積分和第二類曲面積分 其計算方式類似于曲線積分 可以利用高斯公式 轉(zhuǎn)化為重積分 或它們之間的轉(zhuǎn)化 或用斯托克斯公式來進行計算 1 利用兩種曲面積分的關(guān)系 第一類曲面積分與第二類曲面積分有如下關(guān)系 dSRQPRdxdyQdzdxPdydz coscoscos dSnA 其中 RQPA cos cos cos n表示有向曲面 的單位法向量 2 用此關(guān)系可以進行兩 種積分間的相互轉(zhuǎn)化 例5 求 zdxdyydzdxxdydzI 是球面 2222 azyx 的外側(cè) 第二類曲面積分轉(zhuǎn) 化成第一類曲面積分 解 令 zyxr 則有向曲面的單位法向量 r r n cos cos cos 3 4 adSadSnrI 2 利用高斯公式計算 高斯公式實際是格林公式的一種推廣形式 可利用高斯公式將曲面積分化成三重積分 再進行計算 例6 求曲面積分 dxdyezdzdxxzydydzzyxI yx 3 sin 2 其中 為曲面1 yxzxzyzyx的外表面 第二類曲面積分 邢臺職業(yè)技術(shù)學院學報 2009 年 第 3 期 34 解 由 高 斯 公 式 知 V dxdydzI 321 其 中V為 所 包 含 的 區(qū) 域 1 yxzxzyzyx 作旋轉(zhuǎn)變換 zyxu xzyv yxzw 這時 變成1 wvu V是對稱的八面體 它在uvw的第一卦限的部分是1 wvu及坐標面0 u 0 v 0 w所 圍成的區(qū)域 4 1 111 111 111 1 1 zyx wvu wvu zyx J 因此 21 2 1 3 1 8 4 1 6 4 1 6 1 wvu dudvdwI 3 曲線積分與曲面積分間的轉(zhuǎn)化 斯托克斯公式是格林公式的另一個推廣 它建立了沿空間曲面 的曲面積分與沿 的邊界曲線 的 曲線積分之間的聯(lián)系 例7 計算曲線積分 xdzzdyydx 為圓周 2222 azyx 0 zyx 若從ox軸 的正向看去 圓周L是以反時針方向進行的 解 平面0 zyx的法線方向余弦為 3 1 coscoscos xdzzdyydx dS xzy zyx coscoscos dS coscos cos 22 3 coscos cosaa 例8 計 算 dSnArot 其 中 是 球 面9 222 zyx的 上 半 部 是 它 的 邊 界 kzjxiyA 2 32 解 邊界曲線 0 z平面內(nèi)一圓9 22 yx 由斯托克斯公式 dzzxdyydxdStAdSnArot 2 32 寫為參數(shù)方程 0 sin3 cos2 zyx 2 0 2 2 0 2 9cos93sin92dddSnArot 參考文獻 1 胡適耕 大學數(shù)學解題藝術(shù) M 長沙 湖南大學出版社 2001 172 173 2 裴禮文 數(shù)學分析中的典型問題與方法 M 北京 高等教育出版社 2006 48 49 3 同濟大學數(shù)學系 高等數(shù)學 第六版 M 北京 高等教育出版社 2007 226 227 Applications of Conversion in Higher Mathematics Problem solving FENG Juan Xingtai University Xingtai Hebei 054001 China Abstract Conversion is a commonly us