四年級(jí)數(shù)學(xué)行程問題經(jīng)典輔導(dǎo).doc

四年級(jí)數(shù)學(xué)行程問題經(jīng)典輔導(dǎo)行程問題是指勻速運(yùn)動(dòng)中有關(guān)路程、速度、時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間，已知兩個(gè)量，求另一個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題。行程問題的內(nèi)容相當(dāng)廣泛，主要包括追及問題、相遇問題、流水問題、火車行程、鐘表問題。小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)教材中行程問題主要是相遇問題和追及問題。相遇問題和追及問題是行程問題中的兩種基本類型。在解答行程問題時(shí)，要注意所走的方向、是否同時(shí)行駛、是否相遇等問題，一般要采用直觀畫圖法幫助理解題意、分析題目中的數(shù)量關(guān)系，最終找到解題思路解行程問題必備的基本公式是： 路程速度時(shí)間；路程時(shí)間速度；路程速度時(shí)間行程問題按運(yùn)動(dòng)方向可以分為三類： 相向運(yùn)動(dòng)問題(或稱相遇問題) 同向運(yùn)動(dòng)問題(或稱追及問題) 背向運(yùn)動(dòng)問題(或稱相離問題)【相遇問題】相向運(yùn)動(dòng)問題(或稱相遇問題)：是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人或車輛、船只等），從兩個(gè)不同的方向，沿著同一條路線(直道或環(huán)形跑道)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，最終相遇的問題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。解答相遇問題的關(guān)鍵在于先求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的“速度和”，就是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在單位時(shí)間里共行的路程之和。即：速度和 = 甲的速度 + 乙的速度 相遇問題的關(guān)系式是： 速度和相遇時(shí)間相遇路程 相遇路程速度和相遇時(shí)間 相遇路程相遇時(shí)間速度和例1：南京到上海的水路長392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？解392（2821）8（小時(shí)）答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。例2：小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時(shí)間？解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為4002相遇時(shí)間（4002）（53）100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。例3：甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇時(shí)間（32）（1513）3（小時(shí)）兩地距離（1513）384（千米）答：兩地距離是84千米?！咀芳皢栴}】同向運(yùn)動(dòng)問題(或稱追及問題)：是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人或車輛、船只等），向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，由于速度不同，最后快的追上慢的問題。追及問題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。解答追及問題的關(guān)鍵在于先求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的“速度差”，速度差就是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體甲和乙在單位時(shí)間里所行的路程之差。即：速度差 = 甲的速度 - 乙的速度（快 慢）距離差=速度差追及時(shí)間 追及時(shí)間=距離差速度差速度差=距離差追及時(shí)間例1：敵我雙方相距18千米，敵人以每小時(shí)6千米的速度逃跑，我軍以每小時(shí)9千米的速度追趕，幾小時(shí)后可以追上敵人？ 每小時(shí)敵我雙方速度相差多少？ 9 6 = 3（千米）幾小時(shí)可以追上敵人？ 183 = 6（小時(shí)）答：6小時(shí)可以追上敵人。例2：有一條長方形跑道，甲從A點(diǎn)出發(fā)，乙從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按順時(shí)針方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，甲跑了多少圈？ 分析與解：這是一道環(huán)形路上追及問題。在追及問題問題中有一個(gè)基本關(guān)系式：追擊路程=速度差追及時(shí)間。追及路程：106=16（米）速度差：54.5=0.5（米）追擊時(shí)間：160.5=32（秒）甲跑了532（106）2=5（圈）答：甲跑了5圈。【相離問題】背向運(yùn)動(dòng)問題(或稱相離問題)：是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人或車輛、船只等），從同一地點(diǎn)同時(shí)相背而行，越走相距越遠(yuǎn)的問題。解答相離問題的關(guān)鍵在于先求出“速度和”。速度和就是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體甲和乙在單位時(shí)間里共行的路程之和。即：速度和 = 甲的速度 + 乙的速度，速度和相離時(shí)間相距路程 相距路程速度和相離時(shí)間 相距路程相離時(shí)間速度和 例：甲乙兩車同時(shí)從某地出發(fā)背向而行，甲車每小時(shí)行62千米，乙車每小時(shí)行65千米，4小時(shí)后兩車相距多少千米？ 甲乙兩車每小時(shí)共行多少千米？ 62 + 65 = 127（千米） 4小時(shí)后兩車相距多少千米？ 1274 = 508（千米）答：4小時(shí)后兩車相距508千米。【流水問題】 順流而下與逆流而上問題通常稱為流水問題，流水問題屬于行程問題，是行程問題的一種特例。 流水問題的解法：解這類應(yīng)用題首先要弄清楚船速與水速：船速是船本身航行的速度，也就是船在靜水中的速度；水速是水流的速度。然后還要弄清楚順?biāo)俣扰c逆水速度。順?biāo)俣仁谴倥c水速的和，逆水速度是船速與水速的差。再由和差問題的關(guān)系，進(jìn)一步得出： （順?biāo)俣?+ 逆水速度）2 = 船速； （順?biāo)俣?- 逆水速度）2 = 水速。 最后，可以根據(jù)行程問題中路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系解答這類應(yīng)用題。例1：一條船在江中行駛，順?biāo)忻啃r(shí)12千米，逆水行每小時(shí)8千米，求船速與水速。 （12 + 8）2 = 202 = 10（千米）船速 （12 - 8）2 = 42 = 2（千米）水速 答：船速每小時(shí)10千米，水速每小時(shí)2千米。例2：某船在靜水中的速度為每小時(shí)15千米，它從上游甲港開往下游乙港共用了8小時(shí)。已知水速為每小時(shí)3千米，從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？ 順?biāo)啃r(shí)航行多少千米？ 15 + 3 = 18（千米） 甲、乙兩港相距多少千米？ 188 = 144（千米） 逆水每小時(shí)航行多少千米？ 15 - 3 = 12（千米） 從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？ 14412 = 12（小時(shí)） 答：從乙港返回甲港需要12小時(shí)。例3：船在靜水中的速度為每小時(shí)11.25千米，河水流速為每小時(shí)1.25千米。一只船往返甲、乙兩港共用了9小時(shí)，問兩港相距多少千米？ 順?biāo)啃r(shí)行：11.25 + 1.25 = 12.5（千米） 逆水每小時(shí)行：11.25 - 1.25 = 10（千米） 順?biāo)忻壳椎臅r(shí)間：112.5 = 0.08（小時(shí)） 逆水行每千米的時(shí)間：110 = 0.1（小時(shí)） 往返每千米的時(shí)間：0.1 + 0.08 = 0.18（小時(shí)） 甲乙兩港相距多遠(yuǎn)：90.18 = 50（千米）答：甲、乙兩港相距50千米?！净疖囘^橋問題】火車過橋的問題包括火車過橋、火車過隧道、兩個(gè)列車車頭相遇、車尾相離等問題，是一種行程問題?；疖囘^橋問題不僅有路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還涉及車長、橋長等問題。我們?cè)谘芯恳话愕男谐虇栴}時(shí)，是不考慮汽車等物體的本身長度的，因?yàn)檫@類物體的長度很小，可以忽略不計(jì)?？墒侨绻芯炕疖囆谐虇栴}，因?yàn)檐嚿碛幸欢ǖ拈L度，一般一百多米，就不能忽略不計(jì)了?；疖囆谐虇栴}中的距離，一般是要考慮火車長度的。火車通過一個(gè)固定的點(diǎn)所用的時(shí)間就是火車行駛車身長度所需要的時(shí)間。基本的關(guān)系是：火車走過的路程=車長+橋長。 （火車長度+橋的長度）通過時(shí)間=火車速度例1：一條隧道長360米，某列火車從車頭入洞到全車進(jìn)洞用了8秒鐘，從車頭入洞到全車出洞共用了20秒鐘。這列火車長多少米？解答：分析：火車8秒鐘行的路程是火車的全長，20秒鐘行的路程是隧道長加火車長。因此，火車行隧道長360米，所用的時(shí)間是20-8=12秒鐘，即可求出火車的速度?；疖嚨乃俣仁?60（20-8）=30（米/秒）?；疖囬L308=240（米）。答：這列火車長240米。例2：兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長？ 分析與解：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000360010（米），乙車的速度是每秒鐘54000360015（米）.本題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（1015）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（1015）14350（米）.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄玻?，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：（1015）14 350（米）答：乙車的車長為350米.例5、某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與另一列長150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過需要幾秒鐘？ 分析與解： 解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯(cuò)車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長之和除以速度之和。 列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250210）米時(shí)，所用的時(shí)間為（2523）秒.由此可求得列車的車速為（250210）（2523）20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個(gè)列車的車長為2025250250（米），從而可求出錯(cuò)車時(shí)間。解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000360020（米/秒），某列車的速度為：（250210）（2523）40220（米/秒）某列車的車長為：2025-250500-250250（米）兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：（250150）（2020）4004010（秒）.答：錯(cuò)車時(shí)間為10秒.【練習(xí)題精選】相遇問題1、一列快車和一列慢車，同時(shí)從甲、乙兩站出發(fā)，相向而行，經(jīng)過6小時(shí)相遇，相遇后快車?yán)^續(xù)行駛3小時(shí)后到達(dá)乙站。已知慢車每小時(shí)行45千米，甲、乙兩站相距多少千米？2、甲、乙二人分別以每小時(shí)3千米和5千米的速度從A、B兩地相向而行相遇后二人繼續(xù)往前走，如果甲從相遇點(diǎn)到達(dá)B地共行4小時(shí)，那么A、B兩地相距多少千米？3一列快車從甲城開往乙城，每小時(shí)行65千米，一列客車同時(shí)從乙城開往甲城，每小時(shí)行60千米，兩列火車在距中點(diǎn)20千米處相遇，相遇時(shí)兩車各行了多少千米？4、兄弟兩人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校，路程是1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，弟弟步行每分鐘行80米，在行進(jìn)中弟弟與剛到學(xué)校就立即返回來的哥哥相遇。從出發(fā)到相遇，弟弟走了多少米？相遇處距學(xué)校有多少米？5、甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地相向而行，相遇時(shí)距A地120米，相遇后，他們繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后立即返回，在距A地150米處再次相遇，AB兩地的距離是多少米？6、A、B兩地相距38千米，甲、乙兩人分別從兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)行8千米，乙每小時(shí)行11千米，甲到達(dá)B地后立即返回A地，乙到達(dá)A地后立即返回B地，幾小時(shí)后兩人在途中相遇？相遇時(shí)距A地多遠(yuǎn)？7、甲、乙兩人從A地到B地，丙從B地到A地。他們同時(shí)出發(fā)，甲騎車每小時(shí)行8千米，丙騎車每小時(shí)行10千米，甲丙兩人經(jīng)過5小時(shí)相遇，再過1小時(shí)，乙、丙兩人相遇。求乙的速度。8、甲、乙、丙三人行走的速度依次分別為每分鐘30米、40米、50米。甲、乙在A地，丙在B地，同時(shí)相向而行，丙遇乙后10分鐘和甲相遇。求A、B兩地相距多少米？9、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相對(duì)開出，經(jīng)過5小時(shí)相遇，相遇后各自繼續(xù)前進(jìn)，又經(jīng)過3小時(shí)，甲車到達(dá)B地，這時(shí)乙車距A地還有120千米。甲、乙兩車的速度各是多少？10、甲、乙兩人從相距1100米的兩地相向而行，甲每分鐘走65米，乙每分鐘走75米，乙?guī)Я艘恢还泛鸵彝瑫r(shí)出發(fā)，狗以每分鐘210米的速度向甲奔去，遇到甲后立即回頭向乙奔去，遇到乙后又回頭向甲奔去，直到甲、乙兩人相遇時(shí)狗才停止。這只狗共奔跑了多少路程？追及問題1、兩輛汽車相距1500千米，甲車在乙車前面，甲車每分鐘行610米，乙車每分鐘660米，乙車追上甲車需幾分鐘？2、老王和老張從甲地到乙地開會(huì)，老張騎自行車的速度是15千米/小時(shí)，先出發(fā)2小時(shí)后，老王老出發(fā)，老王用了3小時(shí)追上老張，求老王騎車速度。3、兩地相距900千米，甲車行全程需15小時(shí)，乙車行全程需12小時(shí)，甲車先出發(fā)2小時(shí)后，乙去追甲，問乙車要走多少千米才能追上甲車？4、甲、乙兩船同時(shí)從兩個(gè)碼頭出發(fā)，方向相同，乙船在前，每小時(shí)行24千米，甲船在后，每小時(shí)行28千米，4小時(shí)后甲船追上乙船，求兩個(gè)碼頭相距離多少千米？5、甲、乙兩城之間的鐵路長240千米，快車從甲城、慢車從乙城同時(shí)相向開出，3小時(shí)相遇，如果兩車分別從兩城向同一方向開出，慢車在前、快車在后，15小時(shí)快車就可以追上慢車，求快車與慢車每小時(shí)各行多少千米？6、兩人騎自行車沿著900米長的環(huán)形跑道行駛，他們從同一地點(diǎn)反向而行，那么經(jīng)過18分鐘后就相遇一次，若他們同向而行，那經(jīng)過180分鐘后快車追上慢車一次，求兩人騎自行車的速度？7、小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明。求小強(qiáng)騎自行車的速度8、甲、乙兩匹馬相距50米的地方同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)甲馬在前乙馬在后。如果甲馬每秒跑10米，乙馬每秒跑12米，問：何時(shí)兩馬相距70米？9、甲、乙二人繞周長為1200米的環(huán)形廣場(chǎng)競(jìng)走，已知甲每分鐘走125米，乙的速度是甲的1.2倍?，F(xiàn)在甲在乙的后面400米，問：乙追上甲還需多少時(shí)間？10、甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，乙出發(fā)3小時(shí)后甲才出發(fā)，甲走了5小時(shí)后，已超過乙2千米。已知甲每小時(shí)比乙多行4千米。甲、乙兩人每小時(shí)各行多少千米？火車過橋問題1、一支隊(duì)伍長450米，以每秒2米的速度前進(jìn)，一個(gè)人以每秒3米的速度從隊(duì)尾趕到隊(duì)伍的最前面，然后再返回隊(duì)尾，一共用了多少分鐘？2、小明坐在行駛的列車上，從窗外看到迎面開來的貨車經(jīng)過用了6秒，已知貨車長168米；后來又從窗外看到列車通過一座180米長的橋用了12秒。貨車每小時(shí)行（ ）千米。3、一支部隊(duì)排成1200米長的隊(duì)伍行軍，在隊(duì)尾的通訊員要與最前面的營長聯(lián)系，他用6分鐘時(shí)間跑步追上了營長，為了回到隊(duì)尾，在追上營長的地方等待了24分鐘。如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么只需要( )分鐘。4、一列火車通過一座 1000米的大橋要 65秒，如果用同樣的速度通過一座 730米的隧道則要50秒。求這列火車前進(jìn)的速度和火車的長度。5、解放軍某部出動(dòng)80輛汽車參加工地勞動(dòng)，在途中要經(jīng)過一個(gè)長120米的隧道。如果每輛汽