2.2010年高考試題——(全國卷2)數(shù)學(xué)文(全解析).doc

絕密 啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué) 高考資源網(wǎng)制作高考資源網(wǎng)制作 本卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷第 1 頁至第 2 頁 第 卷 第 3 頁至第 4 頁 考試結(jié)束后 將本試卷和答題 交回 全卷滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 第第 卷卷 選擇題 選擇題 共共 5050 分 分 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在 每小題給出的四個選項(xiàng)中 參考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球的表面積公式 P A B P A P B S 4 R2 如果事件 A B 相互獨(dú)立 那么 P A B P A P B 一 選擇題 1 設(shè)全集 集合 A 1 3 B 3 5 則 6 UxNx U AB 5 不等式的解集為 3 0 2 x x 23 xx 2 x x 23 x xx 或 3 x x 3 已知 sin 則 cos 2 2 3 A B C D 5 3 1 9 1 9 5 3 4 函數(shù)的反函數(shù)是 1 ln 1 1 yxx A B 1 1 0 x yex 1 1 0 x yex C D 1 1 R x yex 1 1 R x yex 5 若變量滿足約束條件則的最大值為 x y 1 325 x yx xy 2zxy A 1 B 2 C 3 D 4 6 如果等差數(shù)列中 那么 n a 345 12aaa 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 7 若曲線在點(diǎn) 0 處的切線方程式 0 則 2 yxaxb b1xy A B 1a 1b 1a 1b C D 1a 1b 1a 1b 8 已知三棱錐中 底面 ABC 為變長等于 2 的等邊三角形 SA 垂直于底面SABC ABC SA 3 那么直線 AB 與平面 SBC 所成的角 的正弦值為 A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 9 將標(biāo)號為 1 2 3 4 5 6 的 6 張卡放入 3 個不同的信封中 若每個信封放 2 張 其中標(biāo)號 為 1 2 的卡片放入同一信封 則不同的放法共有 A 12 種 B 18 種 C 36 種 D 54 種 10 中 點(diǎn)在上 平分 若 ABCVDABCDACB CBa uurr CAb uu rr 1a r 則2b r CD uuu r A B C D 12 33 ab rr 21 33 ab rr 34 55 ab rr 43 55 ab rr 11 與正方體 ABCD A1B1C1D1的三條棱AB CC1D所在直線的距離相等的點(diǎn) 1 A A 有且只有 1 個 B 有且只有 2 個 C 有且只有 3 個 D 有無數(shù)個 12 已知橢圓 C 1 a b 0 的離心率為 過右焦點(diǎn) F 且斜率 2 2 a x 2 2 b y 2 3 k k 0 的直線與 C 相交于 A B 亮點(diǎn) 若 3 則 k AFFB A 1 B C D 223 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 把答案填在答題卡上 13 已知是第二象限的角 tan 1 2 則 cos 14 的展開式中 3 的系數(shù)是 9 1 x x x 15 已知拋物線的準(zhǔn)線為 過且斜率為的直線與 相 2 2 0 C ypx p l 1 0 M3l 交于點(diǎn) 與的一個交點(diǎn)為 若 則 ACBAMMB p 16 已知球的半徑為 4 圓與圓為該球的兩個小圓 為圓與圓的公共OMNABMN 弦 若 則兩圓圓心的距離 4AB 3OMON MN 三 解答題 本大題共 6 小題 共 70 分 解答應(yīng)寫出說明 證明過程或演算步驟 17 本小題滿分 10 分 三角形 ABC 中 D 為邊 BC 上的一點(diǎn) BD 33 sinB cos adc 求 AD 18 本小題滿分 12 分 已知 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比例數(shù)列 且 A1 a2 2 a2 a3 a4 64 求 an 的通項(xiàng)公式 設(shè) Bn an 2 求數(shù)列 bn 的前 N 項(xiàng)和 Tn 19 本小題滿分 12 分 如圖 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AA1 AB D 為 BB1的中點(diǎn) E 為 AB1上的一 點(diǎn) AE 3EB1 證明 DE 為異面直線 AB1與 CD 的公垂線 DE 為異面直線 AB1與 CD 的夾角為 45o 求二面角 A1 AC1 B1的大小 20 本小題滿分 12 分 如圖 由 M 到 N 的電路中有 4 個元件 分別標(biāo)為 T1 T2 T3 T4 電流能通過 T1 T2 T3的 概率都是 P 電流能通過 T4的概率是 0 9 電流能否通過各元件相互獨(dú)立 已知 T1 T2 T3中 至少有一個能通過電流的概率為 0 999 求 P 求電流能在 M 與 N 之間通過的概率 20 本小題滿分 12 分 如圖 由 M 到 N 的電路中有 4 各元件 分別為 T1T2T3T 4 電流通過 T1T2T3的概率是 P 電流能通過 T 4的概率是 0 9 電流量通過各元件相互獨(dú)立 已知 T1T2T3中至少有一 個能通過電源的概率為 0 999 1 求 P 2 求電源能在 M 與 N 之間的概率 21 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) f x x3 3ax2 3x 1 1 設(shè) a 2 求 f x 的單調(diào)區(qū)間 2 設(shè) f x 在區(qū)間 2 3 中至少有一個極致點(diǎn) 求 a 的取值范圍 22 本小題滿分 12 分 21 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 設(shè) 設(shè)在區(qū)間 2 3 中至少有一個極值點(diǎn) 求 a 的取值范圍 22 本小題滿分 12 分 已知斜率為 1 的直線與雙曲線相交于 B D 兩點(diǎn) 且 BD 的中點(diǎn)為 求 C 的離心率 設(shè) C 的右頂點(diǎn)為 A 右焦點(diǎn)為 F 證明 過 A B D 三點(diǎn)的 圓與 x 軸相切 x y O 15 3 2 5 A 1 1 2010 年高考試題年高考試題 全國卷 全國卷 2 數(shù)學(xué)文解析 數(shù)學(xué)文解析 一 選擇題 一 選擇題 1 答案 C 命題立意 本題考查了集合的并集與補(bǔ)集運(yùn)算 屬基礎(chǔ)概念題 解題思路 由已知條件可得 1 2 3 4 5 U 1 3 5 AB 故應(yīng)選 C 2 4 U AB 2 答案 A 命題立意 本題考查了分式不等式的求解問題 考查分類討論思想方法 解題思路 由可得 故應(yīng)選 A 3 0 2 x x 2 3 x 3 答案 B 命題立意 本題考查了余弦二倍角公式及誘導(dǎo)公式 屬基礎(chǔ)公式應(yīng)用題型 解題思路 sin cos 2 2 3 22 21 cos22sin12 1 39 故應(yīng)選 B 4 答案 D 命題立意 本題考查了反函數(shù)的求解問題 屬基礎(chǔ)運(yùn)算題型 解題思路 由可得且 1 ln 1 1 yxx yR 1 1 y xe 即可得函數(shù)的反函數(shù)是 故應(yīng)選 D 1 ln 1 1 yxx 1 1 R x yex 易錯點(diǎn) 反求解析式時容易忽視原函數(shù)值域的判斷或判斷出錯 5 答案 C 命題立意 本題考查了線性規(guī)劃問題 考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 解題思路 不等式組 1 325 x yx xy 所表示的可行域如右圖所示 當(dāng)平行直線系過點(diǎn) A 1 1 時 2xyz 目標(biāo)函數(shù)取得最大值 2zxy 故應(yīng)選 C max 2 1 13z 題眼 將目標(biāo)函數(shù)所代表的平行直線系在可行域的邊界上平移是找出最值最優(yōu)解的關(guān)鍵 6 答案 C 命題立意 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其基本量的運(yùn)算 考查函數(shù)與方程思想 解題思路 是等差數(shù)列 即得 n a 3454 312aaaa 4 4a S A B C M N A B B D C EF 故應(yīng)選 C 17 1274 7 728 2 aa aaaa 題眼 利用好等差中項(xiàng)是此題速解的關(guān)鍵 7 答案 A 命題立意 本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 屬數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題 解題思路 由可得在點(diǎn) 0 處切線的斜率 2yxa b1ka 又由 0 在切線上可得 故應(yīng)選 A b1xy 1b 8 答案 D 命題立意 本題考查了直線與平面所成角問題 考查空間想象能力 解題思路 如右圖所示 取 BC 邊中點(diǎn) M 連 結(jié) AM SM 過點(diǎn) A 作 AN SM 于點(diǎn) N 連結(jié) BN 由 BC AM BC SA 可得 BC 平面 SAM 則 BC AN 又由 AN SM 可得 AN 平面 SBC 即得 ABN 就是直線 AB 與平面 SBC 所成的角 由 可得 3 3AMSA 2 3SM 故應(yīng)選 D 3 2 SAAM AN SM 3 sin 4 AN ABN AB 題眼 此題可以作出點(diǎn)到平面的距離 其關(guān)鍵在于找到線面垂直的中面的垂線 另外 利用 體積法求點(diǎn)到平面的距離也是一種以算代證的好方法 9 答案 B 命題立意 本題考查了排列組合方法解決分組與分配問題 考查邏輯推理能力及分類討 論思想 解題思路 先將標(biāo)號為 1 2 的卡片放入同一信封 有種放法 再將剩下的四份試卷平 1 3 C 均放入另兩個信封中 共有種放法 由分步乘法原理可得不同的方法共有 22 42 C C 種 故應(yīng)選 B 122 342 18C C C 易錯點(diǎn) 重復(fù)計算或遺漏其中的一類是此類問題解決中常出現(xiàn)的錯點(diǎn) 10 答案 B 命題立意 本題考查了平面向量的基本定理及平面幾何圖形的性質(zhì)探究 考查數(shù)形結(jié)合思 想方法的應(yīng)用 解題思路 如右圖所示 分別過點(diǎn) D 作 DE BC 交 AC 于點(diǎn) E DF AC 交 BC 于點(diǎn) F 由平分 可得 CDACB 1 2 CBBD CADA 則 21 33 CFDEDACEDFBD CBBCABCAACBA 故應(yīng)選 B 2121 3333 CDCFCECBCAab 題眼 利用平面幾何的圖形信息特別是角平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 可以將問題轉(zhuǎn)化為平行性 分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行研究 x y O 1 F F A B C D E 11 答案 D 命題立意 本題考查了空間點(diǎn)到直線的距離問題 考查空間想象能力 解題思路 在正方體的對角線上所有的點(diǎn)到三條棱 1111 ABCDABC D 1 DBAB 所在直線的距離都相等 故應(yīng)選 D 1 CC 11 AD 易錯點(diǎn) 考生多將問題想象特殊化為正方體的中心點(diǎn) 屬于對空間幾何模型認(rèn)識的思維定 勢 12 答案 B 命題立意 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系 考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 解題思路 如右圖所示 分別過點(diǎn) A B 作橢圓右準(zhǔn)線 的垂線段 AD BC 過點(diǎn) B 作 BE AD 于點(diǎn) E 由橢圓的第二定義可得 BFAF BCAD ee 2AFBFBF AEADBC eee 則 故 2 11 cos 423 BF AE e BAE ABBFe 2 sin 3 BAE tan2kBAE 應(yīng)選 B 題眼 若直接利用直線與橢圓的位置關(guān)系代入橢圓方程求解 計算量太大 而利用橢圓的第 二定義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行探究 則可使問題的解決非常直觀清晰 二 填空題 二 填空題 13 答案 2 5 5 命題立意 本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系 屬基礎(chǔ)公式應(yīng)用題型 解題思路 是第二象限的角 tan a 1 2 2 112 5 cos 51 1tan 1 4 14 答案 84 命題立意 本題考查了二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用 屬基礎(chǔ)公式應(yīng)用問題 解題思路 二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為 9 1 x x 99 2 99 1 rrrrr CxCx x 令可得 則的系數(shù)是84 923r 3r 3 x 3 9 C 易錯點(diǎn) 要注意二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式中上標(biāo)數(shù)據(jù)計算的正確性 15 答案 2 命題立意 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系 考查數(shù)形結(jié)合思想及分析問題解決問題 的能力 x y O M B A l O M N O CCA B 解題思路 由題意可得過點(diǎn) M 的直線方程為 3 1 yx 將代入可得點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 2 p x 3 2 22 pp 由可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 AMMB 3 2 2 22 pp 代入可得 解之得 舍去 或 2 2ypx 2 3 2 2 2 42 pp p 6p 2p 題眼 條件可以直接理解為中點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用 這相可以簡化直線方程與拋物線AMMB 方程聯(lián)立帶來的復(fù)雜運(yùn)算 16 答案 3 命題立意 本題考查了球面上的截面的性質(zhì)及棱面圓的性質(zhì) 考查空間想象能力 解題思路 如右圖所示 取 AB 中點(diǎn) C 由4AB 可得 OC 又由 22 2 3OBBC 3OMON 可得 即得 3 cos 2 NO NOC OC 0 30NOCMOC 是等邊三角形 即得 MN ON 3 MON 題眼 球面截面相交問題及其相交的弦需要作出兩個輔助圖形 其處處體現(xiàn)了化歸意識的 應(yīng)用 解題時不急于作出整個的球體直觀圖 直接化歸即可 全卷分析 全卷分析 試卷亮點(diǎn) 2010 年高考數(shù)學(xué)全國二卷與 2009 年高考試卷的題型和分?jǐn)?shù)比例完全一致 難度穩(wěn)中有升 其更加注重知識的綜合力度 對運(yùn)算的能力要求相對提高 突出了對學(xué)生數(shù) 學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的考察 雖然題型仍然常規(guī) 但靈活多變 能力題及創(chuàng)新題有效地 拉開了考生的差距 復(fù)習(xí)使用指導(dǎo) 高三復(fù)習(xí)中要正確處理課本與教輔之間的關(guān)系 對課本要做到 梳理教 材知識結(jié)構(gòu) 提煉結(jié)構(gòu)組塊 立足教材基本例題 習(xí)題 搞好變式研究 對教輔要做到 精 心選擇 精心取舍 精講精練 減輕學(xué)生負(fù)擔(dān) 避免 題海戰(zhàn) 切忌不加思考 不及時總 結(jié)與反饋 2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué)試題參考答案和評分參考文科數(shù)學(xué)試題參考答案和評分參考 三 解答題三 解答題 17 解 解 由 3 cos0 52 ADCB 知 由已知得 124 cos sin 135 BADC 從而 sinsin BADADCB sincoscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 由正弦定理得 AD sinsin BD BBAD 所以 sin AD sin BDB BAD 5 33 13 25 33 65 18 解 解 設(shè)公比為 q 則 由已知有 1 1 n n aa q 11 11 234 111 234 111 11 2 111 64 aa q aa q a qa qa q a qa qa q 化簡得 2 1 26 1 2 64 a q a q 19 解法一 解法一 連結(jié) 記與的交點(diǎn)為 F 因?yàn)槊?1 A B 1 A B 1 AB 為正方形 故 且 又 11 AA BB 11 A BAB 1 AF FB 所以 又 D 為的中點(diǎn) 故 1 AE 3EB 1 FE EB 1 BB 1 DEBFDEAB 作 G 為垂足 由 AC BC 知 G 為 AB 中點(diǎn) CGAB 又由底面面 得 ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 連結(jié) DG 則 故 由三垂線定理 得 1 DGAB DEDG DECD 所以 DE 為異面直線與 CD 的公垂線 1 AB 因?yàn)?故為異面直線與的夾角 1 DGAB CDG 1 ABCDCDG 45 設(shè) AB 2 則 1 AB2 2 DG 2CG 2AC 3 作 H 為垂足 因?yàn)榈酌?故 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 111 B HAAC C 面 又作 K 為垂足 連結(jié) 由三垂線定理 得 因此為 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 1 B KH 解法二 解法二 以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線 BA 為軸正半軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系x Bxyz 設(shè) AB 2 則 A 2 0 0 D 0 1 0 1 B 0 2 0 1 3 E 0 2 2 又設(shè)C 1 0 c 則 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 1 DE B A 0 DE DC 0 AA 故 1 DEB ADEDC 所以 DE 為異面直線與 CD 的公垂線 1 AB 因?yàn)榈扔诋惷嬷本€與 CD 的夾角 1 B A DC 1 AB 故 11 cos45B A DCB A DC AA 即 2 2 2 224 2 c 解得 故 2c AC 22 1 又 11 AA BB 0 2 0 所以 11 AC AC AA 1 22 所以 1 cos 15 m n m n m n A 由于等于二面角的平面角 m n 111 A AC B 所以二面角的大小為 111 A AC B 15 arccos 15 2020 解 解 記表示事件 電流能通過 1 AT 1 2 3 4 i i A 表示事件 中至少