勾股定理數(shù)學(xué)活動 (2).doc

數(shù)學(xué)活動勾股定理證明福州金山中學(xué) 卞明星【教學(xué)目的】1、了解勾股定理的歷史由來，感受勾股定理的文化價值；2、掌握定理內(nèi)容及其簡單應(yīng)用；3、學(xué)會定理的證明方法及思維方式，拓展思維?！窘虒W(xué)重點】探究并理解勾股定理；【教學(xué)難點】探索勾股定理的驗證方法【教具準(zhǔn)備】多媒體課件演示拼圖【教學(xué)過程】一、舊知新問，引出新課同學(xué)們有沒去過福州的森林公園？在森林公園里游玩時看到一棵棵大樹，感到心曠神怡，在數(shù)學(xué)王國也有一種樹同樣絢爛多彩、變幻多端。（展示課件1）（師）記得老師四年前的上海之行。當(dāng)時在眾多的高科技展品中，我發(fā)現(xiàn)了它（展示課件2）這是一個由直角三角形和已知三邊分別向外獲得的三個正方形所組成的平面模型。當(dāng)時充盈在這兩個正方體的液體緩緩的注入了底下那個大正方形內(nèi)，如此不斷地循環(huán)反復(fù)，看到這，我在想這個模型它究竟要告訴我們什么呢？不知道同學(xué)們有什么想法？（提問）問1：在這個實驗中，我們發(fā)現(xiàn)了什么？（兩個小正方體的體積和等于下面大的正方體的體積）問2：假定三個正方體的厚度一樣，那么這三塊正方形的面積有怎樣的關(guān)系？（兩塊小的正方形的面積等于大正方形的面積）問3：能否用直角三角形三邊長來分別表示這三個正方形的面積問4：由面積關(guān)系能否找出該直角三角形三邊關(guān)系？二、實驗活動，激發(fā)靈感（師）如果老師將中間這個三角形標(biāo)記為和三邊a,b,c，那么你又能得到什么結(jié)論呢？猜想：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（）這或許正要告訴我們存在于直角三角形的某種特殊關(guān)系.三、運算推演，證實猜想【活動1】學(xué)生實驗（畫一畫)請同學(xué)們動手畫一個直角邊分別為3和4的直角三角形,測量它的斜邊長度.(學(xué)生動手操作)(展示課件4)師生一起驗證猜想的正確性(板書)(師)其實這個3,4,5組合的直角三角形,早在公元前一世紀(jì)就被我國古代的數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)了，在古書中記載著勾三、股四、弦五的字樣。勾：較短直角邊，股：較長直角邊，弦：斜邊?？梢哉f這個特殊三角形的發(fā)現(xiàn)為世界數(shù)學(xué)史掀開了一頁嶄新的篇章。（師）可是就憑這么個例子，怎么能說明這個猜想的正確性呢？于是當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們就紛紛地投入了大量的實驗來驗證。其中，在我國古代巨著-九章算術(shù)中記載了這樣一段文字：（展示課件5）勾股各自乘，并爾開方除之為弦。（板書）古人的這個發(fā)現(xiàn)和我們之前的猜想是否完全吻合啊？問1：現(xiàn)在對于存在于直角三角形的三邊關(guān)系是否確認無疑？問2：那么我們來思考這樣一個問題： （提問）（師）這說明了什么呢？再多的實驗數(shù)據(jù)只能增加結(jié)論的可靠性。特殊的數(shù)據(jù)永遠替代不了一般的規(guī)律。所以本著嚴(yán)謹(jǐn)、求實的治學(xué)態(tài)度，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們就紛紛地由驗證的過程轉(zhuǎn)為了對這個猜想的論證過程，可以說這條路走得非常艱辛，他們費盡心思，一直經(jīng)歷了半個多世紀(jì)之后，才終于為人類所掌握。那么今天老師來協(xié)助同學(xué)們，看看憑借自身的能力能否在短時間內(nèi)將這個難題所攻克。【活動2】我們一起來論證（展示課件6）已知：Rt求證：問：我們進行這樣的思考，對于我們所要證明的結(jié)論，同學(xué)們觀察下，我們會從什么樣的角度去著手證明呢？（提問）預(yù)案：的確當(dāng)時是有一批數(shù)學(xué)家從面積著手證明的，到底是怎么證明的呢？挺難得對嗎？沒有關(guān)系，讓我們先來做個游戲，拿出我們事先準(zhǔn)備好的四個全等直角三角形，讓我們一同在一個拼圖游戲中尋找答案。拼圖游戲：問1：請用4個全等的直角三角形, 拼出一個含有以斜邊c為邊長的正方形。只要求：不加覆蓋問2：利用面積之間的關(guān)系動手證一證命題的猜想?請同學(xué)上黑板用模具展示拼圖結(jié)果預(yù)案一：現(xiàn)在仍保留在黑板上的兩種不同拼圖方式是否能夠為我們的論證提供強有力地幫助。（板書論證過程）介紹一種證法證法1：將四個全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形.（師）老師介紹一個人，（展示課件）他是三國時期，魏國的數(shù)學(xué)家劉徽，剛才我們的證法與劉老前輩一模一樣，劉老前輩正是我們九章算術(shù)主要編寫者之一。介紹第二種拼合方式。（提問，學(xué)生論證）證法2：將四個全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形.預(yù)案二：（師）還想介紹個人，他是外國人，美國總統(tǒng)加菲爾德，他不是數(shù)學(xué)家，他卻給出了一種非常經(jīng)典的證法。利用第二種拼圖方法，他做了一種連接，把圖形分割成兩個全等的直角梯形。根據(jù)圖形的構(gòu)成分析，老師相信你們可以從面積的角度老完成它的論證。（學(xué)生動手完成論證）。(a + b)(b + a) = c2 + 2(ab)a2 + ab + b2 = c2 + aba2 + b2 = c2（師）這三種方法殊途同歸，終于存在于直角三角形三邊間的特殊關(guān)系被我們所掌握了，這個直角三角形的三邊關(guān)系到底是什么？請一位同學(xué)用語言表述下。（語文課代表）（展示課件）四、歸納總結(jié)，完成探究【文字語言】直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 (全班齊讀)對于這個定理的發(fā)現(xiàn)，我國古代要比西方早五百多年，所以我們把這個定理命名為勾股定理。（板書課題）這是我們數(shù)學(xué)界十分重要的定理。下面請一位同學(xué)借助于圖形，使用數(shù)學(xué)語言表述。（有請數(shù)學(xué)課代表）【符號語言】 （板書） Rt （師）勾股定理目前證明方法有五百多種，書上提供的是哪一種呢？我們一起看書本，書上提供的是三國時期吳國趙爽的一種證法。問1：從圖的構(gòu)成分析，面積的角度來看，是書上趙爽的圖形構(gòu)成簡單，還是我們之前介紹的圖形簡單呢？問2：那我就不明白了，把這么復(fù)雜的圖形放在教科書上,是為什么呢？（師）無論是趙爽的證明方法，還是之前所介紹的證明方法，它們之中都存在著一種共性：都是利用了對幾何圖形的截、割、拼、補來完成代數(shù)恒等式的證明。這種證明方法既具嚴(yán)密性又具直觀性。趙爽圖形略為復(fù)雜，但是他是當(dāng)今世上以形證數(shù)的第一人。以后的數(shù)學(xué)家繼承了這個風(fēng)格，并向前發(fā)展。所以我們看到的勾股定理的證明方式越來越簡單。至此，我們由猜想到驗證到論證，認識了勾股定理，下面到我們應(yīng)用時間。五、鞏固練習(xí)，適當(dāng)拓展例題一、（1）在RtABC中，C=90，AB=c,BC=a,AC=b,已知a=6,b=8,則c=(2)如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，那么第三邊的長是多少？（分類思想的滲透）ABC例題二：（1）已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求等腰三角形ABC的面積。ABC（2）變式：已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求腰AC上的高。六、課堂小結(jié)，布置作業(yè)短短四十分鐘，我們由猜想-到驗證-到論證。認識了勾股定理，又再現(xiàn)了一個以形證數(shù)的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷了一條從特殊到一般的科學(xué)之路，平添了一份升為中國人的自豪。正是因為有了它們，老師才能把這樣的一份財富知識傳遞給你們，老師感到非常的快樂。作業(yè)：收集勾股定理證明方法的資料，以小報或PPT的形式與同學(xué)們交流（一周后交科代表）.在以下網(wǎng)頁中你可以找到有關(guān)勾股定理的豐富的內(nèi)容。清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 http: