2[1].3 區(qū)間估計.doc

3 區(qū)間估計問題：未知參數(shù)的點估計是取, 事實上只有, 這種估計的近似程度如何?3.1 區(qū)間估計概述（1）定義：設(shè)母體的分布函數(shù)形式已知, 其中是未知參數(shù),是來自的一個子樣，給定實數(shù)，構(gòu)造，兩個統(tǒng)計量，使得 則稱是的置信概率為的置信區(qū)間(confidence interval)，和分別為置信下限和置信上限(lower, upper confidence limit)，為置信水平(confidence level)，為置信區(qū)間長度.置信水平又稱為置信概率或置信度，表示未知參數(shù)的真值落入該置信區(qū)間的可信程度；置信區(qū)間長度體現(xiàn)了估計的精度。例2.3.1 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量()在正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差。現(xiàn)測量5爐鐵水，其含碳量分別是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（）試以置信概率95對母體均值作區(qū)間估計。數(shù)學(xué)模型：設(shè)有正態(tài)母體，已知，從母體中抽得子樣值，要求以置信概率對母體均值作區(qū)間估計。解：的點估計可取為；由抽樣分布定理1知 (3.1)稱為樞軸量(pivotal statistic).給定置信概率為，則存在，使 (3.2)即亦即于是，的置信概率為的置信區(qū)間為.代入數(shù)值：，,則，查表知，又由子樣值算得，于是，母體均值的置信概率為95的置信區(qū)間是（4.269，4.459）.（2）幾點說明：區(qū)間估計的步驟寫出的點估計；找出含有及但不含任何其他未知參數(shù)，且分布已知的隨機(jī)變量作為樞軸量；對于給定置信概率, 寫出置信區(qū)間表達(dá)式；代入數(shù)值.為何取對稱區(qū)間上例中取對稱區(qū)間時得到置信區(qū)間長度為；若取不對稱區(qū)間，使得，可求得置信區(qū)間為，置信區(qū)間長度為（圖示說明）當(dāng)取定時，置信概率與置信區(qū)間長度的關(guān)系置信概率越大時，值越小，越大，從而置信區(qū)間長度越大，參數(shù)估計的精度越差。相反，置信概率越小時，參數(shù)估計的精度越高。對置信區(qū)間與置信概率的進(jìn)一步解釋上例得到置信區(qū)間，是一個隨機(jī)區(qū)間，隨抽樣結(jié)果的不同而成為不同的數(shù)值區(qū)間，這些數(shù)值區(qū)間中有95包含的真值?；蚶斫鉃槊總€這樣的數(shù)值區(qū)間包含的真值的概率為95。如抽樣獲得上例中子樣值時，置信區(qū)間是（4.269，4.459），此區(qū)間包含的真值的概率為95，置信區(qū)間長度的一半是0.095，表示用估計的誤差范圍。3.2 大子樣對母體均值的區(qū)間估計問題: 設(shè)母體的分布是任意的，均存在且未知，從母體中抽大子樣，試以概率對母體均值作區(qū)間估計。解：的點估計可取為；由中心極限定理知，但其中是未知參數(shù)，注意到是的漸進(jìn)無偏相合估計量，故在大子樣情形，有以此隨機(jī)變量作為樞軸量.給定置信概率為，則存在使，即 亦即于是，的置信概率為的置信區(qū)間為.例2.3.2 從某臺機(jī)床加工的零件中取出50個，量其長度，并算得，求的置信概率為的置信區(qū)間.解：，屬大子樣情形。給定置信概率，的置信區(qū)間為.這時，查表知，又，從而，于是，母體均值的置信概率為的置信區(qū)間是.例2.3.3 現(xiàn)從一批產(chǎn)品中取個樣品，得次品個，求次品率的置信概率為的置信區(qū)間。解：設(shè)母體為從這批產(chǎn)品中任取一個所得的次品數(shù)，則，故此問題屬大子樣情形下對母體均值的區(qū)間估計。給定置信概率，的置信區(qū)間為.這時，查表知，又，從而，于是，母體均值的置信概率為的置信區(qū)間是.3.3 正態(tài)母體均值的區(qū)間估計例2.3.1中已分析了方差已知時正態(tài)母體均值的區(qū)間估計，現(xiàn)在考慮方差未知時正態(tài)母體均值的區(qū)間估計。問題：母體,未知,求的置信概率為的置信區(qū)間。解: 的點估計可取為；由抽樣分布定理2知以此隨機(jī)變量為樞軸量.給定置信概率為，則存在，使，即亦即故的置信概率為的置信區(qū)間為.例2.3.4 假設(shè)鉛的比重測量值,如果測量16次，算得，求鉛的比重的置信概率為的置信區(qū)間。解：此問題屬于方差未知時對正態(tài)母體均值的區(qū)間估計。給定置信概率，的置信區(qū)間為.這時，查表知，又，于是母體均值的置信概率為的置信區(qū)間是.3.4 大子樣對兩母體均值之差的區(qū)間估計問題：設(shè)母體的分布是任意的，均存在且未知，獨立地從兩母體中抽取大子樣，是子樣均值，是子樣方差，. 試以概率對母體均值之差作區(qū)間估計。解：的點估計可取為；由中心極限定理知由兩子樣獨立性知兩子樣均值獨立，故但其中是未知參數(shù)，注意到是的漸進(jìn)無偏相合估計量，故在大子樣情形，有以此隨機(jī)變量為樞軸量.給定置信概率為，則存在，使即亦即于是，的置信概率為的置信區(qū)間為 .例2.3.5 甲乙兩臺機(jī)床加工同種零件，分別從甲、乙機(jī)床處取個和個零件，量其長度（單位：毫米），算得, , ，求這兩臺機(jī)床加工的零件平均長度之差的置信概率為置信區(qū)間。解：設(shè)甲、乙機(jī)床加工的零件長度為，則平均長度分別為 且，故此問題屬于大子樣下對兩母體均值之差作區(qū)間估計。給定置信概率，的置信區(qū)間為.這時，查表知，于是置信下限置信上限的置信概率為的置信區(qū)間是.3.5 兩個正態(tài)母體均值之差的區(qū)間估計問題：設(shè)當(dāng)時母體，未知，獨立地從兩母體中抽取子樣，是子樣均值，是子樣方差，試以概率對母體均值之差作區(qū)間估計。（1）已知時解：的點估計可取為；由抽樣分布定理1知由兩子樣獨立性知兩子樣均值獨立，故以此隨機(jī)變量為樞軸量.給定置信概率為，則存在，使即亦即于是，的置信概率為的置信區(qū)間為 （2）未知但兩母體方差相等時，記解：的點估計可取為；由抽樣分布定理3知其中：.以隨機(jī)變量T為樞軸量.給定置信概率為，則存在，使即亦即于是，的置信概率為的置信區(qū)間為 .例2.3.6 甲、乙兩臺機(jī)床加工的同種零件的長度分別滿足,，從甲、乙機(jī)床加工的零件中分別取出個和個,量其長度（單位：毫米），算得, 在下列兩情形下分別求的置信概率為的的置信區(qū)間：已知 ； 未知，.解: 兩個正態(tài)母體方差已知時，樞軸量取為給定,則的置信區(qū)間為 這時，故所求置信區(qū)間為 兩個正態(tài)母體中未知時，樞軸量取為其中.給定，則的置信區(qū)間為 這時，查表知，又，故所求的置信區(qū)間為. 3.6正態(tài)母體方差的區(qū)間估計問題：設(shè)母體,其中均未知,求的置信概率為的置信區(qū)間。解: 的點估計可取為；由抽樣分布定理2知以此隨機(jī)變量為樞軸量.給定置信概率為，則存在和，使即亦即 (3.4)于是的置信概率為的置信區(qū)間為.（3.4）式又可改寫成 (3.5)于是的置信概率為的置信區(qū)間為.例2.3.7 設(shè)炮彈速度,其中均未知,取9發(fā)炮彈做實驗，算得子樣方差，求炮彈速度方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信概率為的置信區(qū)間。解: 此題屬正態(tài)母體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計。給定,則的置信區(qū)間為，這里, ,查表知 , .于是的置信概率為的置信區(qū)間為(5.675,32.199),從而的置信概率為的置信區(qū)間為(2.38,5.67).3.7 兩個正態(tài)總體方差之比的區(qū)間估計問題：設(shè)當(dāng)時，母體，均未知，獨立地從兩母體中抽取子樣，是子樣方差，試以概率對母體方差之比作區(qū)間估計。解：的點估計可取為；由抽樣分布定理3知以隨機(jī)變量F為樞軸量.給定置信概率為，則存在上側(cè)分位數(shù)和，使即亦即于是，的置信概率為置信區(qū)間為.例2.3.8 設(shè)當(dāng)時母體，均未知，獨立地從兩母體中抽取容量為9和7的子樣，子樣方差，試求母體方差之比的置信概率為的區(qū)間估計。解：兩個正態(tài)母體方差之比的置信概率為置信區(qū)間為.這時，查表知， ，又，故所求的置信區(qū)間為.3.8 單側(cè)置信區(qū)間（1）雙側(cè)置信區(qū)間和單側(cè)置信區(qū)間前述問題中，對于未知參數(shù)，給出統(tǒng)計量，構(gòu)成雙側(cè)置信區(qū)間。但在某些實際問題中，往往只關(guān)注未知參數(shù)的置信下限或只關(guān)注置信上限。例如：對于設(shè)備、元件的壽命，希望平均壽命較長，關(guān)心的下限，應(yīng)找的形如的置信區(qū)間；對化學(xué)藥品中雜質(zhì)的含量、次品率等希望均值較小，只關(guān)心上限，應(yīng)找的形如的置信區(qū)間。（2）一般定義設(shè)母體的分布函數(shù)形式已知, 其中是未知參數(shù),是來自的一個子樣，給定實數(shù)，若有則稱是的單側(cè)置信區(qū)間，為單側(cè)置信下限；若有則稱是的單側(cè)置信區(qū)間，為單側(cè)置信上限。（3）求法（僅舉幾類情形）正態(tài)母體方差未知時，求的單側(cè)置信上、下限求的單側(cè)置信上限總體，均未知，取容量為的子樣，分別為子樣均值和子樣方差，則由抽樣分布定理2知以此隨機(jī)變量為樞軸量。要找使，應(yīng)找使，如圖知可取, 即亦即于是，的單側(cè)置信上限為.求的單側(cè)置信下限要找使，應(yīng)找使，如圖知可取, 即亦即于是，的單側(cè)置信下限為.注意：單側(cè)置信上下限與相應(yīng)情形下雙側(cè)置信上下限之間結(jié)論的區(qū)別和聯(lián)系.例2.3.9 為估計制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均工時（單位：小時），現(xiàn)制造5件，記錄每件所需工時如下：10.5，11.0，11.2，12.5，12.8，設(shè)制造單件產(chǎn)品所需要工時，均未知，給定置信概率為，求平均工時的單側(cè)置信上限。解：正態(tài)母體方差未知時，的單側(cè)置信上限為.這時，算得，又，查表得，故的單側(cè)置信上限為.大子樣時求的單側(cè)置信上限設(shè)母體分布是任意的，取容量的子樣，為子樣標(biāo)準(zhǔn)差，則由中心極限定理知以此隨機(jī)變量為樞軸量.要找使，應(yīng)找使，如圖知可取, 即亦即于是，的單側(cè)置信上限為.特別，當(dāng)時，若未知，大子樣中有個觀測值為1，其余為0，則，給定置信概率，則的單側(cè)置信上限為例2.3.10 現(xiàn)從一批產(chǎn)品中取個樣品，得次品個，求次品率的置信概率為的單側(cè)置信上限。解：設(shè)母體為從這批產(chǎn)品中任取一個所得的次品數(shù)，則于是，未知，屬大子樣情形，0-1分布母體均值的單側(cè)置信上限為.這時，查表知，又，從而，于是母體均值的置信概率為的單側(cè)置信上限，置信區(qū)間是 .正態(tài)母體標(biāo)準(zhǔn)差的單側(cè)置信上限樞軸量取作.給定置信概率為，要找 使 應(yīng)找使 ，如圖知可取, 即亦即于是的置信概率為的單側(cè)置信上限為，置信區(qū)間為.P81 Ex34 解：正態(tài)母體標(biāo)準(zhǔn)差的單側(cè)置信上限為.這里，, ， ，故的單側(cè)置信上限為.P80 Ex27 證明：母體，故，且，又，從而有即以此隨機(jī)變量為樞軸量.給定置信概率為，則存在，使即亦即于是的置信概率為的置信區(qū)間為.例2.3.11 從正態(tài)母體中抽取一個大子樣，求母體方差的置信概率為的置信區(qū)間。解：這里，（1）正態(tài)母體方差的置信概率為的置信區(qū)間為，故所求置信區(qū)間為(120.54,362.80)（2）大子樣下，正態(tài)母體方差的置信概率為的置信區(qū)間為, ，故所求置信區(qū)間為(127.04,428.75).兩種方法的結(jié)果相比，差異較明顯。處理原則: 能用精確分布時不用近似分布；能用小子樣時不必用大子樣；用大子樣時，容量較大則偏差較小。補(bǔ)充內(nèi)容：有關(guān)參數(shù)估計的MATLAB命令函數(shù)名稱功能調(diào)用格式norminv求的上側(cè)分位數(shù)norminv()chi2inv求分布的上側(cè)分位數(shù)chi2inv(,n)tinv求分布的上側(cè)分位數(shù)tinv(,n)finv求分布的上側(cè)分位數(shù)finv(,m,n)mle求最大似然估計值及置信區(qū)間phat,pci=mle(dist,x,)1. 正態(tài)母體方差已知時,對母體均值的區(qū)間估計例2.3.1 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量()在正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差。現(xiàn)測量5爐鐵水，其含碳量分別是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（）試以置信概率95對母體均值作區(qū)間估計。x=4.28,4.40,4.42,4.35,4.37; sigma=0.108; alpha=0.05;n=length(x);ci(1)=mean(x)-norminv(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n);ci(2)=mean(x)+norminv(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n);cici = 4.2693 4.45872. 正態(tài)母體均值、方差的區(qū)間估計直接調(diào)用函數(shù)P78，20（2）x=2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11;phat,pci=mle(norm,x,0.10)phat = 2.1250 0.0166