第8章 假設(shè)檢驗117.ppt

第8章假設(shè)檢驗 假設(shè)檢驗是對參數(shù)的值先提出一個假設(shè) 然后利用樣本信息去檢驗這個假設(shè)是否成立 基本思想 小概率原理 如果對總體的某種假設(shè)是真實的 那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A 小概率事件 在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的 要是在一次試驗中A竟然發(fā)生了 就有理由懷疑該假設(shè)的真實性 拒絕這一假設(shè) 總體 某種假設(shè) 抽樣 樣本 觀察結(jié)果 檢驗 接受 拒絕 小概率事件未發(fā)生 小概率事件發(fā)生 8 1假設(shè)檢驗的基本問題 8 1 1假設(shè)問題的提出 讓我們看一個例子 例8 1 由統(tǒng)計資料得知 1989年某地新生兒平均體重為3190克 現(xiàn)從1990年新生兒中隨機抽取100個 測得其平均體重為3210克 問1990年的新生兒與1989年相比 體重有無顯著差異 問題 差異20克是隨機抽樣造成的還是本來就有顯著差異 用 0表示1989年新生兒的平均體重 表示1990年新生兒的平均體重 我們假設(shè) 0或 0 0 然后再來驗證我們的假設(shè)是否成立 假設(shè)檢驗的步驟提出原假設(shè)和備擇假設(shè)確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量規(guī)定顯著性水平 計算檢驗統(tǒng)計量的值并作出統(tǒng)計決策 提出原假設(shè)和備擇假設(shè) 什么是原假設(shè) NullHypothesis 1 待檢驗的假設(shè) 又稱 0假設(shè) 2 如果錯誤地作出決策會導致一系列后果3 總是有等號 或 4 表示為H0H0 某一數(shù)值指定為 號 或 例如 H0 3190 克 為什么叫0假設(shè) 什么是備擇假設(shè) AlternativeHypothesis 1 與原假設(shè)對立的假設(shè)2 總是有不等號 或 3 表示為H1H1 某一數(shù)值 或 某一數(shù)值例如 H1 3910 克 或 3910 克 提出原假設(shè)和備擇假設(shè) 什么檢驗統(tǒng)計量 1 用于假設(shè)檢驗問題的統(tǒng)計量2 選擇統(tǒng)計量的方法與參數(shù)估計相同 需考慮是大樣本還是小樣本總體方差已知還是未知檢驗統(tǒng)計量的基本形式為 確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量 規(guī)定顯著性水平 什么顯著性水平 1 是一個概率值2 原假設(shè)為真時 拒絕原假設(shè)的概率被稱為抽樣分布的拒絕域3 表示為 alpha 常用的 值有0 01 0 05 0 104 由研究者事先確定 作出統(tǒng)計決策 計算檢驗的統(tǒng)計量根據(jù)給定的顯著性水平 查表得出相應(yīng)的臨界值Z 或Z 2將檢驗統(tǒng)計量的值與 水平的臨界值進行比較得出接受或拒絕原假設(shè)的結(jié)論 假設(shè)檢驗中的小概率原理 假設(shè)檢驗中的小概率原理 什么小概率 1 在一次試驗中 一個幾乎不可能發(fā)生的事件發(fā)生的概率2 在一次試驗中小概率事件一旦發(fā)生 我們就有理由拒絕原假設(shè)3 小概率由研究者事先確定 假設(shè)檢驗中的兩類錯誤 決策風險 假設(shè)檢驗中的兩類錯誤 1 第一類錯誤 棄真錯誤 原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)會產(chǎn)生一系列后果第一類錯誤的概率為 被稱為顯著性水平2 第二類錯誤 取偽錯誤 原假設(shè)為假時接受原假設(shè)第二類錯誤的概率為 Beta H0 無罪 假設(shè)檢驗中的兩類錯誤 決策結(jié)果 假設(shè)檢驗就好像一場審判過程 統(tǒng)計檢驗過程 大 就小 小 就大 基本原則 力求在控制 前提下減少 顯著性水平 取值 0 1 0 05 0 01 等 如果犯I類錯誤損失更大 為減少損失 值取小 如果犯II類錯誤損失更大 值取大 雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗之比較 8 1 6單側(cè)檢驗在雙側(cè)檢驗中 只要 0或者 0二者之中有一個成立 就可以拒絕原假設(shè) 但在一些特殊情況下 我們關(guān)心的問題帶有方向性 如燈泡使用的壽命越大越好 次品率越小越好 在這種情況下只需要單側(cè)檢驗就能滿足要求 1 左單側(cè)檢驗 例8 2 某批發(fā)商欲從廠家購進一批燈泡 根據(jù)合同規(guī)定燈泡的使用壽命平均不能低于1000小時 已知燈泡燃燒壽命服從正態(tài)分布 標準差為200小時 在總體中隨機抽取了100個燈泡 得知樣本均值為960小時 批發(fā)商是否應(yīng)該購買這批燈泡 關(guān)心的問題是 1000小時所以H0 1000H1 1000這是一個左單側(cè)檢驗 2 右單側(cè)檢驗 例8 2 某種大量生產(chǎn)的袋裝食品 按規(guī)定重量不得少于250克 今從一批該種食品中隨機抽取50袋 發(fā)現(xiàn)有6袋重量低于250克 若規(guī)定不符合標準的比例達到5 食品就不得出廠 問該批食品能否出廠 我們希望不符合標準的比例越小越好 關(guān)心的問題是 5 所以H0 5 H1 5 這是一個右單側(cè)檢驗 雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗 假設(shè)的形式 雙側(cè)檢驗 原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定 雙側(cè)檢驗屬于決策中的假設(shè)檢驗 也就是說 不論是拒絕H0還是接受H0 我們都必需采取相應(yīng)的行動措施例如 某種零件的尺寸 要求其平均長度為10厘米 大于或小于10厘米均屬于不合格建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為H0 10H1 10 雙側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 雙側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 雙側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 單側(cè)檢驗 原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定 檢驗研究中的假設(shè)將所研究的假設(shè)作為備擇假設(shè)H1將認為研究結(jié)果是無效的說法或理論作為原假設(shè)H0 或者說 把希望 想要 證明的假設(shè)作為備擇假設(shè)先確立備擇假設(shè)H1 單側(cè)檢驗 原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定 例如 采用新技術(shù)生產(chǎn)后 將會使產(chǎn)品的使用壽命明顯延長到1500小時以上屬于研究中的假設(shè)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為H0 1500H1 1500例如 改進生產(chǎn)工藝后 會使產(chǎn)品的廢品率降低到2 以下屬于研究中的假設(shè)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為H0 2 H1 2 單側(cè)檢驗 原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定 檢驗某項聲明的有效性將所作出的說明 聲明 作為原假設(shè)對該說明的質(zhì)疑作為備擇假設(shè)先確立原假設(shè)H0除非我們有證據(jù)表明 聲明 無效 否則就應(yīng)認為該 聲明 是有效的 單側(cè)檢驗 原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定 例如 某燈泡制造商聲稱 該企業(yè)所生產(chǎn)的燈泡的平均使用壽命在1000小時以上除非樣本能提供證據(jù)表明使用壽命在1000小時以下 否則就應(yīng)認為廠商的聲稱是正確的建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為H0 1000H1 1000 單側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 左側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 左側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 右側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 右側(cè)檢驗 顯著性水平與拒絕域 8 1 5利用P值進行決策P決策能精確反映決策的風險度 P值就是原假設(shè)為真時所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率 如果P值很小 說明這種情況發(fā)生的概率很小 而如果出現(xiàn)了 根據(jù)小概率原理 我們就有理由拒絕假設(shè) P值越小 我們拒絕原假設(shè)的理由就越充分 在上面的例子中就是求出 假設(shè)總體均值為3190克 80時 樣本均值等于和大于3190克的概率P是多少 可求得P 0 01242 如果事先確定了顯著性水平為 0 05 則在雙側(cè)檢驗中 P 2 0 025時 不能拒絕原假設(shè) 反之 P 0 025時 則拒絕原假設(shè) 8 2一個總體參數(shù)的檢驗 8 2 1檢驗統(tǒng)計量的確定 Z統(tǒng)計量t統(tǒng)計量 常用于均值和比例的檢驗 統(tǒng)計量 方差的檢驗 1 樣本量由抽樣理論知 在大樣本條件下 如果總體為正態(tài)分布 樣本統(tǒng)計量服從正態(tài)分布 如果總體為非正態(tài)分布 樣本統(tǒng)計量漸近服從正態(tài)分布 所以在大樣本情況下 我們都可以把樣本統(tǒng)計量視為正態(tài)分布 可用Z統(tǒng)計量 當 未知時 用樣本標準差s代替 2 總體標準差 是否已知在小樣本情況下 如果總體方差已知 樣本統(tǒng)計量將服從正態(tài)分布 這時可以采用Z統(tǒng)計量 如果總體標準差未知 這時只能使用樣本標準差 樣本統(tǒng)計量服從t分布 應(yīng)采用t統(tǒng)計量 自由度為n 1 8 2 隨著n的增大 t分布向Z分布逼近 當樣本時n 30時 t分布已非常接近Z分布 所以 當n30的條件下 可以選擇Z分布 樣本量 Z統(tǒng)計量 總體標準差 Z統(tǒng)計量 t統(tǒng)計量 已知 未知 小 大 8 2 2總體均值的檢驗1 已知 例8 4 某機床廠加工一種零件 根據(jù)經(jīng)驗知道 該廠加工的零件的橢圓度漸近服從正態(tài)分布 其總體均值為0 081mm 總體標準差為0 025mm 今另換一種新機床進行加工 取200個零件進行檢驗 得到橢圓度均值為0 076mm 問新機床加工零件的橢圓度總體均值與以前有無明顯差別 解 原假設(shè)H0 0 081mm 新機床加工零件的橢圓度總體均值與以前無明顯差異 備擇假設(shè)H1 0 081mm由題意知 0 0 081mm 0 025mm 0 076mm n 200 因為 已知 且n較大 所以選Z統(tǒng)計量 我們?nèi)★@著性水平為 0 05 z 2 1 96 Z z 2 根據(jù)決策準則 拒絕H0 即新老機床加工零件橢圓度的均值有顯著差異 為顯著性水平 它的含義是當原假設(shè)正確時卻被拒絕的概率風險 也就是犯棄真錯誤的概率 這是根據(jù)檢驗的要求確定的 通常取小概率事件 0 05或者 0 01 它說明正確的概率為1 為95 或者99 用P值檢驗實際上P值就是1 P Z 2 83 1 2 2 83 1 2 2 2 83 2 1 2 83 P 2 1 NORMSDIST Z NORMSDIST Z NORMSDIST 2 83 0 997672537P 2 1 NORMSDIST Z 0 004654P遠遠小于 0 05 故拒絕H0 均值的單側(cè)Z檢驗 2已知 假定條件總體服從正態(tài)分布若不服從正態(tài)分布 可以用正態(tài)分布來近似 n 30 2 備擇假設(shè)有符號3 使用z 統(tǒng)計量 均值的單側(cè)Z檢驗 提出假設(shè) 左側(cè) H0 0H1 0 Z 0 拒絕H0 右側(cè) H0 0H1 0 Z 0 拒絕H0 均值的單側(cè)Z檢驗 實例 例 某批發(fā)商欲從生產(chǎn)廠家購進一批燈泡 根據(jù)合同規(guī)定 燈泡的使用壽命平均不能低于1000小時 已知燈泡使用壽命服從正態(tài)分布 標準差為200小時 在總體中隨機抽取100只燈泡 測得樣本均值為960小時 批發(fā)商是否應(yīng)該購買這批燈泡 0 05 均值的單側(cè)Z檢驗 計算結(jié)果 H0 1000H1 1000 0 05n 100臨界值 s 檢驗統(tǒng)計量 在 0 05的水平上拒絕H0 有證據(jù)表明這批燈泡的使用壽命低于1000小時 決策 結(jié)論 用P值檢驗因為是單側(cè)檢驗 所以P 1 Z 1 2 1 0 97725 0 02275顯然P 0 02275 0 05 故拒絕H0 如果取顯著性水平 0 02 就不能拒絕原假設(shè) 這說明 不能拒絕H0并不一定保證H0為真 只是在規(guī)定的顯著性水平上不能拒絕原假設(shè) 這個例子說明在95 置信水平上能拒絕原假設(shè) 卻不能在98 水平上拒絕原假設(shè) 均值的單側(cè)Z檢驗 實例 例 根據(jù)過去大量資料 某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布N 1020 1002 現(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16只 測得樣本平均壽命為1080小時 試在0 05的顯著性水平下判斷這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高 0 05 均值的單側(cè)Z檢驗 計算結(jié)果 H0 1020H1 1020 0 05n 16臨界值 s 檢驗統(tǒng)計量 在 0 05的水平上拒絕H0 有證據(jù)表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高 決策 結(jié)論 例8 6 某電子元件批量生產(chǎn)的質(zhì)量標準為平均使用壽命1200小時 某廠宣稱它們采用一種新工藝生產(chǎn)的元件質(zhì)量大大超過規(guī)定標準 為了進行驗證 隨機抽取了100件作為樣本 測得平均使用壽命1245小時 標準差300小時 能否說該廠的零件質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標準 解 原假設(shè)H0 1200 采用右單側(cè)檢驗 備擇假設(shè)H1 1200依題意 0 1200 1245 s 300 n 100 并取 0 05 這里 未知 且n較大 所以可休用Z統(tǒng)計量 右單側(cè)檢驗 z 1 645 由 Z z 所以不能拒絕H0 即不能說該廠產(chǎn)品質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標準 用P值檢驗P 1 1 5 1 0 9332 0 0668由于P 故不能拒絕H0 3 未知 小樣本 例8 7 某機器制造出的肥皂厚度為5cm 今欲了解機器性能是否良好 隨機抽取10塊肥皂為樣本 測得平均厚度為5 3cm 標準差為0 3cm 試以0 05的顯著性水平檢驗機器性能良好的假設(shè) 解 原假設(shè)H0 5H1 5 依題意 0 5 5 3 s 0 3 n 10 0 05 這里 未知 小樣本 所以用t統(tǒng)計量 t 2 10 1 2 2622 由t t 2 故拒絕H0 說明該機器性能并不好 用P值檢驗P TDIST 3 16 9 2 0 01155 0 025p 2 故拒絕H0 但如果是Z統(tǒng)計量 則P值為0 001578與t統(tǒng)計量差別較大 8 2 3總體比例的檢驗 設(shè)總體比例為 0 p為樣本比例 由二項分布的原理和漸近分布的理論可知 當n充分大時 的分布可用正態(tài)分布逼近 此時抽樣分布服從均值為 方差為的正態(tài)分布 8 3 n充分大的條件 一般地np 5同時n 1 p 5就可認為n充分大 例8 8 一項統(tǒng)計結(jié)果聲稱某市老年人口 年齡在65歲以上 所占的比例為14 7 該市老年人口研究會為了檢驗該項統(tǒng)計是否可靠 隨機抽取了400名居民 發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡在65歲以上 調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比例為14 7 的看法 0 05 解 H0 14 7 H1 14 7 依題意 p 57 400 14 25 由Z 2 1 96 知 Z Z 2 故不能拒絕H0 即調(diào)查結(jié)果支持了該市老年人口所占比例為14 7 的看法 8 2 4總體方差的檢驗設(shè)總體分布為N 2 根據(jù) 6 18 則樣本方差S2的分布為 8 4 卡方 2 檢驗實例 例 根據(jù)長期正常生產(chǎn)的資料可知 某廠所產(chǎn)維尼綸的纖度服從正態(tài)分布 其方差為0 0025 現(xiàn)從某日產(chǎn)品中隨機抽取20根 測得樣本方差為0 0042 試判斷該日纖度的波動與平日有無顯著差異 0 05 卡方 2 檢驗計算結(jié)果 H0 2 0 0025H1 2 0 0025 0 05df 20 1 19臨界值 s 統(tǒng)計量 在 0 05的水平上接受H0 有證據(jù)表明該日纖度的波動比平時沒有顯著差異 決策 結(jié)論 例8 9 某廠商生產(chǎn)出一種新的飲料瓶機器 按設(shè)計要求 該機器裝一瓶1000ml的飲料誤差上下不超過1ml 如果達到設(shè)計要求 表明機器的穩(wěn)定性能非常好 現(xiàn)從該機器裝完的產(chǎn)品中隨機抽取25瓶 分別進行測定 用樣本觀測值分別減1000ml 得到如表8 2所示的結(jié)果 試以 0 05的顯著性水平檢驗該機器的性能是否達到設(shè)計要求 解 這里采用雙側(cè)檢驗 如果樣本統(tǒng)計量 故不能拒絕H0 認為該機器的性能達到設(shè)計要求 8 3兩個總體參數(shù)的檢驗 8 3 1檢驗統(tǒng)計量的確定 兩個總體均值之差的檢驗 兩個總體比例之差的檢驗 兩個總體方差比的檢驗 兩個正態(tài)總體的檢驗 均值之差的檢驗 比例之差的檢驗 方差比的檢驗 2已知或 2未知大樣本 2未知小樣本 Z統(tǒng)計量 t統(tǒng)計量 Z統(tǒng)計量 F統(tǒng)計量 圖8 13檢驗統(tǒng)計量的確定 8 3 2兩個總體均值之差的檢驗 式中 1為總體1的均值 2為總體2的均值 8 5 8 10 有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產(chǎn)品 根據(jù)以往的資料得知 第一種方法生產(chǎn)出產(chǎn)品抗拉強度的標準差為8千克 第二種方法的標準差為10千克 從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽一個隨機樣本 樣本量分別為n1 32 n2 40 測得 50千克 44千克 問這兩種方法生產(chǎn)出來的產(chǎn)品平均抗拉強度是否有顯著差別 0 05 解 用雙側(cè)檢驗 H0 1 2 0H1 1 2 0依題意 由Z 2 1 96 知 Z Z 2 所以拒絕H0 即兩種方法生產(chǎn)出來的產(chǎn)品其抗拉強度有顯著差異 用S1和S2來加權(quán)平均出 的值 8 6 8 7 8 8 t的自由度為n1 n2 2 改變了自由度已不是 n1 n2 2 而是v 8 10 8 9 8 11 例8 11 盡管存在爭議 但大多數(shù)科學家認為 食用含有高纖維的谷類食物有助于降低癌癥發(fā)生的可能性 然而有一個科學家提出 如果人們在早餐中食用高纖維的谷類食物 那么平均而言 與早餐沒有食用谷物的人群相比 食用谷物者在午餐中攝取的熱量 大卡 將會減少 TorontoStar 1991 如果這個觀點成立 谷物食品的生產(chǎn)商又將獲得一個很好的機會 他們會宣傳說 多吃谷物吧 早上也吃 這樣將有助于減肥 為了驗證這個假設(shè) 隨機抽取了35人 詢問他們早餐和午餐的通常食譜 根據(jù)他們的食譜 將其分為兩類 一類為經(jīng)常的谷類食用者 總體1 一類為非經(jīng)常閱類食用者 總體2 然后測度每人午餐的大卡攝取量 經(jīng)過一段時間的實驗 得到的結(jié)果如表8 3所示 試以 0 05的顯著性水平檢驗 解 本例要檢驗的命題是 早餐食用較多的谷類食物有助于減少午餐中熱量的攝取 由于此命題是一個未被證實的命題 所以在單側(cè)檢驗中 原假設(shè)對此類命題應(yīng)持否定態(tài)度 故有 設(shè)總體1和總體2的熱量攝取量分別為 1 2H0 1 2 0H1 1 2 0 方差未知 且不相等 小樣本 由 t t 故拒絕H0 例題成立 8 3 3兩個總體比例之差的檢驗設(shè)兩個總體服從二項分布 這兩個總體中具有某種特征單位數(shù)的比例分別為 1和 2 但 1和 2未知 可以用樣本比例p1和p2代替 我樣需要考慮兩種情況 檢驗兩個總體比例相等和不相等 應(yīng)分別處理 1 檢驗兩個總體比例相等的假設(shè)H0 1 2 0 也就是 1 2 在構(gòu)造統(tǒng)計量Z時 如何估計 我們試圖用p代替 用它們的樣本量作為權(quán)數(shù)把p1 p2組合起p來 樣本平均比例 8 12 8 13 其中 例8 12 人們普遍認為麥當勞的主要消費群體是青少年 但對市場的進一步細分看法不同 一種觀點認為小學生更喜歡麥當勞 另一種觀點認為中學生對麥當勞的喜愛程度不亞于小學生 某市場調(diào)查咨詢公司對此在某地區(qū)進行了一項調(diào)查 隨機抽取了100名小學生和100名中學生 調(diào)查的問題是如果有麥當勞和其他中式快餐 如蘭州拉面 你會首選哪種作為經(jīng)常性午餐 調(diào)查結(jié)果如下 小學生 樣本1 100人中有76人把麥當勞作為首選的經(jīng)常性午餐 中學生 樣本2 100人中有69人作出同樣的選擇 調(diào)查結(jié)果支持哪種觀點 解 H0 1 2 0H1 1 2 0 若取 0 05作為顯著性水平 則 Z 1 11 Z 2 1 96故不能拒絕原假設(shè) 也就是說 在該地區(qū)小學生和中學生對麥當勞的偏