食堂擁擠問題數(shù)學(xué)建模.doc

2016年新鄉(xiāng)市高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了新鄉(xiāng)市高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其它公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。 我們參賽選擇的題號(hào)為（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為： 參賽組別（本科或?qū)？疲?本科 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?新鄉(xiāng)學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：姓名專業(yè)簽名1.數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2.數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3.數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 日期： 年 月 日2016年新鄉(xiāng)市高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽編 號(hào) 專 用 頁競賽評(píng)閱編號(hào)（由競賽評(píng)委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱記錄評(píng)閱人評(píng)分備注 裁剪線 裁剪線 裁剪線 競賽評(píng)閱編號(hào)（由競賽評(píng)委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：參賽隊(duì)伍的參賽號(hào)碼：（請(qǐng)各參賽隊(duì)提前填寫好）：A題 擁擠的食堂摘要本文根據(jù)題目要求研究我校第一食堂入口擁擠問題，通過5月15至5月20日5天用餐時(shí)間內(nèi)對(duì)我校食堂調(diào)查，通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析建立了以分析隊(duì)列長度的變化的概率統(tǒng)計(jì)分布模型，并且得到了初步的結(jié)果。（1） 對(duì)于問題一，通過連續(xù)5天同一時(shí)間同一地點(diǎn)得到了與實(shí)際情況大致相符的所需數(shù)據(jù)。（2） 對(duì)于問題二，根據(jù)問題一調(diào)查所得到的結(jié)果，對(duì)問題二進(jìn)行假設(shè)分析，建立以分析隊(duì)列長度的變化的概率統(tǒng)計(jì)分布模型。（3） 對(duì)于問題三，根據(jù)自己的親身經(jīng)歷和觀察，進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)查建立排隊(duì)理論模型，分析解決問題關(guān)鍵詞： 學(xué)生食堂 擁擠 排隊(duì)論 M/M/s模型一 問題重述在大學(xué)校園里，每到放學(xué)吃飯的時(shí)候，總是讓同學(xué)們進(jìn)食堂吃飯比較困難，因?yàn)檫M(jìn)門特別擁擠。這是一個(gè)多數(shù)大學(xué)都存在的問題，新鄉(xiāng)市各高校的食堂也是如此。請(qǐng)建模說明下列問題（請(qǐng)選自己學(xué)校一個(gè)典型餐廳為例，但在文中不要顯示具體學(xué)校和餐廳的名字）問題一：中午放學(xué)的時(shí)候，食堂門口來流人數(shù)達(dá)到每分鐘多少人時(shí)，會(huì)發(fā)生擁擠。問題二：如果把中午放學(xué)時(shí)，食堂對(duì)著教學(xué)區(qū)開的門適當(dāng)擴(kuò)大50%，對(duì)進(jìn)門擁擠能否有所改善。問題三：如果把食堂對(duì)著教學(xué)區(qū)的門口裝置上隔離欄（隔離欄：和風(fēng)景區(qū)進(jìn)門檢票、火車站排隊(duì)買票那種形式一樣，達(dá)到把人隔成單一人流的目的，起到強(qiáng)制排隊(duì)的作用），食堂門口來流人數(shù)達(dá)到每分鐘多少人時(shí)會(huì)發(fā)生擁擠。二 模型假設(shè)模型一假設(shè):1、由于在周六周日的食堂就餐人數(shù)比較少，對(duì)于擁擠情況至考慮周一至周三的情況，通過對(duì)課表的研究，可以假設(shè)每天的人數(shù)是固定的，有由于長期習(xí)慣作用的結(jié)果可以認(rèn)為到第一食堂就餐的人數(shù)是穩(wěn)定的。2、每個(gè)人到來的時(shí)刻、他們進(jìn)門的時(shí)間是相等且相互獨(dú)立的。3、不考慮進(jìn)入的人就餐后出門對(duì)擁擠程度的影響。4、每天食堂大門的開啟程度相同。5、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以5分鐘為一個(gè)單位。三 符號(hào)說明x: 時(shí)間段y1;時(shí)間段內(nèi)到達(dá)食堂的人數(shù)y2：時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入食堂的人數(shù)四 模型一的準(zhǔn)備表1 模型數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)周一12:00至13:00時(shí)間段123456789101112到達(dá)人數(shù)451251602152943132802001801058345進(jìn)入人數(shù)4512516021021822021521721418514789周二12:00至13:00到達(dá)人數(shù)601051541903013212672111701019352進(jìn)入人數(shù)60105154190212223215220210193143100周三12:00至13:00到達(dá)人數(shù)55150151240305326293189175948038進(jìn)入人數(shù)55150151208214221217215211186154114注：此數(shù)據(jù)來源于本組成員周一至周三于我校食堂門口調(diào)查所得表2 數(shù)據(jù)整理時(shí)間段123456789101112平均到達(dá)人數(shù)50 127 155 215 300 320 280 200 175 100 85 45 平均進(jìn)入人數(shù)50 127 155 203 215 221 216 217 212 188 148 101 五 模型的建立與求解1、繪制散點(diǎn)圖2、繪制擬合圖 注：到達(dá)人數(shù)擬合圖注：進(jìn)入人數(shù)擬合圖利用matlab多項(xiàng)式擬合得到時(shí)間和到達(dá)人數(shù)的二次多項(xiàng)式關(guān)系式利用matlab多項(xiàng)式擬合得到時(shí)間和進(jìn)入人數(shù)的二次多項(xiàng)式關(guān)系式問題一：由以上圖形和關(guān)系式對(duì)于問題求解： 將y1，y2的擬合圖進(jìn)行比較分析如下圖對(duì)于y2進(jìn)行一次求導(dǎo) 當(dāng)dy2=0時(shí)，求解得到x=6.8714，則由方程y1可知在（1,6.8714）上為增函數(shù)，在（6.8714,12）上為減函數(shù)。則y2的最大值約為229人，則每分鐘進(jìn)入人數(shù)約為46人，此時(shí)y1的值為261人，超過y2的最大值，即在此時(shí)食堂門口的情況為擁擠。由此可知我校食堂每分鐘到達(dá)人數(shù)超過46人時(shí)，門口開始擁擠。由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、假設(shè)以及數(shù)據(jù)整理分析可知，當(dāng)適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大食堂門時(shí)，可以改善食堂門口的擁擠情況。問題二：由問題一得數(shù)據(jù)及模型進(jìn)行分析，當(dāng)食堂門口擴(kuò)大50%時(shí)，在問題一求解所得到的時(shí)間段內(nèi)，對(duì)問題二進(jìn)行求解，在該時(shí)間段所進(jìn)入的人數(shù)為y(6.8714)=（1+50%）*y2=343人，大于這時(shí)到達(dá)的人數(shù)261人，不會(huì)發(fā)生擁擠，情況得到改善。模型二假設(shè)1、由于在周六周日的食堂就餐人數(shù)比較少，對(duì)于擁擠情況至考慮周一至周三的情況，通過對(duì)課表的研究，可以假設(shè)每天的人數(shù)是固定的，有由于長期習(xí)慣作用的結(jié)果可以認(rèn)為到第一食堂就餐的人數(shù)是穩(wěn)定的。2、每個(gè)人到達(dá)時(shí)間間隔隨即，服從負(fù)指數(shù)分布。3、不考慮進(jìn)入的人就餐后出門對(duì)擁擠程度的影響。4、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以10秒鐘為一個(gè)單位。5、排隊(duì)遵循先到先進(jìn)原則。6、每個(gè)欄桿口對(duì)學(xué)生來說都一樣，且以并聯(lián)方式連接，學(xué)生進(jìn)入時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。符號(hào)說明: 學(xué)生到達(dá)強(qiáng)度: 欄桿容許進(jìn)入的能力t: 學(xué)生平均進(jìn)入時(shí)間p0: 空閑概率