一道例題看看數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì).doc

從一道例題談數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)【摘要】：探究性學(xué)習(xí)給中學(xué)數(shù)學(xué)課堂帶來勃勃的生機(jī)和活力，教師由過去的主宰者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。課堂教學(xué)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的主陣地，因此，教師的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是能否激發(fā)學(xué)生探究興趣、能否有效拓展學(xué)生思維發(fā)展空間和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)的關(guān)鍵，同時(shí)也是對教師的教學(xué)觀念和教學(xué)能力的挑戰(zhàn)。 【關(guān)鍵詞】： 探究性學(xué)習(xí)；教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！毙抡n程提倡教師在課堂教學(xué)中著力構(gòu)建探究平臺，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能。課堂教學(xué)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的主陣地，因此，教師的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是能否激發(fā)學(xué)生探究興趣，能否有效拓展學(xué)生思維發(fā)展空間和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)的關(guān)鍵。所謂數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是指“學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活的情境中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動(dòng)手操作、表達(dá)與交流等探究性活動(dòng)，獲得知識、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程?！比绾卧诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)？如何落實(shí)新課程理念下的教學(xué)目標(biāo)？本文試圖通過自己的課堂實(shí)例，呈現(xiàn)與探究性學(xué)習(xí)理論相結(jié)合的探究性學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。例題：兩個(gè)邊長為a，面積為S的全等的正n邊形疊合，當(dāng)疊合部分的中心角度數(shù)為時(shí)，正n邊形的邊被重合部分的總長度為多少？正n邊形被重合部分的面積為多少？本題沒有提供圖形，重合部分比較抽象，而且中心角概念模糊，學(xué)生感到難以人手。如何激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓他們自己來參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)呢？為此，我進(jìn)行以下的教學(xué)設(shè)計(jì)：1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究興趣實(shí)踐與探究題：如圖1，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，那么無論正方形繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的，想一想這是為什么。（人教版數(shù)學(xué)八年級下冊105頁“實(shí)踐與探究”“巧拼正方形”第1題）圖1在這里，我利用了課本后面一道與例題有著內(nèi)在聯(lián)系的探究題，在幾何畫板中用鼠標(biāo)拖動(dòng)相關(guān)關(guān)鍵點(diǎn)，結(jié)合“計(jì)算工具 演示：重合部分的面積始終是一個(gè)固定的值。激起學(xué)生疑問：重合部分的位置在不斷變化，為什么重合部分的面積卻始終不變呢？這個(gè)固定的值是多少呢？如何來證明呢？學(xué)生這時(shí)處于一種復(fù)雜的心理狀態(tài)，一方面學(xué)生非常想解決這個(gè)問題，很想說出為什么，另一方面又無法立即解決，因?yàn)檎J(rèn)知水平不夠，這種心理不平衡性激發(fā)了學(xué)生探究問題的興趣和熱情，從而產(chǎn)生了強(qiáng)烈的求知欲。2.動(dòng)手探索，引導(dǎo)深入探究2.1引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖形，解決問題并引申結(jié)論（1) 如圖1，一個(gè)正方形經(jīng)過另一個(gè)正方形的中心，疊合的中心角為多少度？（2）你認(rèn)為AE和BF、OE和OF、AOE和BOF分別有何關(guān)系？（AE=BF，OE=OF，AOEBOF）（3）與有何關(guān)系？（相等）（4）正方形的邊被另一個(gè)正方形重合部分的總長度BE+BF為多少？（定值為：正方形的邊長）（5）重合部分的面積為多少？（定值為：原正方形面積的四分之一）結(jié)論引申：正方形的邊被另一個(gè)正方形重合部分的總長度為正方形的邊長，重合部分的面積為正方形面積的四分之一。2.2變式嘗試，從特例入手，類比探究（1）如圖2：設(shè)O是邊長為1的正方形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，你能發(fā)現(xiàn)什么呢？（仍可得到上述結(jié)論）圖2圖3圖4（2）如圖3：設(shè)O是邊長為a，面積為S的正三角形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為120的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，你能發(fā)現(xiàn)什么新結(jié)論呢？（正三角形的邊被重合部分的總長度為a？正三角形被重合部分的面積為）（3）如圖4：設(shè)O是邊長為a，面積為S的正五邊形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為72的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，大家能發(fā)現(xiàn)什么新結(jié)論呢？（正五邊形的邊被重合部分的總長度為a，正五邊形被重合部分的面積為）2.3縱向探究，揭示普遍規(guī)律（1）根據(jù)以上正三角形、正方形、正五邊形的探究過程，請作出合理猜想。從特殊到一般地推廣： 將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a，面積為S的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓心角為，正n邊形的邊被重合部分的總長度為定值a，正n邊形被重合部分的面積為定值。（2）半徑足夠長，圓心角為的扇形與正n邊形內(nèi)角度數(shù)有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？若把“半徑足夠長，圓心角為的扇形”改為與之全等的正n邊形，那么大家能得到什么結(jié)論？類比遷移，可得到如下推廣結(jié)論：兩個(gè)邊長為a，面積為S的全等的正n邊形疊合，當(dāng)疊合部分中心角度數(shù)為時(shí)，正n邊形的邊被重合部分的總長度為a，正n邊形被重合部分的面積為。該教學(xué)過程設(shè)計(jì)結(jié)合了新課程標(biāo)準(zhǔn)中的探究性學(xué)習(xí)理論，涉及了變更問題、類比聯(lián)想、嘗試猜想、總結(jié)歸納等教學(xué)環(huán)節(jié)，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，為學(xué)生構(gòu)建探究平臺，鼓勵(lì)學(xué)生自主動(dòng)手、動(dòng)腦實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，從特殊到一般進(jìn)行探索歸納，有效拓展了學(xué)生思維發(fā)展空間，還培養(yǎng)了學(xué)生鍥而不舍的學(xué)習(xí)精神和提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)。3.合作交流，促進(jìn)優(yōu)勢互補(bǔ)3.1以四人為小組，進(jìn)行組內(nèi)合作，充分發(fā)表己見，形成小組集體意見3.2進(jìn)行組際交流，交流猜想結(jié)論、交流驗(yàn)證方法等3.3學(xué)生概括兩個(gè)正n邊形被重合部分的一般規(guī)律這里，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)容易激疑的問題情境，給學(xué)生思維以方向和動(dòng)力；幾個(gè)由淺人深的問題引起學(xué)生深入的思考，并且能促使學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題，作出思考，提出猜想，進(jìn)行歸納”等探究性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并教給學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的方法。這樣設(shè)計(jì)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，是為了更有利于學(xué)生主體性的發(fā)揮。在探究活動(dòng)中共同協(xié)作，互相學(xué)習(xí)，各盡其才，促進(jìn)了學(xué)生在語言表達(dá)能力、思維品質(zhì)、人格特征以及解題方法等方面的優(yōu)勢互補(bǔ)，使學(xué)生興趣盎然地投人探究新知的學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分體驗(yàn)合作交流的樂趣。4.反思小結(jié)，提煉數(shù)學(xué)思想荷蘭當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！痹谔骄繉W(xué)習(xí)中，學(xué)生通過自己的艱苦探索，探究出豐富多彩但有些雜亂無章的結(jié)果。這些結(jié)果雖然凝結(jié)了學(xué)生探究的辛苦，但卻有對有錯(cuò)，因此，在探究學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與小結(jié)。對于正確的、合乎邏輯的結(jié)果予以充分的肯定，并及時(shí)提煉上升到數(shù)學(xué)思想的高度，要讓學(xué)生始終對自己充滿信心，引導(dǎo)學(xué)生反思，為此，我和學(xué)生一起從以下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：(1)在問題的解決過程中，我們是怎樣人手的？我們?yōu)槭裁匆獜倪@里人手？（從正三角形、正方形、正五邊形等正n邊形入手的）(2)在證明過程中我們主要運(yùn)用了哪些方法？（證三角形全等和面積轉(zhuǎn)移法）(3)本題可以概括出怎樣的一般性的結(jié)論？（兩個(gè)邊長為a，面積為S的全等的正n邊形疊合，當(dāng)疊合部分的中心角度數(shù)為時(shí)，正n邊形的邊被重合部分的總長度為a，正n邊形被重合部分的面積為。）(4)在探究中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（化歸思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般的思想等。）5.課外延伸，深化學(xué)生探究應(yīng)用以上解題的方法和結(jié)論，嘗試解決下列問題：1.(2006年晉江市中考題)如圖5，將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)、分別是正方形的中心，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為（ ）（）A1A2A3A4圖5A B C D 設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合近幾年的中考命題熱點(diǎn)，反思并鞏固圖1的結(jié)論，題目由一個(gè)正方形增加到n個(gè)正方形進(jìn)行變式訓(xùn)練，注意n個(gè)正方形含有（n-1）個(gè)重合部分，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、變通性和嚴(yán)謹(jǐn)性。2.(2007年山東臨沂市中考題)如圖6，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一塊含30角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。(1)在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖7的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖8的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。AAABBBCCCDDDNNNEEFEFFMMM圖6圖7圖8評析：(1)連接BD，證明BMDCND。四邊形DMBN的面積在旋轉(zhuǎn)過程中恒等于ABC的二分之一，即。(2) 、(3) DMDN仍然成立。設(shè)計(jì)意圖：這道試題在“實(shí)踐與探究題”的基礎(chǔ)上，由正方形變?yōu)槿切?，增加了旋轉(zhuǎn)的角度，設(shè)置新的問題。圖形位置變化了，并沒有改變原問題中隱含的數(shù)量關(guān)系，特別是在觀察圖8時(shí)，我們應(yīng)該有敏銳的洞察力，要從表象中看出問題的實(shí)質(zhì)：這與圖6給出的信息完全一樣。 一題多變，設(shè)計(jì)新題，繼續(xù)拓展：(續(xù)上題)(4) 在上述旋轉(zhuǎn)過程中，連接MN，設(shè)CN=，DMN的面積為，求當(dāng)旋轉(zhuǎn)角(090)與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； (5)當(dāng)三角板DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到DE與AB垂直時(shí)(如圖9)，易證：BM+BN=BD。當(dāng)三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE與AB不垂直時(shí)，在圖10、圖11這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段BM、BN、BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明ABCDNEEFM圖9圖11BCDNFM圖10AEBCDNMAF評析： (4)AB=BC=1, CN=， BN=,BM=.由 得（因?yàn)?90，所以01）(5)圖10結(jié)論：BM+BN=BD 證明：過D分別作BA、BC的垂線，垂足分別為P、QDPMDQN,MP=NQ，BP=BM+MP，BQ=BN-NQ 又BP+BQ=BD，即 BM+MP + BN-NQ =BDBM+BN=BD 圖11結(jié)論： BN-BM=BD設(shè)計(jì)意圖：一題多變，圍繞同一圖形，從不同角度，或變換旋轉(zhuǎn)角度，或結(jié)合其它知識點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，有利于學(xué)生更扎實(shí)的掌握知識結(jié)論。(5)本題圖形運(yùn)動(dòng)的位置發(fā)生改變，得到的結(jié)論也隨之發(fā)生變化。那么在解決該問題時(shí)要把握問題的本質(zhì)，在圖形變化中尋求不變量，在運(yùn)動(dòng)過程中把握不變的規(guī)律和結(jié)論，通過類比思維，由已有的結(jié)論猜想出相關(guān)的結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。學(xué)生經(jīng)過自己的主動(dòng)探索、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了重要的結(jié)論，這是對學(xué)生主動(dòng)參與精神的激勵(lì)，能使學(xué)生體驗(yàn)到主動(dòng)探究成功后的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和信心。經(jīng)過組內(nèi)和組際的交流，能使學(xué)生各自得到不同的收獲，同時(shí)能使學(xué)生感悟到“面對新問題，聯(lián)想舊知識，尋找新舊知識之間的關(guān)系，揭示知識規(guī)律，獲取新知”的探究方法和策略，使他們更自覺更主動(dòng)地投入到探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。實(shí)施數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)方式改革的