MATLAB中的插值運(yùn)算.doc

MATLAB中的插值運(yùn)算 在數(shù)學(xué)中，有時(shí)需要查表，如對(duì)數(shù)表。在具體查表時(shí)，需要的數(shù)據(jù)表中可能沒(méi)有，這時(shí)一般可以先找出它相鄰的數(shù)，再?gòu)谋碇胁槌銎湎鄳?yīng)結(jié)果，然后按一定的關(guān)系把這些相鄰的數(shù)以及它相應(yīng)的結(jié)果加以修正，就可求出要查數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)果的近似值，這個(gè)修正關(guān)系就是一種插值。在實(shí)踐中，常常需要測(cè)量某些數(shù)據(jù)，但由于客觀條件的限制，所測(cè)得的數(shù)據(jù)可能不夠細(xì)密，滿足不了實(shí)踐的需要，這時(shí)便可以通過(guò)插值方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加密處理。此外，對(duì)于給定的離散數(shù)據(jù)對(duì)，如果要找一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述其對(duì)應(yīng)關(guān)系，常常也需要插值。與插值有關(guān)的MATLAB 函數(shù) (一) POLY2SYM 函數(shù) 主要功能：把多項(xiàng)式的系數(shù)向量轉(zhuǎn)換為符號(hào)多項(xiàng)式。調(diào)用格式一：poly2sym (C) 調(diào)用格式二：f1=poly2sym(C,V) 或 f2=poly2sym(C, sym (V) ), (二) POLYVAL 函數(shù) 主要功能：估計(jì)多項(xiàng)式的值。調(diào)用格式：Y = polyval(P,X) (三) POLY 函數(shù) 主要功能：把根轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的系數(shù)向量。調(diào)用格式：Y = poly (V)(四) CONV 函數(shù) 主要功能：計(jì)算卷積和多項(xiàng)式的和。調(diào)用格式：C =conv (A, B) (五) DECONV 函數(shù) 主要功能：計(jì)算逆卷積和多項(xiàng)式的除法、商和余式。調(diào)用格式：Q,R =deconv (B,A) (六) roots(poly(1:n)命令 調(diào)用格式：roots(poly(1:n) (七) det(a*eye(size (A) - A)命令 調(diào)用格式：b=det(a*eye(size (A) - A)1.Lagrange插值方法介紹 對(duì)給定的n個(gè)插值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 ，利用n次Lagrange插值多項(xiàng)式，則對(duì)插值區(qū)間內(nèi)任意x的函數(shù)值y可通過(guò)下式求的： MATLAB中沒(méi)有直接實(shí)現(xiàn)拉格朗日算法的函數(shù)所以需建立M 文件：function y=lagrange (a,b,x) y=0; for i=1:length(a) l=1; for j=1:length(b) if j=i l=l; else l=l.*(x-a(j)/(a(i)-a(j); end end y=y+l*b(i); end算例：給出f(x)=ln(x)的數(shù)值表，用Lagrange計(jì)算ln(0.54)的近似值。 x=0.4:0.1:0.8; y=-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144; lagrange(x,y,0.54)ans = -0.6161優(yōu)缺點(diǎn)： 拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計(jì)算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個(gè)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就需要全部重新計(jì)算，于是整個(gè)公式都會(huì)變化，非常繁瑣。這時(shí)可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來(lái)代替。此外，當(dāng)插值點(diǎn)比較多的時(shí)候，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能會(huì)很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說(shuō)盡管在已知的幾個(gè)點(diǎn)取到給定的數(shù)值，但在附近卻會(huì)和“實(shí)際上”的值之間有很大的偏差。這類現(xiàn)象也被稱為龍格現(xiàn)象，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項(xiàng)式。2、Runge現(xiàn)象和分段插值問(wèn)題的提出：根據(jù)區(qū)間a,b上給出的節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式p(x)的近似值，一般總認(rèn)為p(x)的次數(shù)越高則逼近f(x)的精度就越好，但事實(shí)并非如此。反例： 在區(qū)間-5,5上的各階導(dǎo)數(shù)存在，但在此區(qū)間上取n個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的Lagrange插值多項(xiàng)式在全區(qū)間內(nèi)并非都收斂。 取n=10,用Lagrange插值法進(jìn)行插值計(jì)算。 x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2);%繪制圖形 plot(x0,y0,-r)%插值曲線 hold on plot(x0,y1,-b)%原曲線 為解決Rung問(wèn)題，引入分段插值。算法分析：所謂分段插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線或低次曲線連接起來(lái)逼近原曲線。MATLAB實(shí)現(xiàn)： 可調(diào)用內(nèi)部函數(shù)。命令 ：interp1功能 ： 一維數(shù)據(jù)插值（表格查找）。該命令對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間計(jì)算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點(diǎn)的數(shù)值。其中函數(shù)f(x)由所給數(shù)據(jù)決定。格式：yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法計(jì)算插值： nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算； spline：三次樣條函數(shù)插值。 cubic： 分段三次Hermite插值。例題：對(duì) 進(jìn)行Lagrange插值 x0=-1+2*0:10/10; y0=1./(1+25*x0.2); x=-1:.01:1; y=lagrange(x0,y0,x); % Lagrange 插值 ya=1./(1+25*x.2);