音樂中的數(shù)學(xué).doc

音樂中的數(shù)學(xué)摘要：數(shù)學(xué)和音樂用不同的方式描述世界，存在著密切的關(guān)系，音樂的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)。本文首先分析了音樂與數(shù)學(xué)發(fā)展的簡(jiǎn)史，然后著重從樂譜、律學(xué)和樂曲三個(gè)方面與數(shù)學(xué)的關(guān)系進(jìn)行分析，證明了數(shù)學(xué)對(duì)音樂發(fā)展的巨大作用。關(guān)鍵詞：音樂；數(shù)學(xué)；律學(xué)引言人們對(duì)數(shù)學(xué)與音樂之間聯(lián)系的研究和認(rèn)識(shí)可以說源遠(yuǎn)流長。這最早可以追溯到公元前六世紀(jì)，當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用比率將數(shù)學(xué)與音樂聯(lián)系起來。他們不僅認(rèn)識(shí)到所撥琴弦產(chǎn)生的聲音與琴弦的長度有著密切的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)之間的關(guān)系，而且還發(fā)現(xiàn)諧聲是由長度成整數(shù)比的同樣繃緊的弦發(fā)出的。于是，畢達(dá)哥拉斯音階(the Pythagorean Scale)和調(diào)音理論誕生了，而且在西方音樂界占據(jù)了統(tǒng)治地位。雖然托勒密(CPtolemy，約100-165年)對(duì)畢達(dá)哥拉斯音階的缺點(diǎn)進(jìn)行了改造，得出了較為理想的純律音階(the Just Scale)及相應(yīng)的調(diào)音理論，但是畢達(dá)哥拉斯音階和調(diào)音理論的這種統(tǒng)治地位直到十二平均律音階(the tempered Scale)及相應(yīng)的調(diào)音理論出現(xiàn)才被徹底動(dòng)搖。在我國，最早產(chǎn)生的完備的律學(xué)理論是三分損益律，時(shí)間大約在春秋中期，管子地員篇和呂氏春秋音律篇中分別有述；明代朱載埔(15361610)在其音樂著作律學(xué)新說對(duì)十二平均律的計(jì)算方法作了概述，在律呂精義內(nèi)篇中對(duì)十二平均律理論作了論述，并把十二平均律計(jì)算的十分精確，與當(dāng)今的十二平均律完全相同，這在世界上屬于首次。由此可見，在古代，音樂的發(fā)展就與數(shù)學(xué)緊密地聯(lián)系在了一起。從那時(shí)起到現(xiàn)在，隨著數(shù)學(xué)和音樂的不斷發(fā)展，人們對(duì)它們之間關(guān)系的理解和認(rèn)識(shí)也在不斷地加深?，F(xiàn)代音樂與數(shù)學(xué)更是有著密不可分的關(guān)系，從音樂理論到具體的簡(jiǎn)譜書寫，從音樂創(chuàng)作到音樂演奏，數(shù)學(xué)都扮演了不可或缺的角色。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用給音樂的發(fā)展提供了強(qiáng)勁的動(dòng)力，并將不斷促進(jìn)音樂的進(jìn)步。一樂譜的書寫樂譜的書寫離不開數(shù)學(xué)，樂譜是表現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)音樂的影響的一個(gè)顯著的領(lǐng)域。首先，所有的樂符都是借用了數(shù)學(xué)中的阿拉伯?dāng)?shù)字。1、2、3、4、5、6、7、8這8個(gè)數(shù)字根據(jù)不同的方式結(jié)合在一起就形成了現(xiàn)在無數(shù)種令人悅耳的聲音。這不得不說是樂符和數(shù)字巧妙地結(jié)合。并且我們還可以發(fā)現(xiàn)1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的。其次，在樂稿上，我們看到速度、節(jié)拍（44拍、34拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等。書寫樂譜時(shí)確定每小節(jié)內(nèi)的某分音符數(shù)，與求公分母的過程相似不同長度的音符必須與某一節(jié)拍所規(guī)定的小節(jié)相適應(yīng)。作曲家創(chuàng)作的音樂是在書寫出的樂譜的嚴(yán)密結(jié)構(gòu)中非常美麗而又毫不費(fèi)力地融為一體的。如果將一件完成了的作品加以分析，可見每一小節(jié)都使用不同長度的音符構(gòu)成規(guī)定的拍數(shù)。二律學(xué)中的數(shù)學(xué)樂音體系中各音的絕對(duì)準(zhǔn)確高度及其相互關(guān)系叫做音律。律學(xué)曾一度被學(xué)術(shù)界稱為絕學(xué)，它是音樂聲學(xué)、數(shù)學(xué)和音樂學(xué)相互滲透的一門交叉學(xué)科。古今中外，律制包括三分損益律、新律、純律、十二平均律等，目前被世界各國所廣泛采用的是“十二平均律”。生律的方法有三種：古代是通過發(fā)音體的長度比例關(guān)系來計(jì)算的；近代是通過音程的頻率比來計(jì)算；現(xiàn)代是由音高的音程值來計(jì)算。無論使用哪種方法，都與數(shù)學(xué)知識(shí)分不開，因此，隋書律歷志有“數(shù)因律起，律以數(shù)成”的說法。下面主要談?wù)剣@長度比例的三分損益律和十二平均律與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。1三分損益律學(xué)過弦樂器的人都知道，弦樂器的發(fā)聲是因?yàn)榍傧业恼駝?dòng)，而音高，也就是振動(dòng)的頻率，是與琴弦的長度成反比的。春秋中期，管子地員篇和呂氏春秋音律篇分別記述其計(jì)算的基本原則：以一條弦長為基數(shù)，將其均分成三段，舍一取二，三分損一，便發(fā)出第一個(gè)上五4度音；如果將其均分的三段再加一段，三分益一，便發(fā)出第一個(gè)下五4度音，用這種方法繼續(xù)推算下去，可得“十二律”。用星海音樂學(xué)院前院長趙宋光的話說，就是掐死一條弦的三分之一 ，剩下其余的三分之二振動(dòng)，奏出的音比空弦音高純五度；掐死一條弦的四分之一 ，剩下其余四分之三振動(dòng)，奏出的音比空弦音高純四度。這說明長度比例2：3和4：3分別標(biāo)志著純五度和純四度。2十二平均律十二平均律是各相鄰律(即半音)之間其頻率比都相均等的一種律制，朱載墑的算法是將2開十二次方得到的弦長倍數(shù)，即“頻率倍數(shù)”，把這個(gè)數(shù)連續(xù)自乘十二次，就分別產(chǎn)生十二平均律各律的頻率倍數(shù)，而乘到第十二次，就達(dá)到2(八度)，即黃鐘還原了。朱載培將十二平均律轉(zhuǎn)化成了一個(gè)等比數(shù)列求公比的數(shù)學(xué)問題，徹底解決了我國律學(xué)史上長期不能解決的黃鐘還原的難題。朱載靖的用等比數(shù)列推算十二平均律的具體算做法是：將八度分為12個(gè)律，并使12個(gè)律構(gòu)成以1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，精確地計(jì)算出“十二平均律”的每一個(gè)音，將十二個(gè)數(shù)目算到25位小數(shù)：貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中有兩個(gè)中心思想：即公理化和機(jī)械化思想。兩者分屬古希臘為代表的西方數(shù)學(xué)和以中國為代表的東方數(shù)學(xué)，它們交輝相映，各有利弊和側(cè)重，近代數(shù)學(xué)就是在二者的合流交匯碰撞中產(chǎn)生的。朱載培首先發(fā)現(xiàn)“十二平均律”，就是得益于在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械化算法特征。朱載靖用算盤完成了他在科學(xué)研究中包括開高次方在內(nèi)的大量復(fù)雜計(jì)算，而且獨(dú)創(chuàng)了極為巧妙、簡(jiǎn)捷的使用在算盤上的算法：如串聯(lián)、并聯(lián)等。十二平均律的發(fā)明和推廣在音樂史上有著重大意義，有了這個(gè)新的音律，從一個(gè)音彈出的旋律可以復(fù)制到任何一個(gè)其它的音高上，而對(duì)旋律不產(chǎn)生影響，同時(shí)，所有樂器也都可以在一個(gè)音律標(biāo)準(zhǔn)下制造，打破了古樂器“單打獨(dú)奏”的局面，產(chǎn)生了規(guī)模龐大、分工精細(xì)的交響樂隊(duì)。十二平均律成為了音樂最基本的標(biāo)準(zhǔn)。三樂曲中的數(shù)學(xué)函數(shù)如果我們把五線譜中的一條適當(dāng)?shù)臋M線作為時(shí)間軸(橫軸算)，與時(shí)間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸Y)，那么我們就在五線譜中建立了時(shí)間-音高的平面直角坐標(biāo)系。于是，圖1中一系列的反復(fù)或者平移，就可以用函數(shù)，近似地表示出來，如圖5所示，其中X是時(shí)間，Y是音高。當(dāng)然我們也可以在時(shí)間-音高的平面直角坐標(biāo)系中用函數(shù)把圖2中的兩個(gè)音節(jié)近似地表示出來。在這里我們需要提及十九世紀(jì)的音一位著名的數(shù)學(xué)家，他就是約瑟夫傅里葉(Joseph Fourier)，正是他的努力使人們對(duì)樂聲性質(zhì)的認(rèn)識(shí)達(dá)到了頂峰。他證明了所有的樂聲，不管是器樂還是聲樂，都可以用數(shù)學(xué)式來表達(dá)和描述，而且證明了這些數(shù)學(xué)式是簡(jiǎn)單的周期正弦函數(shù)。音樂中不僅僅只出現(xiàn)平移變換，可能會(huì)出現(xiàn)其他的變換及其組合，比如反射變換等等。如果我們?nèi)詮臄?shù)學(xué)的角度來考慮，把這些音符放進(jìn)坐標(biāo)系中，那么它在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)就是我們常見的反射變換。同樣我們也可以在時(shí)間-音高直角坐標(biāo)系中把這兩個(gè)音節(jié)用函數(shù)近似地表示出來。圖1 五線譜中的直角坐標(biāo)系圖2 時(shí)間-音高的平面直角坐標(biāo)系同樣，利用數(shù)學(xué)函數(shù)也可以產(chǎn)生旋律優(yōu)美的樂曲。由一段三角函數(shù)圖像出發(fā)，我們只要對(duì)它進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄?，形成適當(dāng)?shù)男」?jié)，并在曲線上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)作為音符的位置所在，那么就可以做出一節(jié)節(jié)的樂曲。由此可見，我們不僅能像匈牙利作曲家貝拉巴托克那樣利用黃金分割來作曲，而且也可以從純粹的函數(shù)圖像出發(fā)來作曲。這正是數(shù)學(xué)家約瑟夫傅里葉的后繼工作，也是其工作的逆過程。其中最典型的代表人物就是20世紀(jì)20年代的哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)和音樂教授約瑟夫希林格(Joseph SchiUinger)，他曾經(jīng)把紐約時(shí)報(bào)的一條起伏不定的商務(wù)曲線描述在坐標(biāo)紙上，然后把這條曲線的各個(gè)基本段按照適當(dāng)?shù)?、和諧的比例和間隔轉(zhuǎn)變?yōu)闃非?，最后在樂器上進(jìn)行演奏，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這竟然是一首曲調(diào)優(yōu)美、與巴赫的音樂作品極為相似的樂曲。除了上述數(shù)學(xué)與樂譜的明顯聯(lián)系外，音樂還與比例、指數(shù)、曲線、周期函數(shù)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)等相關(guān)聯(lián)畢達(dá)哥拉斯的追隨者們(公元前585400)最先用比例把音樂和數(shù)學(xué)結(jié)合起來他們發(fā)現(xiàn)在樂聲的協(xié)調(diào)與所認(rèn)識(shí)的整數(shù)之間有著密切的關(guān)系，撥動(dòng)一根弦發(fā)出的聲音依賴于弦的長度他們還發(fā)現(xiàn)協(xié)和音是由長度與原弦長的比為整數(shù)比的繃緊的弦給出事實(shí)上被撥動(dòng)弦的每一種和諧的結(jié)合，都能表示為整數(shù)比由增大成整數(shù)比的弦的長度，能夠產(chǎn)生全部的音階。音樂的器械，無論是弦樂還是管樂，在它們的結(jié)構(gòu)中都反映出指數(shù)曲線的形對(duì)樂聲本質(zhì)的研究，在19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家傅立葉的著作中達(dá)到了頂峰他證明了所有的樂聲不管是器樂還是聲樂都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些簡(jiǎn)單的正弦周期函數(shù)的和每種聲音都有三種品質(zhì)：音調(diào)、音量和音色，并以此與其他的樂聲相區(qū)別傅立葉的發(fā)現(xiàn)，使人們可以將聲音的三種品質(zhì)通過圖解加以描述并區(qū)分音調(diào)與曲線的頻率有關(guān)，音量與曲線的振幅有關(guān)，而音色則與周期函數(shù)的形狀有關(guān)。很少有人既通曉數(shù)學(xué)又通曉音樂，這使得把計(jì)算機(jī)用于合成音樂及樂器設(shè)計(jì)等方面難于成功數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，即周期函數(shù)，是現(xiàn)代樂器設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)音響設(shè)計(jì)的精髓許多樂器的制造都是把它們產(chǎn)生的聲音的圖象，與這些樂器理想聲音的圖象相比較然后加以改進(jìn)的電子音樂的忠實(shí)再生也是跟周期圖象緊密聯(lián)系著的音樂家和數(shù)學(xué)家們將在音樂的產(chǎn)生和再生方面，繼續(xù)擔(dān)任著同等重要的角色 小結(jié)數(shù)學(xué)與音樂是人類精神中兩種最偉大的產(chǎn)品，是兩個(gè)金碧輝煌的世界；數(shù)學(xué)僅用十幾個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和若干個(gè)符號(hào)就造出了一個(gè)無限的、真的世界，音樂只用五條線和一些像蝌蚪的音符就造出了一個(gè)無限美的世界。實(shí)際上每個(gè)學(xué)科領(lǐng)域不是孤