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單粒子軌道理論單粒子軌道理論是指將等離子體中的帶電粒子獨(dú)立的處理，忽略它們之間的相互作用，只考慮電磁場對單個帶電粒子的作用，不考慮帶電粒子運(yùn)動引起的電磁場變化。1 均勻磁場中的帶電粒子的回旋運(yùn)動在處于恒定磁場的空間中，帶電粒子的運(yùn)動方程是取為方向，寫成分量形式：這里稱為回旋頻率。記，將式乘以與式相加，得到其解為其中，積分常數(shù)是復(fù)數(shù)，可寫為模和輻角的形式。對式分別取實(shí)部和虛部，得到均為積分常數(shù)，因此，帶電粒子的運(yùn)動是圍繞磁場作以為角頻率的回旋運(yùn)動，也稱為Larmor回旋運(yùn)動。其角速度為：回旋的半徑（也稱為Larmor半徑）為：而在平行于磁場的方向，從解得：積分常數(shù)為平行方向速度的初值，帶電粒子速度保持不變。值得注意的是，回旋頻率只與磁場的大小有關(guān)，而與回旋粒子的垂直速度或回旋半徑無關(guān)。但如果相對論效應(yīng)不能忽略，則帶電粒子的質(zhì)量會發(fā)生變化，回旋頻率會隨著垂直方向的速度改變。此時，帶電粒子的運(yùn)動方程為其中相對論因子它只與帶電粒子速度的大小有關(guān)，與速度的方向無關(guān)。而事實(shí)上，只要用點(diǎn)乘式即可看出：即帶電粒子速度的大小是常數(shù)。因此在解帶電粒子的運(yùn)動方程時，可以將視為常數(shù)。解的結(jié)果與非相對論情況的不同點(diǎn)僅僅在于回旋頻率的差別： 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動可以看作是垂直于磁場的回旋運(yùn)動和回旋引導(dǎo)中心的運(yùn)動（即平行于磁場的運(yùn)動加上漂移運(yùn)動）組成。2 回旋引導(dǎo)中心的運(yùn)動Br(t)R(t)O 首先，我們考慮帶電粒子在穩(wěn)恒、但空間上不一定均勻的磁場中的運(yùn)動過程。從上一節(jié)的討論可知，如果磁場不隨空間和時間變化，或者在帶電粒子所在的區(qū)域內(nèi)可以將磁場近似的看成是不變的，帶電粒子將沿著磁力線作回旋運(yùn)動。為了更好理解和處理在空間不均勻磁場中的帶電粒子的運(yùn)動，我們將其分解為圍繞引導(dǎo)中心的回旋運(yùn)動和引導(dǎo)中心自身運(yùn)動兩部分。 對于角頻率為的回旋運(yùn)動，其速度為：這里是回旋的矢量半徑，它與構(gòu)成相互垂直的右手體系。因而 在磁場中帶電粒子回旋運(yùn)動角頻率矢量為： 這里是磁場方向的單位向量。帶電粒子除了沿著磁場方向運(yùn)動外，在垂直于磁場的方向上，帶電粒子做回旋運(yùn)動及漂移運(yùn)動。由于漂移運(yùn)動速度一般遠(yuǎn)小于回旋運(yùn)動速度，帶電粒子運(yùn)動速度的垂直分量可以用回旋運(yùn)動速度替代，在這種近似下，式可以改寫為 實(shí)際應(yīng)用中，卻是先用此式定義回旋半徑，因?yàn)槿暨€用式，將會與式一并陷入循環(huán)定義。我們也可以理解式定義的回旋半徑為帶電粒子運(yùn)動的瞬時的回旋半徑，在回旋一周的過程中，若同時有漂移運(yùn)動，帶電粒子的回旋速度和半徑是隨時改變的。 了解引導(dǎo)中心的運(yùn)動比了解帶電粒子的具體的運(yùn)動更有意義。引導(dǎo)中心的位置可以簡單求得：這里是帶電粒子的瞬時位置。這實(shí)際上也可以看作是引導(dǎo)中心的定義。引導(dǎo)中心的運(yùn)動速度可以求得：式中出現(xiàn)的帶電粒子加速度可分為兩部分，其一是由磁場引起的旋轉(zhuǎn)，另一部分由其他外力的總和引起的加速度在穩(wěn)恒近似的條件下，沒有快速變化的電場和磁場，對時間的偏導(dǎo)數(shù)可以忽略，只保留空間位置改變引起的變化。因而式中對時間的隨體導(dǎo)數(shù)近似為用和，化簡式，得到引導(dǎo)中心運(yùn)動速度的三部分：其中是帶電粒子沿平行磁場方向的運(yùn)動速度。平行速度是引導(dǎo)中心運(yùn)動速度的主要部分。另外，式中的第二項(xiàng)是外力引起的垂直磁場方向的漂移，如電場漂移、重力漂移等。而式的第三項(xiàng)它與磁場的大?。ǎ┖头较颍ǎ┰诳臻g上的變化有關(guān)，是由空間磁場的不均勻性引起的漂移，如磁場梯度漂移、曲率漂移等。 現(xiàn)在，我們得到的帶電粒子運(yùn)動大致圖像：首先，它主要是沿著磁力線運(yùn)動，同時還繞著磁力線旋轉(zhuǎn)。其次，引導(dǎo)中心會在外力作用下漂移偏離磁力線，其漂移方向與磁力線垂直，也與力的方向垂直。此外，磁場的不均勻性也能引起漂移運(yùn)動。 下面我們詳細(xì)分析一下帶電粒子的各種漂移運(yùn)動。1) 電場力 對于恒定的電場，帶電粒子受力，電場引起的漂移速度 值得注意的是，電場漂移速度與帶電粒子的電荷的正負(fù)符號無關(guān)，也與帶電粒子的質(zhì)量無關(guān)。在等離子體中，離子和電子以相同的方向和速度漂移，不會造成的電荷分離。事實(shí)上，我們?nèi)绻∫粋€以相對速度運(yùn)動的新參考系（稱為deHoffman-Teller參考系），通過洛侖茲變換可以發(fā)現(xiàn)，在新的參考系中電場為0，帶電粒子只是簡單地圍繞磁力線旋轉(zhuǎn)。而在我們原先的參考系中觀察，所有的電子和離子除了回旋之外，均以一個相同的速度做漂移運(yùn)動。2) 重力或其他恒定外力 普通情況下，力總是引起與其方向一致的加速度。而在有磁場的情況下，力引起的是一個垂直方向的漂移速度，與日常經(jīng)驗(yàn)有很大的不同。漂移速度的表達(dá)式為：這個速度與帶電粒子的質(zhì)量也沒有關(guān)系，但與其電荷有關(guān)。尤其對于電荷符號相反的帶電粒子，其漂移方向也相反。在等離子體中，電子和離子漂移方向不同，會引起電荷分離，從而產(chǎn)生一些特殊的物理現(xiàn)象（如等離子體-磁場分界面上產(chǎn)生的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性）。 在討論磁場空間不均勻性引起的漂移問題之前，有必要先處理一下公式的第三項(xiàng)，我們用代表這項(xiàng)磁場引起的漂移。相比其他兩項(xiàng)來說，這一項(xiàng)相對復(fù)雜。由于其中含有運(yùn)動速度，因而有回旋運(yùn)動引起的隨時間快速變化的項(xiàng)。這些快速變化的項(xiàng)不是我們想要的，通過在一個回旋周期中做平均的方法可以消除掉。我們簡化為只有平行運(yùn)動和回旋運(yùn)動兩項(xiàng)，忽略所有的漂移運(yùn)動：回旋運(yùn)動速度可以表示為：這里是兩個垂直于磁場的方向上的單位矢量，與方向構(gòu)成右手系。由，將公式經(jīng)過一個回旋周期的平均之后，磁場不均勻性引起的漂移平均速度為其中是在垂直方向上的空間微分算符。在公式中，磁場在空間的變化包括兩個部分，一是磁力線方向的變化，另一個是磁場強(qiáng)度的變化。沿著磁力線方向看磁場方向的變化，可計(jì)算磁力線的曲率式可寫為注意到式，進(jìn)一步化簡利用矢量微分公式及是單位向量的特性，曲率也可以表達(dá)為在垂直方向上磁場強(qiáng)度的梯度為利用，及式，化簡式：在空間沒有電流時，由可知由磁場引起的漂移速度為其中，分別是帶電粒子在平行方向和垂直方向的動能。磁場的空間不均勻性引起的漂移運(yùn)動又可以分為兩部分，其中一部分漂移速度是離心力引起的，為式中為曲率半徑，是曲率半徑的方向單位矢量，與方向相反。另一部分漂移速度是磁場梯度引起的，為這里是粒子的磁矩。而體現(xiàn)了磁場的梯度對帶電粒子所施加的等效作用力。 在考慮空間有電流的情況下，引導(dǎo)中心的運(yùn)動速度為 若把漂移速度寫為與磁場相關(guān)的量，則為注意到式，代換，得最后3 帶電粒子在變化電場中的漂移討論在有恒定磁場和垂直于磁場的變化電場情況下帶電粒子的漂移運(yùn)動?？山膺\(yùn)動方程得到：令，則可得或其中，方向的漂移為極化漂移，而在方向的漂移類似于普通的電場漂移。兩者漂移速度之比為的量級。 在的緩變電場情況下，極化漂移速度遠(yuǎn)小于普通的電場漂移速度，相比之下可以忽略。在的高頻變化的電場情況下，極化漂移速度比普通的電場漂移速度更大，顯得非常重要。4 守恒量和絕熱不變量對于在沒有電場和重力場等力場區(qū)域運(yùn)動的帶電粒子，其動能守恒。帶電粒子的運(yùn)動方程兩端同時點(diǎn)乘速度，可以得到式，從而證明了在這種情況下，帶電粒子動能守恒。一般來說，對于廣義坐標(biāo)，是對應(yīng)的廣義動量。如果運(yùn)動對于是周期的，則對于積分：是絕熱不變量，也即在系統(tǒng)變化的特征時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)長于運(yùn)動的周期的條件下，該物理量保持不變。這里積