西工大—現(xiàn)代控制理論課件

現(xiàn)代控制理論 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 2 引論 經(jīng)典控制理論 數(shù)學(xué)模型 線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù) 分析方法 時(shí)域法 低階1 3階 根軌跡法頻域法適應(yīng)領(lǐng)域 單輸入 單輸出 SISO 線性定常系統(tǒng)缺點(diǎn) 只能反映輸入 輸出間的外部特性 難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài) 現(xiàn)代控制理論 數(shù)學(xué)模型 以一階微分方程組成差分方程組表示的動(dòng)態(tài)方程分析方法 精準(zhǔn)的時(shí)域分析法適應(yīng)領(lǐng)域 1 多輸入 多輸出系統(tǒng) MIMO SISO MISO SIMO 2 非線性系統(tǒng) 3 時(shí)變系統(tǒng)優(yōu)越性 1 能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài) 2 便于考慮初始條件 與傳遞函數(shù)比較 3 適用于多變量 非線性 時(shí)變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng) 4 便于計(jì)算機(jī)分析與計(jì)算 5 便于性能的最優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制內(nèi)容 線性系統(tǒng)理論 最優(yōu)控制 最優(yōu)估計(jì) 系統(tǒng)辨識(shí) 自適應(yīng)控制 近似分析 3 第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 第二章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 第三章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 第五章線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解 第六章線性定常控制系統(tǒng)的綜合分析 4 1 1系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法1 2狀態(tài)空間描述常用的基本概念1 3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣1 4線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間 5 典型控制系統(tǒng)方框圖 1 1系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 6 典型控制系統(tǒng)由被控對(duì)象 傳感器 執(zhí)行器和控制器組成 被控過(guò)程具有若干輸入端和輸出端 數(shù)學(xué)描述方法 輸入 輸出描述 外部描述 高階微分方程 傳遞函數(shù)矩陣 狀態(tài)空間描述 內(nèi)部描述 基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu) 是對(duì)系統(tǒng)的一種完整的描述 7 輸入 外部對(duì)系統(tǒng)的作用 激勵(lì) 控制 人為施加的激勵(lì) 輸入分控制與干擾 輸出 系統(tǒng)的被控量或從外部測(cè)量到的系統(tǒng)信息 若輸出是由傳感器測(cè)量得到的 又稱(chēng)為觀測(cè) 狀態(tài) 狀態(tài)變量和狀態(tài)向量 能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時(shí)域行為或運(yùn)行過(guò)程的一組獨(dú)立 數(shù)目最小 的變量稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài) 其中的各個(gè)變量稱(chēng)為狀態(tài)變量 當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時(shí) 稱(chēng)為狀態(tài)向量 狀態(tài)空間 以狀態(tài)向量的各個(gè)分量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間稱(chēng)為狀態(tài)空間 狀態(tài)軌線 系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài) 在狀態(tài)空間可以看作是一個(gè)點(diǎn) 隨著時(shí)間的推移 系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化 并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡 這種軌跡稱(chēng)為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡 狀態(tài)方程 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程 它不含輸入的微積分項(xiàng) 一般情況下 狀態(tài)方程既是非線性的 又是時(shí)變的 可以表示為輸出方程 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱(chēng)為輸出方程 當(dāng)輸出由傳感器得到時(shí) 又稱(chēng)為觀測(cè)方程 輸出方程的一般形式為動(dòng)態(tài)方程 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱(chēng)為動(dòng)態(tài)方程 又稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式 一般形式為 1 2狀態(tài)空間描述常用的基本概念 8 或離散形式 線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程 輸出方程是向量代數(shù)方程 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為線性定常系統(tǒng) 線性系統(tǒng)的A B C D或G H C D中的各元素全部是常數(shù) 即 或離散形式 若有 9 分別寫(xiě)出狀態(tài)矩陣A 控制矩陣B 輸出矩陣C 前饋矩陣D 已知 為書(shū)寫(xiě)方便 常把連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分別簡(jiǎn)記為S A B C D 和S G H C D 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示 圖中 I為 單位矩陣 s是拉普拉斯算子 z為單位延時(shí)算子 10 討論 1 狀態(tài)變量的獨(dú)立性 2 由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的 因此狀態(tài)方程 輸出方程 動(dòng)態(tài)方程也都不是唯一的 但是 用獨(dú)立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的 與狀態(tài)變量的選取方法無(wú)關(guān) 3 動(dòng)態(tài)方程對(duì)于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的 即系統(tǒng)中的任何一個(gè)變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)描述 例1 1試確定圖8 5中 a b 所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量 圖中u i分別是是輸入電壓和輸入電流 y為輸出電壓 xi為電容器電壓或電感器電流 解并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨(dú)立變量 對(duì)圖8 5 a 不失一般性 假定電容器初始電壓值均為0 有 11 因此 只有一個(gè)變量是獨(dú)立的 狀態(tài)變量只能選其中一個(gè) 即用其中的任意一個(gè)變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為 實(shí)際上 三個(gè)串并聯(lián)的電容可以等效為一個(gè)電容 對(duì)圖 b x1 x2 因此兩者相關(guān) 電路只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的 即 x1和x3 或 x2和x3 可以任用其中一組變量如 x2 x3 作為狀態(tài)變量 12 令初始條件為零 對(duì)線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換 可以得到 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 簡(jiǎn)稱(chēng)傳遞矩陣 定義為 例1 2已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 解已知 故 1 3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 13 1 4 1由物理模型建動(dòng)態(tài)方程根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動(dòng)態(tài)方程 1 4線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 RLC電路 例1 3試列寫(xiě)如圖所示RLC的電路方程 選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程 并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論 解有明確物理意義的常用變量主要有 電流 電阻器電壓 電容器的電壓與電荷 電感器的電壓與磁通 根據(jù)獨(dú)立性要求 電阻器的電壓與電流 電容器的電壓與電荷 電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統(tǒng)的狀態(tài) 根據(jù)回路電壓定律 電路輸出量y為 1 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓 即則狀態(tài)方程為 輸出方程為 14 其向量 矩陣形式為 簡(jiǎn)記為 式中 2 設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷 即則有 3 設(shè)狀態(tài)變量 無(wú)明確意義的物理量 可以推出 15 其向量 矩陣形式為 可見(jiàn)對(duì)同一系統(tǒng) 狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性 動(dòng)態(tài)方程也不是唯一的 例1 4由質(zhì)量塊 彈簧 阻尼器組成的雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示 具有力F和阻尼器氣缸速度V兩種外作用 輸出量為質(zhì)量塊的位移 速度和加速度 試列寫(xiě)該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 分別為質(zhì)量 彈簧剛度 阻尼系數(shù) x為質(zhì)量塊位移 雙輸入 三輸出機(jī)械位移系統(tǒng) 解根據(jù)牛頓力學(xué)可知 系統(tǒng)所受外力F與慣性力m 阻尼力f V 和彈簧恢復(fù)力構(gòu)成平衡關(guān)系 系統(tǒng)微分方程如下 這是一個(gè)二階系統(tǒng) 若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度 系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定 故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量 設(shè) 由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量 設(shè) 16 于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程 其向量 矩陣形式為 1 4 2由高階微分方程建動(dòng)態(tài)方程1 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 選n個(gè)狀態(tài)變量為有 得到動(dòng)態(tài)方程 17 式中 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 2 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n 首先研究情況 為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量 設(shè) 例1 5 18 其展開(kāi)式為 式中 是n個(gè)待定常數(shù) 是n個(gè) 由上式的第一個(gè)方程可得輸出方程是n個(gè) 其余 n 個(gè)狀態(tài)方程如下n個(gè) 對(duì) 式求導(dǎo) 有 19 由展開(kāi)式將均以及u的各階導(dǎo)數(shù)表示 經(jīng)整理可得 令上式中u的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零 可確定各h值 記 故 則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 式中 20 若輸入量中僅含 次導(dǎo)數(shù)且 可將高于 次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)置0 仍可應(yīng)用上述公式 1 4 3由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程 應(yīng)用綜合除法有 式中 是直接聯(lián)系輸入 輸出量的前饋系數(shù) 當(dāng)G s 的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時(shí) 是嚴(yán)格有理真分式 其分子各次項(xiàng)的系數(shù)分別為 下面介紹由導(dǎo)出幾種標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的方法 1 串聯(lián)分解如圖 取z為中間變量 將分解為相串聯(lián)的兩部分 有 選取狀態(tài)變量 21 則狀態(tài)方程為 輸出方程為 其向量 矩陣形式 式中 當(dāng)具有以上形狀時(shí) 陣稱(chēng)為友矩陣 相應(yīng)的狀態(tài)方程則稱(chēng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型 時(shí) 的形式不變 22 當(dāng)時(shí) 不變 當(dāng)時(shí) 若按下式選取狀態(tài)變量 式中 T為轉(zhuǎn)置符號(hào) 則有 注意的形狀特征 若動(dòng)態(tài)方程中的具有這種形式 則稱(chēng)為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 自行證明 可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型是同一傳遞函數(shù)的不同實(shí)現(xiàn) 可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖 對(duì)偶關(guān)系 可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 23 例1 6設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為 試列寫(xiě)可控標(biāo)準(zhǔn)型 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程 并分別確定狀態(tài)變量與輸入 輸出量的關(guān)系 解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 于是 可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣為 由G s 串聯(lián)分解并引入中間變量z有 對(duì)y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式 則有 令可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入 輸出量的關(guān)系 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程中各矩陣為 24 狀態(tài)變量與輸入 輸出量的關(guān)系為 該系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖 a 可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) b 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 2 只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況當(dāng)只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí) 動(dòng)態(tài)方程除了可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型以外 還可化為對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程 其A陣是一個(gè)對(duì)角陣 設(shè)D s 可分解為D s 式中 為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn) 則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和 25 而 為在極點(diǎn)處的留數(shù) 且有Y s U s 若令狀態(tài)變量其反變換結(jié)果為 展開(kāi)得 其向量 矩陣形式為 其狀態(tài)變量如圖 a 所示 26 若令狀態(tài)變量則Y s 進(jìn)行反變換并展開(kāi)有 其向量 矩陣形式為 其狀態(tài)變量圖如圖 b 所示 兩者存在對(duì)偶關(guān)系對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖如下 27 a b 對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 3 含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況當(dāng)傳遞函數(shù)除含單實(shí)極點(diǎn)之外還含有重實(shí)極點(diǎn)時(shí) 不僅可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 還可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程 其A陣是一個(gè)含約當(dāng)塊的矩陣 設(shè)D s 可分解為D s 式中為三重實(shí)極點(diǎn) 為單實(shí)極點(diǎn) 則傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和 28 其狀態(tài)變量的選取方法與之含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)相同 可分別得出向量 矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程 29 其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖 a b 所示 上面兩式也存在對(duì)偶關(guān)系 約當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 30 1 4 4由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立離散動(dòng)態(tài)方程單輸入 單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為 兩端取z變換并整理得 G z 稱(chēng)為脈沖傳遞函數(shù) 利用z變換關(guān)系和 可以得到動(dòng)態(tài)方程為 簡(jiǎn)記為 31 1 4 5由傳遞函數(shù)矩陣建動(dòng)態(tài)方程 傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn) 給定一傳遞函數(shù)矩陣G s 若有一系統(tǒng) A B C D 能使成立 則稱(chēng)系統(tǒng) A B C D 是G s 的一個(gè)實(shí)現(xiàn) 這里僅限于單輸入 多輸出和多輸入 單輸出系統(tǒng) SIMO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 單輸入 多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 1 系統(tǒng)可看作由q個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)組成 傳遞矩陣為 32 式中 d為常數(shù)向量 為不可約分的嚴(yán)格有理真分式 即分母階次大于分子階次 函數(shù) 通常 的特性并不相同 具有不同的分母 設(shè)最小公分母為 的一般形式為 將作串聯(lián)分解并引入中間變量Z 令若將A陣寫(xiě)為友矩陣 便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程 每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程 33 每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程 可以看到 單輸入 q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為q維列向量 輸出矩陣為 qn 矩陣 故不存在其對(duì)偶形式 即不存在可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) MISO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 多輸入 單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)由p個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)組成 系統(tǒng)輸出由子系統(tǒng)輸出合成為 34 式中 同理設(shè) 的最小公分母為D s 則 若將A陣寫(xiě)成友矩陣的轉(zhuǎn)置形式 便可得到可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)方程 35 可見(jiàn) p維輸入 單輸入系統(tǒng)的輸入矩陣為 np 矩陣輸出矩陣為一行矩陣 故不存在其對(duì)偶形式 即不存在可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 例1 7已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 求其傳遞矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對(duì)角型實(shí)現(xiàn) 例1 7已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 求其傳遞矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對(duì)角型實(shí)現(xiàn) 解由于系統(tǒng)是單輸入 多輸出的 故輸入矩陣只有一列 輸出矩陣有兩行 將化為嚴(yán)格有理真分式 各元素的最小公分母D s 為 故 則可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程為 36 由可確定系統(tǒng)極點(diǎn)為 1 2 它們構(gòu)成對(duì)角形狀態(tài)矩陣的元素 鑒于輸入矩陣只有一列 這里不能選取極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)構(gòu)成輸入矩陣 而只能取元素全為1的輸入矩陣 于是 對(duì)角型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程為 其輸出矩陣由極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的留數(shù)組成 在 1 2處的留數(shù)分別為 故其輸出方程為 37 本章作業(yè) 8 3 8 4 8 5 8 7 38 第二章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 2 1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)2 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2 3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng)2 4線性定常離散系統(tǒng)的分析2 5連續(xù)系統(tǒng)的離散化 39 在控制u 0情況下 線性定常系統(tǒng)由初始條件引起的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為線性定常系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng) 可由齊次狀態(tài)方程描述 齊次狀態(tài)方程求解方法 冪級(jí)數(shù)法 拉普拉斯變換法和凱萊 哈密頓定理法 冪級(jí)數(shù)法 設(shè)齊次方程的解是t的向量?jī)缂?jí)數(shù)式中 都是n維向量 且 求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程 得 2 1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng) 等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等 有 40 故 定義 則 稱(chēng)為矩陣指數(shù)函數(shù) 簡(jiǎn)稱(chēng)矩陣指數(shù) 又稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 記為 求解齊次狀態(tài)方程的問(wèn)題 核心就是計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的問(wèn)題 拉普拉斯變換法 對(duì)進(jìn)行拉氏變換 有 進(jìn)行拉氏反變換 有 與相比有 它是的閉合形式 例2 1設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試用拉氏變換求解 解 41 狀態(tài)方程的解為 凱萊 哈密頓定理矩陣A滿足它自己的特征方程 即若設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為 則有 42 從該定理還可導(dǎo)出以下兩個(gè)推論 推論1矩陣A的次冪 可表為A的 n 1 階多項(xiàng)式 推論2矩陣指數(shù)可表為A的 n 1 階多項(xiàng)式 即 且各作為時(shí)間的函數(shù)是線性無(wú)關(guān)的 在式推論1中用A的特征值替代A后等式仍能滿足 利用上式和k個(gè)就可以確定待定系數(shù) 若互不相等 可寫(xiě)出各所構(gòu)成的n元一次方程組為 43 求解上式 可求得系數(shù) 它們都是時(shí)間t的函數(shù) 將其代入推論2式后即可得出 例2 2已知 求 解首先求A的特征值 將其代入 有 44 若矩陣A的特征值是m階的 則求解各系數(shù)的方程組的前m個(gè)方程可以寫(xiě)成 其它由組成的 k m 個(gè)方程仍與第一種情況相同 它們上式聯(lián)立即可解出各待定系數(shù) 45 例2 3已知 求 解先求矩陣A的特征值 由得 46 2 2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì) 1 2 3 4 表明與可交換 且 在式3 中 令便可證明 表明可分解為的乘積 且是可交換的 證明 由性質(zhì)3 有 根據(jù)的這一性質(zhì) 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 顯然有 5 證明 由于 則 即由 轉(zhuǎn)移至 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 47 6 證明 由 和 得到 7 8 若 則 證明 例2 4已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 試求 解 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)有 9 若 則 48 2 3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng) 線性定常系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng) 線性定常系統(tǒng)在控制作用下的運(yùn)動(dòng) 數(shù)學(xué)描述為 主要有如下兩種解法 1 積分法由上式 由于 積分后有 即 式中 第一項(xiàng)為零輸入響應(yīng) 第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng) 通過(guò)變量代換 上式又可表示為 若取作為初始時(shí)刻 則有 49 2 拉普拉斯變換法將式兩端取拉氏變換 有 進(jìn)行拉氏反變換有 例2 5設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 且 試求在 作用下?tīng)顟B(tài)方程的解 解由于 前面已求得 50 51 2 4線性定常離散系統(tǒng)的分析 1 遞推法 線性定常系統(tǒng) 重寫(xiě)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下 令狀態(tài)方程中的k 0 1 k 1 可得到T 2T kT時(shí)刻的狀態(tài) 即 k 0 k 2 k 1 k k 1 于是 系統(tǒng)解為 52 2 5連續(xù)系統(tǒng)的離散化 2 5 1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程 在 及作用下的解為 令 則 令 則 并假定在區(qū)間內(nèi) 于是其解化為 若記 變量代換得到 故離散化狀態(tài)方程為 式中 與連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的關(guān)系為 53 2 5 2非線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化及分析方法 對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng) 常采用近似的離散化處理方法 當(dāng)采樣周期T足夠小時(shí) 按導(dǎo)數(shù)定義有 代入 8 5a 得到離散化狀態(tài)方程 對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng) 一般都是先離散化 然后再用遞推計(jì)算求數(shù)值解的方法進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 本章作業(yè) 8 8 8 9 8 11 54 3 1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念3 2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法3 3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法3 4線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第三章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 55 如果對(duì)于所有t 滿足的狀態(tài)稱(chēng)為平衡狀態(tài) 平衡點(diǎn) 1 平衡狀態(tài) 3 1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時(shí)間變化 若已知狀態(tài)方程 令所求得的解x 便是平衡狀態(tài) 1 只有狀態(tài)穩(wěn)定 輸出必然穩(wěn)定 2 穩(wěn)定性與輸入無(wú)關(guān) 2 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 如果對(duì)于任意小的 0 均存在一個(gè) 當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí) 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足lim 則稱(chēng)該平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 簡(jiǎn)稱(chēng)是穩(wěn)定的 表示狀態(tài)空間中x0點(diǎn)至xe點(diǎn)之間的距離 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 3 一致穩(wěn)定性 通常 與 t0都有關(guān) 如果 與t0無(wú)關(guān) 則稱(chēng)平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的 定常系統(tǒng)的 與t0無(wú)關(guān) 因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定 則一定是一致穩(wěn)定的 56 4 漸近穩(wěn)定性 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性 且有 稱(chēng)此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的 5 大范圍穩(wěn)定性 當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間 且具有穩(wěn)定性時(shí) 稱(chēng)此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的 或全局穩(wěn)定的 此時(shí) 6 不穩(wěn)定性 不論 取得得多么小 只要在內(nèi)有一條從x0出發(fā)的軌跡跨出 則稱(chēng)此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 注意 按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義 當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)則認(rèn)為是穩(wěn)定的 同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的 經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定 57 穩(wěn)定性定義的平面幾何表示 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于平衡狀態(tài)xe為球心 半徑為 的閉球域內(nèi) 如果系統(tǒng)穩(wěn)定 則狀態(tài)方程的解在的過(guò)程中 都位于以xe為球心 半徑為 的閉球域內(nèi) a 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 b 漸近穩(wěn)定性 c 不穩(wěn)定性 58 3 2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法 李雅普諾夫第一法 間接法 是利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法 它適用于線性定常 線性時(shí)變及可線性化的非線性系統(tǒng) 線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是 系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部 即證明 略 59 李雅普諾夫第二法 直接法 基本原理 根據(jù)物理學(xué)原理 若系統(tǒng)貯存的能量 含動(dòng)能與位能 隨時(shí)間推移而衰減 系統(tǒng)遲早會(huì)到達(dá)平衡狀態(tài) 實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找 因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù) 稱(chēng)之為李雅普諾夫函數(shù) 它與及t有關(guān) 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 記以 若不顯含t 則記以 考慮到能量總大于零 故為正定函數(shù) 能量衰減特性用或表示 實(shí)踐表明 對(duì)于大多數(shù)系統(tǒng) 可先嘗試用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù) 3 3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法 60 3 3 1標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性 正定性 標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)有且 則稱(chēng)均在域S內(nèi)正定 如是正定的 負(fù)定性 標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零x有且 則稱(chēng)在域S內(nèi)負(fù)定 如是負(fù)定的 如果是負(fù)定的 則一定是正定的 負(fù) 正 半定性 且在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有 而其它狀態(tài)處均有 則稱(chēng)在域S內(nèi)負(fù) 正 半定 設(shè)為負(fù)半定 則為正半定 如為正半定不定性 在域S內(nèi)可正可負(fù) 則稱(chēng)不定 如是不定的 二次型函數(shù)是一類(lèi)重要的標(biāo)量函數(shù) 記 其中 P為對(duì)稱(chēng)矩陣 有 61 當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí) 即 則正定 且稱(chēng)P為正定矩陣 當(dāng)P的各順序主子行列式負(fù) 正相間時(shí) 即 則負(fù)定 且稱(chēng)P為負(fù)定矩陣 若主子行列式含有等于零的情況 則為正半定或負(fù)半定 不屬以上所有情況的不定 62 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 其平衡狀態(tài)滿足 不失一般性地把狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài) 并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在對(duì)x的連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) 3 3 2李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理 定理1若 1 正定 2 負(fù)定 則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的 負(fù)定表示能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)地衰減 故與漸近穩(wěn)定性定義敘述一致 定理2若 1 正定 2 負(fù)半定 且在非零狀態(tài)不恒為零 則原點(diǎn)是漸近 穩(wěn)定的 負(fù)半定表示在非零狀態(tài)存在 但在從初態(tài)出發(fā)的軌跡 上 不存在 的情況 于是系統(tǒng)將繼續(xù)運(yùn)行至原點(diǎn) 狀態(tài)軌跡僅是經(jīng)歷能量不變的狀態(tài) 而不 會(huì)維持在該狀態(tài) 定理3若 1 正定 2 負(fù)半定 且在非零狀態(tài)恒為零 則原點(diǎn)是李雅普 表示系統(tǒng)能維持等能量水平運(yùn)行 使系統(tǒng)維持在非零狀態(tài) 沿狀態(tài)軌跡能維持 諾夫意義下穩(wěn)定的 而不運(yùn)行至原點(diǎn) 定理4若 1 正定 2 正定 則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的 正定表示能量函數(shù)隨時(shí)間增大 故狀態(tài)軌跡在原點(diǎn)鄰域發(fā)散 正定 當(dāng) 正半定 且在非零狀態(tài)不恒為零時(shí) 則原點(diǎn)不穩(wěn) 參考定理2可推論 定 63 注意 李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件 具體分析時(shí) 先構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) 通常選二次型函數(shù) 求其導(dǎo)數(shù) 再將狀態(tài)方程代入 最后根據(jù) 是否有恒為零 令 將狀態(tài)方程代入 若能導(dǎo)出非零解 表示對(duì) 若導(dǎo)出的是全零解 表示只有原點(diǎn)滿足 的條件 的定號(hào)性判別穩(wěn)定性 的條件是成立的 例3 1試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解令 及 可以解得原點(diǎn) 是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 則 將狀態(tài)方程代入有 顯然 負(fù)定 根據(jù)定理1 原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的 鑒于只有一個(gè)平衡狀態(tài) 該非線性 與t無(wú)關(guān) 系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定 取李雅普諾夫函數(shù)為 系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的 因 判斷在非零狀態(tài)下 64 例3 2試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解令 得知原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài) 選 則 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 故 不定 不能對(duì)穩(wěn)定性作出判斷 應(yīng)重選 選 則考慮狀態(tài)方程后得 對(duì)于非零狀態(tài) 如 存在 對(duì)于其余非零狀態(tài) 故 根據(jù)定理2 原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的 且是大范圍一致漸近穩(wěn)定 負(fù)半定 例3 3試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解由 可知原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài) 選 考慮狀態(tài)方程則有 對(duì)所有狀態(tài) 故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 65 例3 4試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài) 選 則 與 故存在非零狀態(tài) 如 使 而對(duì)其余任意狀態(tài)有 故 根據(jù)定理4的推論 系統(tǒng)不穩(wěn)定 無(wú)關(guān) 正半定 解 是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 方程中的常數(shù)項(xiàng)可以看作是階躍輸入作用的 得到 原狀態(tài)方程在 狀態(tài)空間 1 1 處穩(wěn)定性判別問(wèn)題就變成變換后狀態(tài)方程在X 對(duì)其求導(dǎo)考慮狀態(tài)方程得到 系統(tǒng)原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的 因而原系統(tǒng)在平衡狀態(tài) 1 1 處是大 結(jié)果 作坐標(biāo)變換 選 狀態(tài)空間原點(diǎn)處穩(wěn)定性的判別問(wèn)題 圍一致漸近穩(wěn)定的 注意 一般不能用李雅普諾夫函數(shù)去直接判別非原點(diǎn)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性 例3 5試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 66 例3 6試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解這實(shí)際上是一個(gè)可線性化的非線性系統(tǒng)的典型例子 令 得知系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài) 和 對(duì)位于原點(diǎn)的平衡狀態(tài) 選 于是 當(dāng) 時(shí) 系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是局部 根據(jù)定理4 當(dāng) 時(shí)原點(diǎn)顯然是不穩(wěn)定的 時(shí)原點(diǎn)也是不穩(wěn)定的 從狀態(tài)方程直接看出 作坐標(biāo)變換 得到新的狀態(tài)方程 因此 通過(guò)與原狀態(tài)方程對(duì)比可以斷定 對(duì)于原系統(tǒng)在狀態(tài)空間 處的平衡狀態(tài) 當(dāng) 時(shí)是局部一致漸近穩(wěn)定的 當(dāng) 時(shí)是不穩(wěn)定的 時(shí)也是不穩(wěn)定的 一致漸近穩(wěn)定的 或系統(tǒng)發(fā)散 也可以 當(dāng) 對(duì)于平衡狀態(tài) 當(dāng) 有 67 3 4線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 3 4 1連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 平衡狀態(tài) 可以取下列正定二次型函數(shù) 作為李雅普諾夫函數(shù) 根據(jù)定理1 只要 正定 即 負(fù)定 則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的 于是線性 存在滿足式的 為非奇異矩陣 故原點(diǎn)是唯一 求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程 令 得到 定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判定條件可表示為 給定一正定矩陣 正定矩陣 先指定正定的 陣 然后驗(yàn)證 陣是否正定 注 68 定理5 證明從略 系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要條件為 給定正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 使式成立 存在 該定理為系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性判斷帶來(lái)實(shí)用上的極大方便 例3 7試用李雅普諾夫方程確定使圖所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的 值范圍 例3 7系統(tǒng)框圖 解由圖示狀態(tài)變量列寫(xiě)狀態(tài)方程 穩(wěn)定性與輸入無(wú)關(guān) 可令 由于 非奇異 原點(diǎn)為唯一的平衡狀 為正半定矩陣 態(tài) 取 則 負(fù)半定 令 有 考慮狀態(tài)方程中 解得 考慮到 解得 表明唯有原點(diǎn)存在 69 令 展開(kāi)的代數(shù)方程為6個(gè) 即 解得 使 正定的條件為 及 故 時(shí) 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 由于是線性定 常系統(tǒng) 系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定 70 3 4 2離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 式中 以 代替 有 陣非奇異 原點(diǎn) 考慮狀態(tài)方程 有 是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) 于是 式稱(chēng)為李雅普諾夫代數(shù)方程 定理7系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要條件是 給定任一正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 常 存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣 使式成立 令 取正定二次型函數(shù) 是平衡狀態(tài) 71 本章作業(yè) 8 14 8 15 72 可控性和可觀測(cè)性的概念 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 線性定常系統(tǒng)的可控性 線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性 可控性 可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系 返回 連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可控性與可觀測(cè)性 73 4 1可控性和可觀測(cè)性的概念 可控性 如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以通過(guò)有限點(diǎn)的控制輸入來(lái)使其由任意的初態(tài)達(dá)到任意設(shè)定的終態(tài) 則稱(chēng)系統(tǒng)是可控的 更確切的說(shuō)是狀態(tài)可控的 否則 就稱(chēng)系統(tǒng)是不完全可控的 簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)不可控 可觀性 如果系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由有限點(diǎn)的輸出測(cè)量完全確定出來(lái) 則稱(chēng)系統(tǒng)是可觀測(cè)的 簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)可觀測(cè) 反之 則稱(chēng)系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的 簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)不可觀測(cè) 可控性與可觀測(cè)性的概念 是用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)引伸出來(lái)的新概念 在現(xiàn)代控制理論中起著重要的作用 可控性 可觀測(cè)性與穩(wěn)定性是現(xiàn)代控制系統(tǒng)的三大基本特性 第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 74 下面舉幾個(gè)例子直觀地說(shuō)明系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 上圖所示的結(jié)構(gòu)圖 其中左圖顯見(jiàn) 受 的控制 但 與 無(wú)關(guān) 故系統(tǒng)不可 但 是受 影響的 能間接獲得 中圖中的 均受 的控制 故系統(tǒng)可控 但 與 中的 均受u的控制 且在 中均能觀測(cè)到 故系統(tǒng)是可控可觀測(cè)的 控 系統(tǒng)輸出量 的信息 故系統(tǒng)是可觀測(cè)的 無(wú)關(guān) 故系統(tǒng)不可觀測(cè) 又圖 只有少數(shù)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)可以從結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖直接判別系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 參數(shù)復(fù)雜 就只能借助于數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析與研究 才能得到正確的結(jié)論 75 4 2線性定常系統(tǒng)的可控性 可控性分為狀態(tài)可控性和輸出可控性 若不特別指明 一般指狀態(tài)可控性 狀態(tài)可控性只與狀態(tài)方程有關(guān) 與輸出方程無(wú)關(guān) 4 2 1離散系統(tǒng)的可控性 1 單輸入離散系統(tǒng) 為導(dǎo)出系統(tǒng)可控性的條件 設(shè)單輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程為 定義 其解為 由于 和 取值都可以是任意的 因此 的取值也可以是任意的 76 記 稱(chēng) 為可控性矩陣 個(gè)方程中有 個(gè)未知數(shù) 稱(chēng)為可控性判據(jù) 此為充要條件 當(dāng)rankS1 n時(shí) 系統(tǒng)不可控 表示不存在能使任意 轉(zhuǎn)移至任意 的控制 4 1 或 則 4 2 式 4 1 是一個(gè)非齊次線性方程組 77 從以上推導(dǎo)看出 狀態(tài)可控性取決于 和 當(dāng) 不受約束時(shí) 可控系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移 個(gè)采樣周期便可以完成 有時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程還可能少于 上述過(guò)程不僅導(dǎo)出了單輸入離散系統(tǒng)可控性條件 而且還給出了求取控制指 過(guò)程至多以 個(gè)采樣周期 令的具體方法 4 2 1多輸入離散系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 可控性矩陣為 多輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是 或 4 1 78 的行數(shù)總小于列數(shù) 在列寫(xiě) 時(shí) 若能知道 的秩為 便不必把 和列寫(xiě)出來(lái) 階行列式 多輸入線性定常離散系統(tǒng) 轉(zhuǎn)移過(guò)程一般可少于 個(gè)采樣 周期 例8 30設(shè)單輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試判斷可控性 若初始狀態(tài) 確定使 的控制序列 研究使 的可能性 解由題意知 故該系統(tǒng)可控 技巧 便可確定可控性 2 利用 計(jì)算一次 1 的其余列 都計(jì)算 79 可按式 8 90 求出 令k 0 1 2 可得狀態(tài)序列 為了避免矩陣求逆 下面用遞推法來(lái)求 令 即解下列方程組 80 其系數(shù)矩陣即可控性矩陣S1 它的非奇異性可給出如下的解 若令 即解下列方程組 容易看出其系數(shù)矩陣的秩為2 但增廣矩陣 兩個(gè)秩不等 方程組無(wú)解 意為不能在第二個(gè)采樣周期內(nèi)使給定初態(tài)轉(zhuǎn)移至原點(diǎn) 若 的秩為3 該兩個(gè)秩相等時(shí) 便意味著可用兩步完成狀態(tài)轉(zhuǎn)移 81 例8 31輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判斷可控性 設(shè)初始狀態(tài)為 研究使 的可能性 解 由前三列組成的矩陣的行列式不為零 故該系統(tǒng)可控 一定能求得控制使 給出 系統(tǒng)從任意初態(tài)在三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 由 設(shè)初始狀態(tài)為 82 由于 可求得 在一步內(nèi)使該初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 當(dāng)初始狀態(tài)為 亦然 只是 但本例不能對(duì)任意初態(tài) 使之在一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 時(shí) 4 2 1連續(xù)系統(tǒng)的可控性 1 單輸入系統(tǒng) 如果存在無(wú)約束的分段連續(xù)控制函數(shù) 從任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移至任意終態(tài) 則稱(chēng)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的 簡(jiǎn)稱(chēng)是可控的 間間隔內(nèi) 設(shè)狀態(tài)方程為 定義 終態(tài)解為 顯然 的取值也是任意的 于是有 能使系統(tǒng) 定義 在有限時(shí) 83 利用凱萊 哈密頓定理的推論 有 令 則有 記 其狀態(tài)可控的充分必要條件是 2 多輸入系統(tǒng) 記可控性矩陣 狀態(tài)可控的充要條件為 或 84 例8 32試用可控性判據(jù)判斷圖8 20所示橋式電路的可控性 解選取狀態(tài)變量 電路的狀態(tài)方程如下 可控性矩陣為 當(dāng) 時(shí) 系統(tǒng)可控 反之當(dāng) 即電橋處于平衡狀態(tài)時(shí) 系統(tǒng)不可控 顯然 不能控制 85 圖8 20電橋電路圖8 21并聯(lián)電路 例8 33試用可控性判斷圖8 21并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的可控性 解網(wǎng)絡(luò)的微分方程為 式中 狀態(tài)方程為 于是 當(dāng) 時(shí) 系統(tǒng)可控 當(dāng) 有 系統(tǒng)不可控 實(shí)際上 設(shè)初始狀態(tài) 只能使 而不能將 與 分別轉(zhuǎn)移到不同的數(shù)值 即不能同時(shí)控制住兩個(gè)狀態(tài) 86 例8 34判斷下列狀態(tài)方程的可控性 解 顯見(jiàn)S4矩陣的第二 三行元素絕對(duì)值相同 3 A為對(duì)角陣或約當(dāng)陣時(shí)的可控性判據(jù) 系統(tǒng)不可控 設(shè)二階系數(shù)A b矩陣為 其可控性矩陣S3的行列式為 由此可知 A陣對(duì)角化且有相異元素時(shí) 只需根據(jù)輸入矩陣沒(méi)有全零行即可判斷系統(tǒng)可控 時(shí) 則不能這樣判斷 這時(shí) 系統(tǒng)總是不可控的 若 87 又設(shè)二階系數(shù)A b矩陣為 其可控性矩陣S3的行列式為 矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不是全零 由此可知 當(dāng)A陣約當(dāng)化且相同 矩陣中的其它行是否為零行是無(wú)關(guān)的 以上判斷方法可推廣到A陣對(duì)角化 約當(dāng)化的n階系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 A為對(duì)角陣時(shí)的可控性判據(jù)可表為 A為對(duì)角陣且元素各異時(shí) 輸入矩陣不存在全零行 特征值分布在一個(gè)約當(dāng)快時(shí) 只需根據(jù)輸入 行 即可判斷系統(tǒng)可控 與輸入 88 當(dāng)A為對(duì)角陣且含有相同元素時(shí) 上述判據(jù)不適用 應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來(lái)判斷 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 全零行 與約當(dāng)塊其它行所對(duì)應(yīng)的行允許是全零行 輸入矩陣中與相異特征值所對(duì)應(yīng)的行不存在全零行 A陣約當(dāng)化時(shí)的可控性判據(jù)可表為 輸入矩陣中與約 當(dāng)A陣的相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊時(shí) 例如 適用 也應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來(lái)判斷 以上判據(jù)不 當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不存在 89 例8 35下列系統(tǒng)是可控 1 2 3 例8 36下列系統(tǒng)不可控1 2 3 90 4 可控標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題 其可控性矩陣為 與該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的可控性矩陣 一定是可控的 這就是式 4 3 稱(chēng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型的由來(lái) 是一個(gè)右下三角陣 且其主對(duì)角線元素均為1 系統(tǒng) 4 3 91 4 3線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性 4 3 1離散系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性 及 則稱(chēng)系 因?yàn)槭怯懻摽捎^性 可假設(shè)輸入為0 其解為 將 寫(xiě)成展開(kāi)式 定義 已知輸入向量序列 輸出向量序列 能唯一確 確定任意初始狀態(tài)向量 統(tǒng)是完全可觀測(cè)的 92 其向量 矩陣形式為 令 為線性定常離散系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣 可觀測(cè)的充分必要條件為 93 例8 37判斷下列線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性 并討論可觀測(cè)性的物理解釋 其輸出矩陣取了兩種情況 解計(jì)算可觀測(cè)性矩陣V1 1 故系統(tǒng)可觀測(cè) 由輸出方程 由于 可見(jiàn) 在第k步便可由輸出確定狀態(tài)變量 故在第 k 1 步便可確定 由于 故在第 k 2 步便可確定 該系統(tǒng)為三階系統(tǒng) 可觀測(cè)意味著至多以三步便能由y k y k 1 y k 2 的輸出測(cè)量值來(lái)確定三個(gè)狀態(tài)變量 94 2 故系統(tǒng)不可觀測(cè) 由輸出方程 可看出三步的輸出測(cè)量值中始終不含 故是不可觀測(cè)狀態(tài)變量 只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測(cè) 稱(chēng)系統(tǒng)不完全可觀測(cè) 簡(jiǎn)稱(chēng)不可觀測(cè) 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性其定義為 已知輸入 及有限時(shí)間間隔 到的輸出 能唯一確定初始狀態(tài) 則稱(chēng)系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的 簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可觀測(cè) 內(nèi)測(cè)量 95 4 3 2 連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性 定義 已知輸入u t 及有限時(shí)間間隔 對(duì)于多輸入系統(tǒng) 狀態(tài)可觀測(cè)的充分必要條件是 或 均稱(chēng)為可觀測(cè)性矩陣 96 4 3 3A為對(duì)角陣或約當(dāng)陣時(shí)的可觀測(cè)性判據(jù) 1 單輸入對(duì)角二階系統(tǒng) 可觀測(cè)矩陣 的行列式為 判據(jù) A陣對(duì)角化且有相異特征值時(shí) 只需根據(jù)輸出矩陣中沒(méi)有全零列即可判斷系統(tǒng) 時(shí) 則不能這樣判斷 這時(shí) 系統(tǒng)總是不可觀測(cè)的 可觀測(cè) 若 2 單輸入約當(dāng)二階系統(tǒng) 則 97 有時(shí)A陣的相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí) 例如 以上判斷方法不適用 以下推廣到A陣對(duì)角化 約當(dāng)化的n階系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 令u 0 式中 為系統(tǒng)相異特征值 狀態(tài)變量間解耦 輸出解為 判據(jù) 輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列所對(duì)應(yīng)的列不是全零列 98 A為對(duì)角陣時(shí)可觀測(cè)判據(jù) 可表為 A為對(duì)角陣且元素各異時(shí) 輸出矩陣不 存在全零列 當(dāng)A為對(duì)角陣但含有相同元素時(shí) 上述判據(jù)不適用 應(yīng)根據(jù)可觀測(cè)矩陣的秩來(lái)判斷 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 為二重特征值且構(gòu)成一個(gè)約當(dāng)塊 為相異特征值 動(dòng)態(tài)方程解為 99 輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不存在全零列 與約當(dāng)塊其它列所對(duì)應(yīng)的列允許是全零列 輸出矩陣中與相異特征值所對(duì)應(yīng)的列不存在全零列 對(duì)于相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)的情況 以上判據(jù)不適用 仍應(yīng)用可觀測(cè)矩陣來(lái)判斷 故A為約當(dāng) 例8 38下列系統(tǒng)可觀測(cè) 試自行說(shuō)明 1 2 陣且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí) 可觀測(cè)判據(jù) 100 例8 39下列系統(tǒng)不可觀測(cè) 試自行說(shuō)明 1 2 4 3 4可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題動(dòng)態(tài)方程中的A c矩陣具有下列形式 101 其可觀測(cè)性矩陣 V2是一個(gè)右下三角陣 系統(tǒng)一定可觀測(cè) 這就是形如 8 125 所示的A C 矩陣稱(chēng)為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型名稱(chēng)的由來(lái) 一個(gè)可觀測(cè)系統(tǒng) 當(dāng)A C陣不具有可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí) 也可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 102 4 4可控性 可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系 4 4 1SISO系統(tǒng) 當(dāng)A陣具有相異特征值 時(shí) 通過(guò)線性變換定可是A對(duì)角化為 利用A陣對(duì)角化的可控 可觀測(cè)性判據(jù)可知 當(dāng) 時(shí) 不可控 當(dāng) 時(shí) 測(cè) 試看傳遞函數(shù) 所具有的相應(yīng)特點(diǎn) 由于 不可觀 其中 令初始條件為零 來(lái)導(dǎo)出 乃是輸入至狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣 這可由狀態(tài)方程 兩端取拉氏變換 當(dāng) 時(shí) 不可控 則 矩陣一定會(huì)出現(xiàn)零 極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象 103 如 是初始狀態(tài)至輸出向量之間的傳遞矩陣 當(dāng) 時(shí) 不可觀測(cè) 則 也一定會(huì)出現(xiàn)零 極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象 如 104 有以上分析可知 單輸入 單輸出系統(tǒng)可控可觀測(cè)的充要條件是 由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消 即傳遞函數(shù)不可約 或系統(tǒng)可控的充要條件是 對(duì)消 系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件是 以上判據(jù)僅適用于單輸入 單輸出系統(tǒng) 對(duì)多輸入 多輸出系統(tǒng)一般不適用 不存在零極點(diǎn) 不存在零 極點(diǎn)對(duì)消 105 例8 40已知下列動(dòng)態(tài)方程 試研究其可控性 可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 1 2 3 106 解三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為 1 A b為可控標(biāo)準(zhǔn)型故可控不可觀測(cè) 2 A c為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 故可觀測(cè)不可控 3 由A陣對(duì)角化時(shí)的可控可觀測(cè)判據(jù)可知 系統(tǒng)不可控不可觀測(cè) 為不可控不可觀測(cè)的狀態(tài)變量 存在零 極點(diǎn)對(duì)消 例8 41設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判斷系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 并說(shuō)明傳遞函數(shù)描述的不完全性 解由結(jié)構(gòu)圖列寫(xiě)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 再寫(xiě)成向量 矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程 由狀態(tài)可控性矩陣 及可觀測(cè)性矩陣 有 故不可控 107 故不可觀測(cè) 由傳遞矩陣 兩式均出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消 系統(tǒng)不可控 不可觀測(cè) 系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 二階系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是二次多項(xiàng)式 對(duì)消結(jié)果是二階系統(tǒng)降為一階 本系統(tǒng)原是不穩(wěn) 系統(tǒng)穩(wěn)定 定系統(tǒng) 含一個(gè)右特征值 但如果用對(duì)消后的傳遞函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)時(shí) 會(huì)誤認(rèn)為 4 4 2MIMO系統(tǒng)多輸入 多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí) 系統(tǒng)并非一定是不可控或不可觀測(cè)的 需要利用傳遞函數(shù)矩陣中的行或列的線性相關(guān)性來(lái)判斷 108 傳遞函數(shù)矩陣的元素是s的多項(xiàng)式 設(shè)以下面列向量組來(lái)表示 若存在不全為零的時(shí)常數(shù) 使下式 成立 則稱(chēng)函數(shù) 是線性相關(guān)的 若只有當(dāng) 式 8 133 才成立 則稱(chēng)函數(shù) 定理多輸入系統(tǒng)可控的充要條件是 定理多輸出系統(tǒng)可觀的充要條件是 8 132 8 133 全為零時(shí) 是線性無(wú)關(guān)的 的n行線性無(wú)關(guān) 的n行線性無(wú)關(guān) 109 例8 42試用傳遞矩陣判據(jù)判斷下列雙輸入 雙輸出系統(tǒng)的 解 寫(xiě)出特征多項(xiàng)式 將矩陣中各元素的公因子提出矩陣符號(hào)外面以便判斷 若存在不全零的時(shí)常數(shù) 能使下列向量方程 故 成立 則稱(chēng)三個(gè)行向量線性相關(guān) 若只有當(dāng) 量線性無(wú)關(guān) 時(shí)上式才成立 則稱(chēng)三個(gè)行向 可控性和可觀測(cè)性 110 運(yùn)算時(shí)可先令上式成立 可分列出 解得 且 同冪項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等 有 故只有 時(shí)才能滿足上述向量方程 于是可斷定 關(guān) 系統(tǒng)可控 由 令 的三行線性無(wú) 可分列為 解得 故 顯見(jiàn) 這時(shí)與傳遞矩陣出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消無(wú)關(guān) 利用可控性矩陣及可觀測(cè)性矩陣的判據(jù) 的三列線性無(wú)關(guān) 系統(tǒng)可觀測(cè) 可得相同結(jié)論 111 例8 43試用傳遞矩陣判據(jù)判斷下列單輸入 單輸出系統(tǒng)的可控性 可觀測(cè)性 解 故 令 分列出 解得 可為任意值 112 于是能求得不全零的 使上述代數(shù)方程滿足 故 系統(tǒng)不可控 該單輸入系統(tǒng) 存在零極點(diǎn)對(duì)消 由此同樣得出不可控的結(jié)論 令 可分列為 解得 可見(jiàn)存在不全零的 滿足上述代數(shù)方程 故 不可觀測(cè) 此時(shí) 也存在零極點(diǎn)對(duì)消 同樣得出不可觀測(cè)的結(jié)論 的三行線性相關(guān) 由 的三列線性相關(guān) 系統(tǒng) 113 4 5連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可控性與可觀測(cè)性一個(gè)可控的連續(xù)系統(tǒng) 當(dāng)其離散化后并不一定能保持其可控性 一個(gè)可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng) 離散化后并也不一定能保持其可觀測(cè)性 下面舉例說(shuō)明 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 其離散化狀態(tài)方程為 它是可控標(biāo)準(zhǔn)型 故一定可控 離散化系統(tǒng)的可控性矩陣為 114 當(dāng)采樣周期 時(shí) 可控性矩陣為零陣 系統(tǒng)不可控 故離散化系統(tǒng)的 采樣周期選擇不當(dāng)時(shí) 便不能保持原連續(xù)系統(tǒng)的可控性 當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程不可控時(shí) 不管采樣周期T如何選擇 離散化系統(tǒng)一定是不可控的 讀者可自行證明 離散后的系統(tǒng) 不可觀測(cè) 115 線性系統(tǒng)的非奇異線性變換及其性質(zhì) 幾種常見(jiàn)的線性變換 對(duì)偶原理 線性系統(tǒng)的規(guī)范分解 返回 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解 緒論 116 第五章線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解為了便于研究系統(tǒng)固有特性 曾經(jīng)引入過(guò)多種非奇異線性變換 如經(jīng)常要將A陣對(duì)角化 約當(dāng)化 將系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型也需要進(jìn)行線性變換 為了便于分析與設(shè)計(jì) 需要對(duì)動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行規(guī)范分解 如何變換 變換后 系統(tǒng)的固有特性是否會(huì)引起改變呢 117 5 1線性系統(tǒng)的非奇異線性變換及其性質(zhì) 5 1 1非奇異線性變換 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 令 非奇異矩陣P 將狀態(tài) 變換為狀態(tài) 變換后動(dòng)態(tài)方程 則有 并稱(chēng)為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行P變換 線性變換的目的在于使 特性 簡(jiǎn)化分析 計(jì)算與設(shè)計(jì) 在系統(tǒng)建模 可控性 可觀測(cè)性 穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)方面特別有用 非奇異線性變換不會(huì)改變系統(tǒng)的固有性質(zhì) 所以它是等價(jià)變換 待計(jì)算出所需結(jié)果之后 再引入反變換 終結(jié)果 陣或系統(tǒng)規(guī)范化 以便于揭示系統(tǒng) 將新系統(tǒng)變回原來(lái)的狀態(tài)空間中去 獲得最 118 5 1 2非奇異線性變換性質(zhì)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)非奇異線性變換 系統(tǒng)的特征值 傳遞矩陣 可控性 可觀測(cè)性等重要性質(zhì)均保持不變性 下面進(jìn)行證明 變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變證明 列出變換后系統(tǒng)傳遞矩陣 變換前后的系統(tǒng)傳遞矩陣相同 119 2 線性變換后系統(tǒng)特征值不變證明變換后系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 變換前后的特征多項(xiàng)式相同 故特征值不變 由此 非奇異變換后 系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變 3 變換后系統(tǒng)可控性不變證明變換后系統(tǒng)可控性陣的秩 變換前后的可控性矩陣的秩相同 故可控性不變 120 4 變換后系統(tǒng)可觀測(cè)性不變證明列出變換后可可觀測(cè)性矩陣的秩 變換前后可觀測(cè)性矩陣的秩相同 故可觀測(cè)性不變 證明 5 121 5 2幾種常用的線性變換 5 2 1化A為對(duì)角陣1 A陣為任意方陣 且有互異實(shí)數(shù)特征根 則由非奇異變換可將其化為對(duì)角 P由特征向量 組成 特征向量滿足 陣 2 A陣為友矩陣 且有互異實(shí)數(shù)特征根 則用范德蒙特 Vandermode 矩陣 P可以將A對(duì)角化 122 3 A為任意方陣 有m重實(shí)數(shù)特征根 異實(shí)數(shù)特征根 但在求解 時(shí) 仍有m個(gè)獨(dú)立的特征向量 則仍可以將A化為對(duì)角陣 其余 n m 個(gè)特征根為互 式中 是互異實(shí)數(shù)特征根 對(duì)應(yīng)的特征向量 8 144 123 5 2 2化A為約當(dāng)陣1 A陣有m重實(shí)數(shù)特征根 根 但重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量 時(shí) 只能將A化為約當(dāng)陣J 式中 分別是互異實(shí)數(shù)特征根 對(duì)應(yīng)的特征向量 而 是廣義特征向量 可由下式求得 其余 n m 個(gè)特征根為互異實(shí)數(shù)特征 124 2 A陣為友矩陣 具有m重實(shí)數(shù)特征根 互異實(shí)數(shù)特征根 但重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量 時(shí) 將A約當(dāng)陣化的P陣為 其余 n m 個(gè)特征根為 3 A陣有五重特征根 但有兩個(gè)獨(dú)立特征向量 特征根 一般可化A為如下形式的約當(dāng)陣J 其余 n 5 個(gè)特征根為互異 125 5 2 3化可控狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型前面曾對(duì)單輸入 單輸出建立了如下的可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程 與該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的可控性矩陣 是一個(gè)右下三角陣 且其主對(duì)角線元素均為1 一個(gè)可控系統(tǒng) 當(dāng)A b不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí) 定可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型 變換 即令 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 進(jìn)行 126 狀態(tài)方程變換為 要求 4 4 根據(jù)A陣變換要求 P應(yīng)滿足式 4 4 即 設(shè)變換矩陣為 127 展開(kāi)之 增補(bǔ)一個(gè)方程 整理后 得到變換矩陣為 另根據(jù)b陣變換要求 P應(yīng)滿足式 4 4 有 即 故 該式表示 是可控性矩陣逆陣的最后一行 128 于是可以得到變換矩陣P的求法如計(jì)算可控性矩陣 2 計(jì)算可控性矩陣的逆陣 3 取出 的最后一行 即第n行 構(gòu)成 行向量 4 按下列方式構(gòu)造P陣 任意矩陣A化為對(duì)角型 然后再將對(duì)角陣化為友矩陣的方法將A為友矩陣 5 便是將普通可控狀態(tài)方程可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程的變換矩陣 當(dāng)然 也可先將 129 5 3對(duì)偶原理設(shè)有系統(tǒng) 則稱(chēng)系統(tǒng) 為系統(tǒng) 的對(duì)偶系統(tǒng) 其動(dòng)態(tài)方程分別為 式中 x z均為n維狀態(tài)向量 u w均為p維 y v均為q維 注意到系統(tǒng)與對(duì)偶系統(tǒng)之 為 的對(duì)偶系統(tǒng)時(shí) 也是 的對(duì)偶系統(tǒng) 間 其輸入 輸出向量的維數(shù)是相交換的 當(dāng) 如果系統(tǒng) 可控 則 必然可觀測(cè) 如果系統(tǒng) 可觀測(cè) 則 是對(duì)偶原理 必然可控 反之亦然 這就 實(shí)際上 不難驗(yàn)證 系統(tǒng) 的可控性矩陣與對(duì)偶系統(tǒng) 的可觀測(cè)性矩陣完全相同 系 的可觀測(cè)性矩陣與對(duì)偶系統(tǒng) 在動(dòng)態(tài)方程建模 系統(tǒng)可控性和可觀測(cè)性的判別 系統(tǒng)線性變換等問(wèn)題上 應(yīng)用對(duì)偶原理 往往可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化 統(tǒng) 的可控性矩陣完全相同 130 設(shè)單輸入 單輸出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 系統(tǒng)可觀測(cè) 但 不是可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 其對(duì)偶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 對(duì)偶系統(tǒng)一定可控 但不是可控標(biāo)準(zhǔn)型 可利用可控標(biāo)準(zhǔn)型變換的原理和步驟 先將對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型 再一次使用對(duì)偶原理 便可獲得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 下面僅給出其計(jì)算步驟 1 列出對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣 及原系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣 2 求 的逆陣 且記為行向量組 3 取 的第n行 并按下列規(guī)則構(gòu)造變換矩陣 131 4 求P的逆陣 并引入 變換即 變換后動(dòng)態(tài)方程為 5 對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)再利用對(duì)偶原理 便可獲得原系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 結(jié)果為 8 170 8 169 與原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程相比較 可知將原系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型需進(jìn)行變換 即令 式中 8 172 為原系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣的逆陣中第n行的轉(zhuǎn)置 8 171 132 5 4線性系統(tǒng)的規(guī)范分解不可控系統(tǒng)含有可控