第五章頻率響應(yīng)法.ppt

自動控制理論 數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)分析 穩(wěn)準 穩(wěn)態(tài)特性快 動態(tài)特性 時域分析復(fù)數(shù)域分析 根軌跡分析 頻域分析系統(tǒng)設(shè)計 第五章頻域分析法 5 1頻率特性 5 2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性 5 3奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 5 4穩(wěn)定裕度 5 5閉環(huán)頻率特性 End 本章作業(yè) 頻域分析法 是利用頻率特性來研究系統(tǒng) 一 什么是頻率特性 頻率響應(yīng) 指的是 不同頻率的正弦輸入信號作用下 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 具體哪些特性 二 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 三 頻率特性如何表示 數(shù)學(xué)形式 圖形 5 1頻率特性的基本概念 頻率特性的概念 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定 給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦 Ar 1 0 5 1 2 2 5 4 曲線如下 給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦 其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入 同頻率的正弦 幅值隨 而變 相角也是 的函數(shù) 5 1頻率特性 A B 相角問題 穩(wěn)態(tài)輸出遲后于輸入的角度為 該角度與 有 A B 該角度與初始 A 稱幅頻特性 稱相頻特性 二者統(tǒng)稱為頻率特性 基本概念 物理意義 5 2 5 3 5 4 5 5 設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定 則正弦輸入時輸出為 C s s R s Cs s ct 0 系統(tǒng)穩(wěn)定 頻率特性 Cs s 一 什么是頻率特性 不同頻率的正弦輸入信號作用下 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號2 穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相位都隨頻率變化3 兩個定義幅頻特性 穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比 隨輸入的頻率變化 A 相頻特性 穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差 隨輸入的頻率變化 4 頻率特性 幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性它反映了在正弦輸入信號作用下 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號的關(guān)系 輸入 二 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 相頻特性 G j 根據(jù)定義 若已知傳遞函數(shù)G s 可直接得到頻率特性 G j G s s j 頻率特性是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型 是頻域中的數(shù)學(xué)模型 輸入 傳遞函數(shù) G s G j G s s j A ej P jQ A 三 頻率特性的表示 指數(shù)形式 實頻 虛頻 圖形表示 極坐標形式 用于描述頻率特性的幾種曲線 頻率特性的圖形表示 三種曲線 1 幅相頻率特性曲線 奈奎斯特曲線 極坐標圖 2 對數(shù)頻率特性曲線 伯德圖 波特圖 3 對數(shù)幅相曲線 尼柯爾斯曲線 1 幅相頻率特性曲線 幅相曲線 奈氏曲線 極坐標圖橫軸為實軸 縱軸為虛軸 構(gòu)成復(fù)數(shù)平面 對于一個確定的頻率 必有一個幅頻特性的幅值和一個相頻特性的相角與之對應(yīng) 幅值與相角在復(fù)平面上代表一個向量 當頻率 從0變化到 時 相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線 這條曲線就是幅相頻率特性曲線 簡稱幅相曲線 在幅相曲線上用箭頭表示出 增大時幅相曲線的變化方向 繪圖 起點 終點 特殊點 主要用于系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析 因為幅頻特性為 的偶函數(shù) 相頻特性為 的奇函數(shù) 所以 從0變化到 和 從0變化到 的幅相曲線關(guān)于實軸對稱 所以一般只畫出 從0變化到 的幅相曲線 2 對數(shù)頻率特性曲線 波特圖 伯德圖 Bode圖包括兩個圖 對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線橫坐標為角頻率 但采用對數(shù)lg 線性分度 對數(shù)幅頻曲線 縱坐標的單位是分貝 dB 線性分度記作 對數(shù)相頻曲線 縱坐標 單位是度 線性分度 通常將這兩個圖形上下放置 幅頻特性在上 相頻特性在下 且將縱軸對齊 便于求出同一頻率的幅值和相角的大小 將幅頻特性和相頻特性分別作圖 使系統(tǒng) 或環(huán)節(jié) 的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更加清晰 對數(shù)頻率特性曲線 橫坐標為角頻率 采用lg 分度 十倍頻程的長度相等 伯德圖優(yōu)點 展寬頻帶化幅值乘除為加減 易作近似幅頻特性曲線圖 對數(shù)分度優(yōu)點 擴大頻帶 但坐標原點處 不能為0 dec 對數(shù)坐標系 3 對數(shù)幅相曲線 又稱尼柯爾斯曲線Nichols 橫坐標 相角 單位 度 縱坐標 L 單位 分貝db 為參量均為線性分度 L 一 什么是頻率特性 二 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 三 頻率特性如何用圖形表示 5 1頻率特性的基本概念 5 2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示 一 典型環(huán)節(jié)的幅相曲線 極坐標圖 二 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線 伯德圖 四 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五 對于最小相位系統(tǒng) 如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù) 典型環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié) K 慣性環(huán)節(jié) 1 Ts 1 式中T 0 一階微分環(huán)節(jié) Ts 1 式中T 0 5 2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性 積分環(huán)節(jié) 1 s 微分環(huán)節(jié) s 振蕩環(huán)節(jié) 1 s n 2 2 s n 1 式中 n 0 00 0 1 5 2 1幅相曲線和對數(shù)幅頻特性 相頻特性的繪制 5 1 5 3 5 4 5 5 5 2 3 5 2 2 比例環(huán)節(jié)的頻率特性是G j K 幅相曲線如下左圖 比例環(huán)節(jié) 圖5 4比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線 比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別是 L 20lg G j 20lgK和 0 相應(yīng)曲線如上右圖 動畫演示 積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是L 20lg 過 1 0 點斜率 20db dec而相頻特性是 90o 積分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)G s s和G j j 2L 20lg 而相頻特性是 90o 動畫演示 注意 傳遞函數(shù)互為倒數(shù) 伯德圖中對數(shù)幅頻特性曲線 關(guān)于0db線對稱對數(shù)相頻特性曲線 關(guān)于0 線對稱 G s s 1 T L 20lg T 20 lg lg1 T 一階微分環(huán)節(jié)G s Ts 1 慣性環(huán)節(jié) G s 1 Ts 1 1 T L 20lg T 20 lg lg1 T 補充2 轉(zhuǎn)折頻率 補充1 近似 低頻 高頻 極坐標圖 當 由零至無窮大變化時 慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖是正實軸下方的半個圓周 證明如下 這是一個標準圓方程 其圓心坐標是 半徑為 且當 由時 由 說明慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖是實軸下方半個圓周 推廣 當慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時 即其極坐標圖是圓心為 半徑為的實軸下方半個圓周 當時 當 用兩條直線近似描述慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性 即在的低頻段時 與零分貝線重合 在的高頻段時 是一條斜率為 20 dB dec 的直線 上述兩條直線在處相交 交點頻率稱為交接頻率 由這兩條直線構(gòu)成的折線稱為對數(shù)幅頻特性的漸近線 慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖4 14所示 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是其對數(shù)幅頻特性是 很明顯 距離交接頻率愈遠 愈能滿足近似條件 用漸近線表示對數(shù)幅頻特性的精度就愈高 反之 距離交接頻率愈近 漸近線的誤差愈大 等于交接頻率時 誤差最大 最大誤差為 時的誤差是時的誤差是誤差曲線對稱于交接頻率 如圖4 15所示 由圖4 15可知 慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率上下十倍頻程范圍內(nèi) 交接頻率十倍頻以上的誤差極小 可忽略 經(jīng)過修正后的精確對數(shù)幅頻特性如圖4 14所示 慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為 4 75 當時 當時 當時 對應(yīng)的相頻特性曲線如圖4 14所示 它是一條由00至 900范圍內(nèi)變化的反正切函數(shù)曲線 且以和的交點為斜對稱 G s Ts 1 振蕩環(huán)節(jié) G s 1 s n 2 2 s n 1 圖5 11振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線 動畫演示 n時L 40lg n 40 lg lg n n為轉(zhuǎn)折頻率 諧振頻率 r與諧振峰值Mr 當阻尼比 比較小時 在轉(zhuǎn)折頻率 n附近將出現(xiàn)諧振峰值 推導(dǎo)定位38頁 積分環(huán)節(jié)L 20 20 20 20 20 20 微分環(huán)節(jié)L 慣性環(huán)節(jié)G j tg 10 5 0 1 14 5 0 97 26 6 0 89 45 0 71 63 4 68 2 76 84 0 450 370 240 05 慣性環(huán)節(jié)L 20 20 26dB 一階微分L 20 20 振蕩環(huán)節(jié)G j 0 1 0 0 707 振蕩環(huán)節(jié)G j 幅相曲線 Nyquist曲線 振蕩環(huán)節(jié)L 40 振蕩環(huán)節(jié)再分析 n r 0 0 707 40 2 n n 2 2 n S 2 S k s G w xw w 二階微分 幅相曲線 對數(shù)幅頻漸近曲線 40 n 0 0 707時有峰值 幾點說明 時滯環(huán)節(jié) 5 2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示 一 典型環(huán)節(jié)的幅相曲線 極坐標圖 二 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線 伯德圖 四 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五 對于最小相位系統(tǒng) 如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù) 1 開環(huán)傳遞函數(shù)Gk s 2 將s j 帶入 得到開環(huán)頻率特性Gk j 并寫出幅頻A 相頻 實部P 和虛部Q 3 確定起點 0 和終點 4 確定與負實軸 虛軸的交點5 所在象限 單調(diào)性 5 2 2開環(huán)幅相曲線的繪制P198 5 2 2開環(huán)幅相曲線的繪制 5 2 1 5 2 3 起點 終點 對于0型系統(tǒng) v 0 起點 K j0 I型系統(tǒng) v 1 起于一條平行于虛軸的漸近線上 與虛軸距離Vx II型系統(tǒng) v 2 起于一條平行于實軸的漸近線上 與實軸距離Vy 起點 例題1 繪制的幅相曲線 解 求交點 曲線如圖所示 開環(huán)幅相曲線的繪制 無實數(shù)解 與虛軸無交點 例題 1 已知 繪制幅相頻率特性曲線 2 已知 繪制幅相頻率特性曲線 5 2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示 一 典型環(huán)節(jié)的幅相曲線 極坐標圖 二 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線 伯德圖 見前面內(nèi)容四 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五 對于最小相位系統(tǒng) 如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù) 畫法1 根據(jù)疊加性質(zhì)畫圖 5 2 2開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制 畫法2 簡便方法畫圖 兩種畫法 各典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性之和 各典型環(huán)節(jié)相頻特性之和 疊加 斜率相加 方法2 簡便畫法P202 一般的近似對數(shù)幅頻特性曲線有如下特點 重點掌握 1 最左端直線斜率為 20 dB dec 是積分環(huán)節(jié)數(shù) 1 開環(huán)傳函化成若干個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的時間常數(shù)標準形式2 除了比例 積分和微分環(huán)節(jié)外 對于其它一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié) 確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率 并從小到大依次畫在橫坐標上 然后按下面方法繪制 2 最左端直線或其延長線 當w 1的頻率范圍內(nèi)有轉(zhuǎn)折頻率時 過 1 201gK分貝 點和 K1 0dB 點 3 在轉(zhuǎn)折頻率處 折線斜率發(fā)生改變 改變多少取決于典型環(huán)節(jié)種類 在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率之后 斜率減少20dB dec 而在二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率后 斜率減少40dB dec 一二階微分環(huán)節(jié)后 斜率增加 20 根據(jù)典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線 例5 1系統(tǒng)開環(huán)傳函為 試繪制系統(tǒng)的Bode曲線 解 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線 例5 2 繪制L 例題 20 40 20 40 低頻段經(jīng)過以下兩點 1 32 40 0 5 2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示 一 典型環(huán)節(jié)的幅相曲線 極坐標圖 二 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線 伯德圖 四 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五 對于最小相位系統(tǒng) 如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù) 5 2 3最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)的區(qū)別 最小相角 相位 系統(tǒng)的開環(huán)零點 極點均在s平面的左半平面 在s平面的右半平面有零點或極點的系統(tǒng)是非最小相角系統(tǒng) 幅頻特性相同 但對數(shù)相頻曲線卻不相同 最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng) 只要根據(jù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù) 如 5 2 1 5 2 2 注意 高低頻的近似 已知最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線 求開環(huán)傳遞函數(shù) 例5 3 波特圖判定最小相位系統(tǒng)低頻段 斜率為 20vdb dec 相角 90v高頻段 斜率為 20 n m db dec相角 90o n m 1 應(yīng)用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性 其中開環(huán)頻率特性可部分實驗求取 2 便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的改變對穩(wěn)定性影響 3 可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性 4 可以推廣到非線性研究 Nyquist判據(jù)的特點 Nyquist判據(jù) 開環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 5 3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈氏穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo)奈氏穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)在0型 I型及以上系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用奈氏判據(jù)在波特圖中的應(yīng)用 5 3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 一 幅角定理 在s平面上任選一復(fù)數(shù)s 通過復(fù)變函數(shù)F s 的映射關(guān)系在F s 平面上可以找到s相應(yīng)的象 若在F s 的零 極點分布圖上 選擇A點 使s從A點開始移動 繞F s 的零點Zi順時針依曲線 s s不通過任何零極點 轉(zhuǎn)一周回到A 相應(yīng)地 F s 也可從B點出發(fā)回到B 也畫出一條封閉曲線 F 若s依 s變化時 F s 相角的變化為 則有 從圖中可以看出 除 之外 其它各項均為零 F s 2 表示 s的象 F從B點開始再回到B點繞著原點順時針轉(zhuǎn)了一圈 幅角定理 設(shè)封閉曲線 s上沒有F s 的零點和極點 而在封閉曲線 s內(nèi)部有Z個F s 零點 P個F s 極點 則s沿著 s順時針轉(zhuǎn)一圈時 在F s 平面上 F s 曲線繞原點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為P與Z之差 即R P Z 同理 若 s繞F s 的極點順時針轉(zhuǎn)一圈時 在F s 上 s的象 F繞原點反時針轉(zhuǎn)一圈 由此 可得映射的幅角定理 二 F s 的確定 1 其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根 2 其零極點個數(shù)相同 3 F s 和開環(huán)傳遞函數(shù)Gk s 只差常數(shù) 設(shè) 則 定義一個輔助函數(shù) 輔助函數(shù)F s 有如下特點 Gk s F s 1 F s 0 Gk s 1F s 平面的原點對應(yīng)Gk s 平面的 1 j0 幅角定理 設(shè)封閉曲線 s上沒有F s 的零點和極點 而在封閉曲線 s內(nèi)部有Z個F s 零點 P個F s 極點 則s沿著 s順時針轉(zhuǎn)一圈時 在F s 平面上 F s 曲線繞原點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為P與Z之差 即R P Z 推出 設(shè)封閉曲線 s上沒有F s 的零點和極點 而在封閉曲線 s內(nèi)部有Z個閉環(huán)極點 P個開環(huán)極點 則s沿著 s順時針轉(zhuǎn)一圈時 在Gk s 平面上 Gk s 曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為P與Z之差 即R P Z 即Z P R 三 閉合曲線 s的選擇 S平面 將 s取為D型圍線 也叫奈氏路徑即 順時針包含整個s右半平面 具體組成 正虛軸 s j 由0變化到 右半平面 半徑 為無窮大的半圓 為無窮大 90o 90o 且為順時針方向負虛軸 s j 由 變化到0 當s沿正虛軸變化時 在Gk平面上得到的是開環(huán)頻率特性Gk j 的曲線 由0 當s沿右半圓順時針變化時 在Gk平面上得到的是一個點 Gk 常數(shù) 當s沿負虛軸變化時 在Gk平面上得到的是開環(huán)頻率特性Gk j 的曲線即S沿著型圍線 s順時針變化時 在Gk平面上得到的是開環(huán)頻率特性Gk j 的曲線 由 0 以及一個點 設(shè)封閉曲線 s上沒有F s 的零點和極點 而在封閉曲線 s內(nèi)部有Z個閉環(huán)極點 P個開環(huán)極點 則s沿著 s順時針轉(zhuǎn)一圈時 在Gk s 平面上 Gk s 曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為P與Z之差 即R P Z 即Z P R 設(shè)封閉曲線 s上沒有F s 的零點和極點 而在整個s右半平面有Z個閉環(huán)極點 P個開環(huán)極點 當 從 0 變化時 開環(huán)頻率特性Gk j 的幅相曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)為R 有R P Z 即Z P R 顯然Z 0時系統(tǒng)穩(wěn)定 四 Nyquist判據(jù) Z P RZ 0時 系統(tǒng)穩(wěn)定 Z 在右半平面閉環(huán)特征根 閉環(huán)極點 的個數(shù) R 從 0 開環(huán)頻率特性Gk j 的幅相曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) P 在右半平面開環(huán)特征根 開環(huán)極點 的個數(shù) 由于頻率特性關(guān)于實軸對稱 奈氏判據(jù)可簡化為 N 從0 開環(huán)幅相曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) Z P 2NZ 0時 穩(wěn)定 Z 在右半平面閉環(huán)極點的個數(shù) N 從0 開環(huán)幅相曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) P 在右半平面開環(huán)極點的個數(shù) Z P 2NZ 0時 系統(tǒng)穩(wěn)定 奈氏穩(wěn)定判據(jù) 注意 當開環(huán)傳遞函數(shù)中含有v個積分環(huán)節(jié)一定要補畫 方法 從原開環(huán)幅相曲線起始點到正實軸逆時針虛線補畫半徑無窮大的圓弧 當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)時 設(shè) 當 0時 即對 型系統(tǒng) 有 為避免 s經(jīng)過Gk s 的極點 可采用一無限小的圓弧來繞過這些位于虛軸上的開環(huán)極點 從而可以應(yīng)用Nyquist判據(jù) 繞過原點處的極點會產(chǎn)生何種影響呢 S平面上原點映射到Gk s 平面上的無窮遠處 而s從 s上的a點移至c點時 在s 0附近 在a點 故 在c點 故 在b點 故 可見 半徑為 1的小圓弧在Gk s 上的映射是半徑無窮大的v 2個圓 其方向為順時針 再考慮到Gk j 幅相曲線從 0至 1圓弧僅考慮bc 故在應(yīng)用Nyquist判據(jù)時 遇到開環(huán)傳遞函數(shù)有原點處極點 即有積分環(huán)節(jié) 的情況 應(yīng)對Gk j 從頻率0 對應(yīng)的點開始 逆時針方向補畫v 4個無窮大半徑的圓 Z 在右半平面閉環(huán)特征根 閉環(huán)極點 的個數(shù) N 在 G 平面 從0 開環(huán)幅相曲線繞 1 j0 點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) P 在右半平面開環(huán)特征根 開環(huán)極點 的個數(shù) Z P 2NZ 0時 穩(wěn)定 奈氏穩(wěn)定判據(jù) 注意 當開環(huán)傳遞函數(shù)中含有v個積分環(huán)節(jié)一定要補畫 方法 從原開環(huán)幅相曲線起始點到正實軸逆時針虛線補畫半徑無窮大的圓弧 試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性 例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 解 該系統(tǒng)開環(huán)幅相圖如右 由圖中G s H s 的G j H j 曲線不包圍 1 j0 點可知 該系統(tǒng)穩(wěn)定 事實上 本題中 只要K T1 T2均大于零 G j H j 的幅角只會在0 1800內(nèi)變化 不會與負實軸相交 因而不會包圍 1 j0 點 因此只要K T1 T2均為正數(shù) 系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 例 某單位反饋系統(tǒng) 試用Nyquist判據(jù)判斷其穩(wěn)定性 解 系統(tǒng)的開環(huán)幅相圖如右 由于有二階積分環(huán)節(jié) 補畫半圓 可見 幅相曲線包圍 1 j0 點一次 而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 例 試判斷下列系統(tǒng)K 2時閉環(huán)是否穩(wěn)定 并確定臨界放大系數(shù) 解 由幅相曲線可知 K 2時系統(tǒng)不穩(wěn)定 令上式虛部等于零 得 即 將 代入G j H j 得 令 可得 由幅相曲線可知 不同K值時 例判斷以下系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性 從 0 開始 逆時針補畫 90 半徑為無窮大的圓弧 Z P 2N為 1 j0 點或零分貝值以左的穿越次數(shù) 穿越時 頻率增大方向 相角增大為正穿越N 相角減小為負穿越N 未穿透為半次穿越 奈氏判據(jù)的具體應(yīng)用 利用正負穿越 例 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定 則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不包圍 1 j0 點 若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 在s右半平面有p個開環(huán)極點 則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線反時針方向包圍 1 j0 點p 2次 Nyquist判據(jù)可分為兩種情況 證明 將 s取為虛軸和右半平面半徑 為無窮的圓 幅角原理的p和z則表示F s 位于右半s平面的開環(huán)極點和零點的個數(shù) BACK S平面 故s沿 s順時針環(huán)繞一圈時 在F s 平面上 F繞原點反時針圈數(shù)為R p z 若系統(tǒng)穩(wěn)定 則F s 1 G s H s 在s平面的右半部 即 s所圍區(qū)域內(nèi) 沒有零點 閉環(huán)極點 即環(huán)繞F s 原點數(shù)為R p z z 0 p 為進一步簡化 我們不作F s 曲線 僅畫G s H s 曲線 由前所述 F s 與G s H s 僅差單位1 G s H s 曲線是將F s 平移 左移 一個單位而得 從G s H s 圖上看 F s 原點相當于G s H s 圖上的 1 j0 點 S平面 GH F S 平面 F 因此 在G s H s 圖上 若希望系統(tǒng)穩(wěn)定 G s H s 的曲線環(huán)繞 1 j0 點次數(shù)為R p 0 這里p為開環(huán)系統(tǒng)在右s平面的極點數(shù) 由于我們做幅相圖時 j 取 0到 因而僅是 s的部分路徑 對于 的半圓倒無妨 反正它退化在G s H s 平面上的原點鄰域 與 1 j0 點并無關(guān)系 因此 結(jié)論成立 定理證畢 五 Nyquist判據(jù)在對數(shù)頻率特性中的應(yīng)用 在開環(huán)G j H j 平面上的單位圓反映到對數(shù)坐標圖上是0dB線 在G j H j 平面上負實軸反映到對數(shù)坐標圖上是 1800線 因此 G j H j 線不包圍 1 j0 點轉(zhuǎn)換到對數(shù)坐標上是 在L 0dB的頻段內(nèi) 相頻特性曲線不穿越 1800線 因此 Nyquist判據(jù)用在對數(shù)頻率特性上表達為 一個反饋控制系統(tǒng) 其閉環(huán)特征正實部根的個數(shù)Z 可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點個數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻段內(nèi) 對數(shù)相頻曲線與 1800線的正負穿越之差N N N 確定 即Z P 2N 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z 0 N p 2 幅相曲線 對數(shù)頻率特性曲線N N 請看下例 由幅相圖上看 幅相曲線包圍 1 j0 點的圈數(shù)為0 此結(jié)論也可以根據(jù) 增加時的幅相曲線穿越負實軸來確定 將由下往上穿越稱為負穿越 如C點 而將由上往下稱為正穿越 如B點 A點不必考慮 僅考慮負實軸上 1 部分 即0dB以上部分 C 把 增加時 相角 減少的稱負穿越 把 增加時 相角 增加的稱正穿越 同樣地 當G s H s 包含積分環(huán)節(jié)時 在對數(shù)相頻曲線上 為0 的地方 應(yīng)補畫一條從相角0度到G j0 H j0 的虛線 將虛線的穿越也算入穿越的統(tǒng)計內(nèi) 例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用對數(shù)頻率判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 40dB dec 60dB dec 1 T 解 系統(tǒng)伯德圖如右 由于p 0 故z 0 2 1 2所以系統(tǒng)不穩(wěn)定 且可以進一步指明 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程右半s平面根的個數(shù)z 2 G s H s 有兩個積分環(huán)節(jié) 相頻特性從 1800開始 但需從00線補畫一虛線在 0 處 故N N N 1 例 幅相曲線與對數(shù)頻率特性曲線穩(wěn)定判據(jù)比較 5 4穩(wěn)定裕度 工程上要求系統(tǒng)穩(wěn)定 即要求最小相位系統(tǒng)的幅相圖曲線不包括 1 j0 點 若能保證不但不包括 1 j0 點 而且離 1 j0 點有一定距離 則系統(tǒng)在受到環(huán)境溫度 元件參數(shù)變化所影響后 幅相曲線也不會包圍 1 j0 點 則稱系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量 穩(wěn)定裕度 量 相角裕度 量 和幅值裕度 量 相角裕度是指在幅值等于1的頻率上 使系統(tǒng)達到穩(wěn)定邊界所富余的相角遲后量 1800 c c G j H j 曲線與單位圓交點處的頻率 幅值穿越頻率 截止頻率 幅值裕度指G j H j 相角等于 1800時 G j H j 與負實軸交點處幅值 G j g H j g 的倒數(shù) g G j H j 曲線與負實軸交點處的頻率 相角穿越頻率 相角裕度表示使系統(tǒng)到達穩(wěn)定邊界所允許增加的開環(huán)傳遞函數(shù)的相位滯后 1800 c 幅值裕度表示使系統(tǒng)到達穩(wěn)定邊界所允許增大的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大倍數(shù) 系統(tǒng)穩(wěn)定 則h 1 0 通常把對數(shù)頻率特性分為低頻區(qū) 中頻區(qū)和高頻區(qū) 5 5對數(shù)頻率特性和系統(tǒng)性能的關(guān)系 1 低頻區(qū) 一般指第一個轉(zhuǎn)折頻率之前的部分 系統(tǒng)低頻區(qū)的特性決定系統(tǒng)的靜態(tài)性能的好壞 低頻特性漸進線決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 低頻特性漸進線是0dB dec的系統(tǒng)是0型系統(tǒng) 低頻特性漸進線是 20vdB dec的系統(tǒng)是v型系統(tǒng) 1型系統(tǒng)低頻漸進線的斜率是 20dB dec 作低頻漸進線的延長線與0dB線相交 交點的頻率數(shù)值就是系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)KV 如下圖 確定K值有兩種方法 均基于積分環(huán)節(jié)的如下公式 2 設(shè)低頻漸進線 或其延長線 于0dB交于 k 由 得 20dB dec 1 k 20lgK 20dB dec 20lgK 1 k K 1 K 1 同理 對2型系統(tǒng) 有 得 因此 0型系統(tǒng)的Kp可以通過低頻特性漸進線之高度來確定 1型系統(tǒng)的Kv k 2型系統(tǒng)的Ka k2 例 根據(jù)Bode圖確定傳遞函數(shù) 并求穿越頻率 c 解 該開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 顯然這是2型系統(tǒng) K 102 由圖中可得 即 而依 20dB dec線段 2距 1為100倍 2 dec 所以 2 中頻區(qū) 中頻區(qū)對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響最大 中頻區(qū)一段是指幅值穿越頻率 c附近的頻段 習(xí)慣上把零分貝線上 30dB至零分貝線下 15dB稱為中頻區(qū) c反映系統(tǒng)的快速性 c附近的幅頻特性的斜率決定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 斜率越大 超調(diào)量越小 最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性與相頻特性有對應(yīng)關(guān)系 對數(shù)幅頻特性斜率越大 其相角遲后越小 相位裕度也越大 超調(diào)量就較小 通常在 c附近的斜率應(yīng)取 20dB dec 這個要求往往通過設(shè)計系統(tǒng)時加以適當?shù)男Ｕh(huán)節(jié)來達到 2與 3離 c越遠 系統(tǒng)的超調(diào)量越小 3 高頻區(qū) 高頻區(qū)對應(yīng)于系統(tǒng)的小時間常數(shù) 系統(tǒng)存在一個或數(shù)個小時間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié) 它們將使高頻區(qū)幅頻特性出現(xiàn)轉(zhuǎn)折 使系統(tǒng)的相