高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 13_2 綜合法、分析法與反證法課件 理 北師大版

基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 綜合法 知識梳理 1 定義 從出發(fā) 利用定義 公理 定理及運(yùn)算法則 通過 一步一步地接近要證明的 直到完成命題的證明 我們把這樣的思維方法稱為 2 框圖表示 其中P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 Q表示要證明的結(jié)論 命題的條件 演繹推理 結(jié)論 綜合法 2 分析法 1 定義 從出發(fā) 一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的 直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件 或者歸結(jié)為定義 公理 定理等 我們把這樣的思維方法稱為 求證的結(jié)論 充分條件 分析法 3 反證法 我們可以先假定命題結(jié)論的 在這個(gè)前提下 若推出的結(jié)果與定義 公理 定理相矛盾 或與命題中的已知條件相矛盾 或與假定相矛盾 從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立 由此斷定命題的結(jié)論成立 這種證明方法叫作反證法 反證法的證題步驟是 1 作出否定結(jié)論的假設(shè) 2 進(jìn)行推理 導(dǎo)出 3 否定假設(shè) 肯定 反面成立 矛盾 結(jié)論 判斷下列結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 綜合法是直接證明 分析法是間接證明 2 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件 3 用反證法證明結(jié)論 a b 時(shí) 應(yīng)假設(shè) a b 4 反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定 推出矛盾 5 在解決問題時(shí) 常常用分析法尋找解題的思路與方法 再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程 考點(diǎn)自測 1 若a b c為實(shí)數(shù) 且a b 0 則下列命題正確的是 答案 解析 a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 2 2016 北京 袋中裝有偶數(shù)個(gè)球 其中紅球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三個(gè)空盒 每次從袋中任意取出兩個(gè)球 將其中一個(gè)球放入甲盒 如果這個(gè)球是紅球 就將另一個(gè)球放入乙盒 否則就放入丙盒 重復(fù)上述過程 直到袋中所有球都被放入盒中 則A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B 乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C 乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D 乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 答案 解析 取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況 紅 紅 則乙盒中紅球數(shù)加1 黑 黑 則丙盒中黑球數(shù)加1 紅 黑 紅球放入甲盒中 則乙盒中黑球數(shù)加1 黑 紅 黑球放入甲盒中 則丙盒中紅球數(shù)加1 因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣 所以 和 的情況一樣多 和 的情況完全隨機(jī) 和 對B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響 和 出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的 所以對B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣 綜上選B a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 答案 解析 a 0 b 0且a b 答案 解析 答案 解析 f x sinx在區(qū)間 0 上是凸函數(shù) 且A B C 0 題型分類深度剖析 題型一綜合法的應(yīng)用 例1 2016 重慶模擬 設(shè)a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 證明 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè)得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 證明 1 綜合法是 由因?qū)Ч?的證明方法 它是一種從已知到未知 從題設(shè)到結(jié)論 的邏輯推理方法 即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷 命題 出發(fā) 經(jīng)過一系列中間推理 最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性 2 綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1對于定義域?yàn)?0 1 的函數(shù)f x 如果同時(shí)滿足 對任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱函數(shù)f x 為理想函數(shù) 1 若函數(shù)f x 為理想函數(shù) 證明 f 0 0 證明 取x1 x2 0 則x1 x2 0 1 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 又對任意的x 0 1 總有f x 0 f 0 0 于是f 0 0 解答 對于f x 2x x 0 1 f 1 2不滿足新定義中的條件 f x 2x x 0 1 不是理想函數(shù) 對于f x x2 x 0 1 顯然f x 0 且f 1 1 對任意的x1 x2 0 1 x1 x2 1 f x1 x2 f x1 f x2 即f x1 x2 f x1 f x2 f x x2 x 0 1 是理想函數(shù) 綜上 f x x2 x 0 1 是理想函數(shù) 即f2 x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 x2 f x1 f x2 不滿足條件 題型二分析法的應(yīng)用 證明 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需證明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即證1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即證cos x1 x2 1 引申探究 證明 由于x1 x2 R時(shí) 0 0 1 逆向思考是用分析法證題的主要思想 通過反推 逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件 正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵 2 證明較復(fù)雜的問題時(shí) 可以采用兩頭湊的辦法 即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià) 或充分 的中間結(jié)論 然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論 從而使原命題得證 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 2016 重慶月考 設(shè)a 0 b 0 2c a b 求證 1 c2 ab 證明 證明 a c 2 c2 ab a a b 2c 0成立 原不等式成立 題型三反證法的應(yīng)用 命題點(diǎn)1證明否定性命題例3等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn a1 1 S3 9 3 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn 解答 2 設(shè)bn n N 求證 數(shù)列 bn 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列 證明 p r 與p r矛盾 假設(shè)不成立 即數(shù)列 bn 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列 命題點(diǎn)2證明存在性問題例4 2016 濟(jì)南模擬 若f x 的定義域?yàn)?a b 值域?yàn)?a b a b 則稱函數(shù)f x 是 a b 上的 四維光軍 函數(shù) 解答 由題設(shè)得g x x 1 2 1 其圖像的對稱軸為x 1 區(qū)間 1 b 在對稱軸的右邊 所以函數(shù)在區(qū)間 1 b 上單調(diào)遞增 由 四維光軍 函數(shù)的定義可知 因?yàn)閎 1 所以b 3 g 1 1 g b b 2 是否存在常數(shù)a b a 2 使函數(shù)h x 是區(qū)間 a b 上的 四維光軍 函數(shù) 若存在 求出a b的值 若不存在 請說明理由 解答 解得a b 這與已知矛盾 故不存在 命題點(diǎn)3證明唯一性命題例5已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合 對任意f x M 方程f x x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)f x 的導(dǎo)數(shù)f x 滿足0 f x 1 解答 當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 所以方程f x x 0有實(shí)數(shù)根0 2 集合M中的元素f x 具有下面的性質(zhì) 若f x 的定義域?yàn)镈 則對于任意 m n D 都存在x0 m n 使得等式f n f m n m f x0 成立 試用這一性質(zhì)證明 方程f x x 0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 證明 假設(shè)方程f x x 0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根 則f 0 f 0 不妨設(shè) 根據(jù)題意存在c 滿足f f f c 因?yàn)閒 f 且 所以f c 1 與已知0 f x 1矛盾 又f x x 0有實(shí)數(shù)根 所以方程f x x 0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題 一般有以下幾個(gè)步驟 第一步 分清命題 p q 的條件和結(jié)論 第二步 作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q 第三步 由p和綈q出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾結(jié)果 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈q不真 于是原結(jié)論q成立 從而間接地證明了命題p q為真 所說的矛盾結(jié)果 通常是指推出的結(jié)果與已知公理 已知定義 已知定理或已知事實(shí)矛盾 與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果 思維升華 證明 f x 的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) f x 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 證明 典例 12分 直線y kx m m 0 與橢圓W y2 1相交于A C兩點(diǎn) O是坐標(biāo)原點(diǎn) 1 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 0 1 且四邊形OABC為菱形時(shí) 求AC的長 2 當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí) 證明 四邊形OABC不可能為菱形 反證法在證明題中的應(yīng)用 思想與方法系列26 思想方法指導(dǎo) 規(guī)范解答 在證明否定性問題 存在性問題 唯一性問題時(shí)?？紤]用反證法證明 應(yīng)用反證法需注意 1 掌握反證法的證明思路及證題步驟 正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ) 應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段 得到矛盾是反證法的目的 2 當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯 直接證明不清晰或正面證明分類較多 而反面情況只有一種或較少時(shí) 常采用反證法 3 利用反證法證明時(shí) 一定要回到結(jié)論上去 返回 1 解因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形 則AC與OB相互垂直平分 由于O 0 0 B 0 1 2 證明假設(shè)四邊形OABC為菱形 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn) 且AC OB 所以k 0 設(shè)A x1 y1 C x2 y2 則 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn) 且m 0 k 0 所以O(shè)ABC不是菱形 與假設(shè)矛盾 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí) 四邊形OABC不可能是菱形 12分 返回 課時(shí)作業(yè) 1 2017 泰安質(zhì)檢 用反證法證明命題 設(shè)a b為實(shí)數(shù) 則方程x2 ax b 0至少有一個(gè)實(shí)根 時(shí) 要做的假設(shè)是A 方程x2 ax b 0沒有實(shí)根B 方程x2 ax b 0至多有一個(gè)實(shí)根C 方程x2 ax b 0至多有兩個(gè)實(shí)根D 方程x2 ax b 0恰好有兩個(gè)實(shí)根 答案 解析 因?yàn)?方程x2 ax b 0至少有一個(gè)實(shí)根 等價(jià)于 方程x2 ax b 0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根 所以該命題的否定是 方程x2 ax b 0沒有實(shí)根 故選A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 當(dāng)且僅當(dāng)x y z時(shí)等號成立 A 都大于2B 至少有一個(gè)大于2C 至少有一個(gè)不小于2D 至少有一個(gè)不大于2 所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2 故選C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 4 已知p3 q3 2 證明 p q 2 用反證法證明時(shí) 可假設(shè)p q 2 若a b R a b 1 求證 方程x2 ax b 0的兩根的絕對值都小于1 用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1 即假設(shè) x1 1 以下結(jié)論正確的是A 與 的假設(shè)都錯(cuò)誤B 的假設(shè)正確 的假設(shè)錯(cuò)誤C 與 的假設(shè)都正確D 的假設(shè)錯(cuò)誤 的假設(shè)正確 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 對于 結(jié)論的否定是p q 2 故 中的假設(shè)錯(cuò)誤 對于 其假設(shè)正確 故選D 5 設(shè)a b是兩個(gè)實(shí)數(shù) 給出下列條件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一個(gè)大于1 的條件是A B C D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 但a2 故 推不出 若a 2 b 3 則ab 1 故 推不出 對于 即a b 2 則a b中至少有一個(gè)大于1 反證法 假設(shè)a 1且b 1 則a b 2與a b 2矛盾 因此假設(shè)不成立 a b中至少有一個(gè)大于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 7 2016 全國甲卷 有三張卡片 分別寫有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一張卡片 甲看了乙的卡片后說 我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2 乙看了丙的卡片后說 我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1 丙說 我的卡片上的數(shù)字之和不是5 則甲的卡片上的數(shù)字是 答案 解析 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由丙說 我的卡片上的數(shù)字之和不是5 可知 丙為 1和2 或 1和3 又乙說 我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1 所以乙只可能為 2和3 又甲說 我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2 所以甲只能為 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若二次函數(shù)f x 0在區(qū)間 1 1 內(nèi)恒成立 8 若二次函數(shù)f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在區(qū)間 1 1 內(nèi)至少存在一點(diǎn)c 使f c 0 則實(shí)數(shù)p的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以要證的不等式成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由函數(shù)f x 1 與f x 的圖像關(guān)于y軸對稱 可知f x 1 f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 證明 1 證明 函數(shù)f x 在 1 上為增函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 證明 任取x1 x2 1 不妨設(shè)x10 a 1 1且ax1 0 0 又 x1 1 0 x2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故函數(shù)f x 在 1 上為增函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 用反證法證明方程f x 0沒有負(fù)數(shù)根 證明 假設(shè)存在x0 0 x0 1 滿足f x0 0 a 1 0 ax0 1 故方程f x 0沒有負(fù)數(shù)根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2015 陜西 設(shè)fn x 是等比數(shù)列1 x x2 xn的各項(xiàng)和 其中x 0 n N n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 證明 Fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 則Fn 1 n 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又F n x 1 2x nxn 1 0 x 0 因?yàn)閤n是Fn x 的零點(diǎn) 所以Fn xn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng) 末項(xiàng) 項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列 其各項(xiàng)和為gn x 比較fn x 與gn x 的大小 并加以證明 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設(shè)h x fn x gn x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 所以h x 在 0 1 上遞增 在 1 上遞減 所以h x h 1 0 即fn x gn x 綜上所述 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法二由題設(shè) fn x 1 x x2 xn 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 當(dāng)x 1時(shí) 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn x gn x 所以f2 x g2 x 成立 假設(shè)n k k 2 時(shí) 不等式成立 即fk x gk x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 那么 當(dāng)n k 1時(shí) fk 1 x fk x xk 1 gk x xk 1 令hk x kxk 1 k 1 xk 1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 則h k x k k 1 xk k k 1 xk 1 k k 1 xk 1 x 1 所以當(dāng)0 x 1時(shí) h k x 0 hk x 在 0 1 上遞減 當(dāng)x 1時(shí) h k x 0 hk x 在 1 上遞增 所以hk x hk 1 0 故fk 1 x gk 1 x 即n k 1時(shí)不等式也成立 由 和 知 對一切n 2的整數(shù) 都有fn x gn x