高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2_1_2由曲線求它的方程由方程研究曲線的性質(zhì)課件新人教b版選修2_1

第二章2 1曲線與方程 2 1 2由曲線求它的方程 由方程研究曲線的性質(zhì) 1 了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的有關(guān)知識(shí)和觀點(diǎn) 感受曲線的實(shí)際背景 明確其刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題的作用 2 了解解析幾何的基本思想 明確它所研究的基本問題 3 初步掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法 同時(shí)進(jìn)一步加深理解 曲線的方程 方程的曲線 的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考1 知識(shí)點(diǎn)一坐標(biāo)法的思想 怎樣理解建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ) 答案 只有建立了平面直角坐標(biāo)系 才有點(diǎn)的坐標(biāo) 才能將曲線代數(shù)化 進(jìn)一步用代數(shù)法研究幾何問題 思考2 依據(jù)一個(gè)給定的平面圖形 選取的坐標(biāo)系唯一嗎 答案 不唯一 常以得到的曲線方程最簡(jiǎn)單為標(biāo)準(zhǔn) 梳理 1 坐標(biāo)法 借助于 通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線性質(zhì)的方法 2 解析幾何研究的主要問題 通過曲線研究方程 根據(jù)已知條件 求出 通過方程研究曲線 通過曲線的方程 研究 坐標(biāo)系 表示曲線的方程 曲線的性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)二求曲線的方程的步驟 有序?qū)崝?shù)對(duì) x y P M p M p M f x y 0 方程的解 f x y 0 題型探究 例1一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x 8的距離是它到點(diǎn)A 2 0 的距離的2倍 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 類型一直接法求曲線的方程 解答 設(shè)P x y 則 8 x 2 PA 則 8 x 2 化簡(jiǎn) 得3x2 4y2 48 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為3x2 4y2 48 引申探究若將本例中的直線改為 y 8 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 解答 設(shè)P x y 則P到直線y 8的距離d y 8 又 PA 故 y 8 2 化簡(jiǎn) 得4x2 3y2 16x 16y 48 0 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為4x2 3y2 16x 16y 48 0 直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法 1 關(guān)鍵 建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 找出所求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件 2 方法 求曲線的方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟 在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步驟 建系 設(shè)點(diǎn) 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件列方程 對(duì)所求的方程化簡(jiǎn) 說明 特別提醒 直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的突破點(diǎn)是將幾何條件代數(shù)化 反思與感悟 解答 設(shè)點(diǎn)P x y 由M 1 0 N 1 0 點(diǎn)P的軌跡方程為x2 y2 3 x 0 類型二代入法求解曲線的方程 例2動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2 y2 1上移動(dòng) M和定點(diǎn)B 3 0 連線的中點(diǎn)為P 求P點(diǎn)的軌跡方程 解答 設(shè)P x y M x0 y0 因?yàn)镻為MB的中點(diǎn) 又因?yàn)镸在曲線x2 y2 1上 所以 2x 3 2 4y2 1 所以P點(diǎn)的軌跡方程為 2x 3 2 4y2 1 反思與感悟 代入法求解軌跡方程的步驟 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P x y 相關(guān)動(dòng)點(diǎn)M x0 y0 2 利用條件求出兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系 3 代入相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 4 化簡(jiǎn) 整理 得所求軌跡方程 跟蹤訓(xùn)練2 ABC的頂點(diǎn)A固定 點(diǎn)A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)是2a 邊BC上的高的長(zhǎng)是b 邊BC沿一條定直線移動(dòng) 求 ABC外心的軌跡方程 解答 如圖所示 以BC所在的定直線為x軸 以過A點(diǎn)與x軸垂直的直線為y軸 建立直角坐標(biāo)系 則A點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 b 設(shè) ABC的外心為M x y 作MN BC于N 則MN是BC的垂直平分線 BC 2a BN a MN y 又M是 ABC的外心 M M MA MB 化簡(jiǎn) 得所求軌跡方程為x2 2by b2 a2 0 類型三根據(jù)曲線的方程求兩曲線的交點(diǎn) 例3過點(diǎn)M 1 2 的直線與曲線y a 0 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 且這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為a 求a的取值范圍 解答 當(dāng)過M點(diǎn)的直線斜率為零或斜率不存在時(shí) 不可能與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn) 設(shè)直線方程為y 2 k x 1 k 0 消去x 得y2 2 k y ka 0 當(dāng)此方程有兩個(gè)不同的根 即方程組有兩個(gè)不同的解時(shí) 直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 2 k 2 4ka 0 設(shè)方程 的兩根分別為y1 y2 由根與系數(shù)的關(guān)系 得y1 y2 2 k 又 y1 y2 a k 2 a 代入 0中 得a2 4a 2 a 0 解得0 a 又 k 0 2 a 0 即a 2 a的取值范圍是 0 2 2 反思與感悟 結(jié)合曲線方程的定義 兩曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為兩曲線的方程構(gòu)成的方程組的解 所以可以把求兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題 討論交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為討論方程組解的個(gè)數(shù)問題 若兩曲線C1和C2的方程分別為F x y 0和G x y 0 則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)由方程組的解來確定 跟蹤訓(xùn)練3直線l y k x 5 k 0 與圓O x2 y2 16相交于A B兩點(diǎn) O為圓心 當(dāng)k變化時(shí) 求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程 解答 設(shè)M x y 易知直線恒過定點(diǎn)P 5 0 再由OM MP 得 OP 2 OM 2 MP 2 x2 y2 x 5 2 y2 25 點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi) 所求的軌跡為圓內(nèi)的部分 當(dāng)堂訓(xùn)練 聯(lián)立方程組無解 1 曲線y 與xy 2的交點(diǎn)是A 1 1 B 2 2 C 直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)D 不存在 答案 解析 1 2 3 4 5 2 方程x2 y2 1 xy 0 表示的曲線是 答案 解析 xy0時(shí) y0 曲線應(yīng)在第二象限 且與坐標(biāo)軸均無交點(diǎn) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 直線與x y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程是 答案 解析 設(shè)直線與x y軸交點(diǎn)為A a 0 B 0 2 a A B中點(diǎn)為M x y 則x y 1 消去a 得x y 1 a 0 a 2 x 0 x 1 x y 1 0 x 0 x 1 1 2 3 4 5 4 已知 O的方程是x2 y2 2 0 O 的方程是x2 y2 8x 10 0 由動(dòng)點(diǎn)P向 O和 O 所引的切線長(zhǎng)相等 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 答案 解析 5 M為直線l 2x y 3 0上的一動(dòng)點(diǎn) A 4 2 為一定點(diǎn) 又點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng) 且AP PM 3 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 設(shè)點(diǎn)M P的坐標(biāo)分別為M x0 y0 P x y 解答 因?yàn)辄c(diǎn)M x0 y0 在直線2x y 3 0上 即8x 4y 3 0 從而點(diǎn)P的軌跡方程為8x 4y 3 0 1 2 3 4 5 規(guī)律與方法 求解軌跡方程常用方法 1 直接法 直接根據(jù)題目中給定的條件求解方程 2 定義法 依據(jù)有關(guān)曲線的性質(zhì)建立等量關(guān)系 從而確定其軌跡方程 3 代入法 有些問題中 其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出 但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn) 稱之為相關(guān)點(diǎn) 而運(yùn)動(dòng)的 如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的 或是可分析的 這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)