第3章 剛體力學(xué)基礎(chǔ).doc

第3章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)一、目的與要求1確切理解描述剛體平動和定軸轉(zhuǎn)動的基本物理定義及性質(zhì)，并掌握角量與線量的關(guān)系。2確切理解和掌握力矩、轉(zhuǎn)動慣量的概念及計(jì)算方法，掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程，熟練應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律求解剛體定軸轉(zhuǎn)動及與質(zhì)心聯(lián)動問題。3理解剛體轉(zhuǎn)動動能概念。掌握力矩的功，剛體的重力勢能，剛體的動能定理和機(jī)械能守恒定律。4確切理解角動量概念，并能對含有定軸轉(zhuǎn)動剛體在內(nèi)的系統(tǒng)正確應(yīng)用角動量定理及角動量守恒定律。5了解進(jìn)動現(xiàn)象和基本描述。二、內(nèi)容提要1剛體的基本運(yùn)動剛體的平動：剛體運(yùn)動時，在剛體內(nèi)所作的任一條直線始終保持和自身平行。其特點(diǎn)為：對剛體上任兩點(diǎn)和，它們的運(yùn)動軌跡相似，。因此描述剛體的平動時，可用其上任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動來代表。剛體的定軸轉(zhuǎn)動：剛體內(nèi)各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動，且各圓心在同一條固定不動的直線上。剛體的平面平行運(yùn)動：剛體上每一質(zhì)元均在平行于某一固定平面的平面中。2力矩和轉(zhuǎn)動慣量力矩：使剛體產(chǎn)生角加速度的外來作用轉(zhuǎn)動慣量：剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理：轉(zhuǎn)動慣量的垂直軸定理：3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的角加速度的乘積、均相對于同一轉(zhuǎn)軸。4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理力矩的功：轉(zhuǎn)動動能：動能定理：機(jī)械能守恒定律：系統(tǒng)（包括剛體）只有保守力作功時，系統(tǒng)的動能（包括轉(zhuǎn)動動能）與勢能之和為常量，即常量5剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理及其守恒定律角動量定理：對一固定軸的合外力矩等于剛體對該軸的角動量對時間的變化率，即角動量守恒定律：當(dāng)時，常量。6剛體的平面平行運(yùn)動動能：作平面平行運(yùn)動的動能等于質(zhì)心的平動動能與剛體繞過質(zhì)心的瞬時軸的轉(zhuǎn)動動能之和三、例題3-1 一輕繩繞于半徑為的圓盤邊緣，在繩端施以的拉力，圓盤可繞水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動，圓盤質(zhì)量為，圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動，試求（1）圓盤的角加速度及轉(zhuǎn)動的角度和時間的關(guān)系。（2）如以質(zhì)量的物體掛在繩端，再計(jì)算圓盤的角加速度及轉(zhuǎn)動的角度和時間的關(guān)系。分析 本題是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動問題，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律即可求出圓盤的角加速度，對轉(zhuǎn)動定律積分可求解。解 （1）圓盤所受的合外力矩為對圓盤用轉(zhuǎn)動定律，有因而角加速度為(1)由于，且時，積分（1）式，有得(2)而，且時，積分（2）式，有可得轉(zhuǎn)動角度和時間的關(guān)系為（2）設(shè)為繩子的張力，對圓盤，由轉(zhuǎn)動定律有(4)對物體，由牛頓定律，有(5)而(6)聯(lián)立（4）、（5）、（6）式，即可解得轉(zhuǎn)動角度與時間的關(guān)系為(7)由，且時，。通過對（7）式積分，即可得轉(zhuǎn)動角度與時間的關(guān)系為(8)說明 本題的第二問是典型的剛體與質(zhì)點(diǎn)連接的聯(lián)體問題，可采用隔離研究，對質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律，對剛體用轉(zhuǎn)動定律，并注意與（1）問的區(qū)別。同時，從（7）式可明顯看出，這類問題也可將系統(tǒng)看成一個轉(zhuǎn)動慣量為的剛體，運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律求解。3-2 長為，質(zhì)量分布不均勻的細(xì)桿，其線密度為（、為常量），細(xì)桿可繞軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，如圖所示，忽略軸的摩擦力，將桿從水平位置釋放，試求桿轉(zhuǎn)到鉛直位置時，桿所具有的角速度。分析 這是一個剛體繞定軸轉(zhuǎn)動問題。當(dāng)求細(xì)桿重力對軸的力矩時，因桿質(zhì)量不均勻，要先恰當(dāng)?shù)厍蟪鲈?，通過積分求，然后采用轉(zhuǎn)動定律形式，積分即可求。解 設(shè)時刻桿與垂線間的夾角為，由于桿的質(zhì)量不均勻，求重力對軸的力矩時，可在桿上取線元，該線元對軸的力矩為對軸的總力矩為 細(xì)桿的質(zhì)量不均勻，因此其對軸的轉(zhuǎn)動慣量為 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有積分變量替換代入上式化簡得初始條件時，當(dāng)轉(zhuǎn)到時，積分上式得說明 本題有多種解法。題中給出了用轉(zhuǎn)動定律求解的方法，也可用動能定理，機(jī)械能守恒定律求解。讀者可自己考慮。3-3 一均質(zhì)細(xì)桿，長為，質(zhì)量為，可繞通過一端的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖。一質(zhì)量為的子彈以速度射入細(xì)桿，子彈射入點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，試求（1）桿剛開始運(yùn)動時的角速度及可擺到的最大角度。（2）求軸上的橫向力為零時，子彈射入的位置（即打擊中心位置）。分析 子彈射入細(xì)桿過程中，子彈、細(xì)桿系統(tǒng)角動量守恒；細(xì)桿擺動時，機(jī)械能守恒，由兩守恒定律可求及。子彈射入細(xì)桿，細(xì)桿軸受力，軸受橫向力的沖量應(yīng)等于子彈、細(xì)桿系統(tǒng)動量的改變，橫向力時，即可求出打擊中心位置。解 （1）子彈射入細(xì)桿過程極其短暫，此過程中桿的位置還來不及變化，故子彈和細(xì)桿這個系統(tǒng)的重力對定軸無力矩，軸力當(dāng)然也無力矩，故這個系統(tǒng)在子彈射入過程中對定軸的角動量守恒(1)射入后子彈與桿共同擺動過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，取子彈射入處為勢能零點(diǎn) (2)聯(lián)立（1）、（2）可解得桿的角速度及可擺到的最大角度分別為（2）將子彈和細(xì)桿視為一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)受的外力為，如圖，設(shè)子彈打在距軸處，根據(jù)動量定理 (3)系統(tǒng)對軸角動量守恒，有 因而(4)將（4）式代入（3）式當(dāng)時，則解此方程得此即打擊中心的位置。說明 子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)受到外界對細(xì)桿轉(zhuǎn)軸的作用力，故系統(tǒng)動量不守恒，這一點(diǎn)需特別注意，但由于該作用力通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生力矩，系統(tǒng)角動量守恒，并且因該力通過轉(zhuǎn)軸，其力矩的功（實(shí)際上也就是力的功）為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，綜合角動量守恒，機(jī)械能守恒求解本題。另外，打擊中心即為使桿在軸處沿打擊方向橫向力為零時的打擊點(diǎn)。3-4 一質(zhì)量為的子彈，穿過與均勻細(xì)桿連接的物體后，速度由減至，設(shè)桿可繞過點(diǎn)的固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，桿長為，桿與物體的質(zhì)量均為，如圖，開始時，桿與物體靜止于鉛垂位置，物體的大小可以忽略不計(jì)，子彈與物體作用過程極短，試求，欲使物體與桿可以在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動，子彈的速度不能小于多少？分析 子彈、物體系統(tǒng)對軸角動量守恒，物體繞軸轉(zhuǎn)動機(jī)械能守恒，物體與桿恰能完成圓周運(yùn)動的條件是其轉(zhuǎn)到垂直位置時的動能為零，由此求解本題。解 假定子彈穿過物體后，物體與桿的角速度為，物體與桿轉(zhuǎn)動過程中，由機(jī)械能守恒及物體與桿恰能完成圓周運(yùn)動的條件，有解得子彈穿過物體，子彈、桿、物體組成系統(tǒng)對軸角動量守恒，因此解得所以說明 本題綜合運(yùn)用角動量守恒和機(jī)械能守恒求解，其關(guān)鍵在于分析守恒條件，子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)在細(xì)桿轉(zhuǎn)軸處受外力作用，但此力力矩為零，因此其力矩的功也為零，因而角動量、機(jī)械能守恒。3-5 如圖，有一長度為，質(zhì)量為的均勻細(xì)桿靜止水平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，另一質(zhì)量為水平運(yùn)動的小滑塊從側(cè)面沿垂直于桿的方向與桿的另一端相碰撞，并被反向彈回，碰撞時間極短。已知小滑塊與細(xì)桿碰撞前后的速率分別為和，求（1）碰撞后桿繞軸轉(zhuǎn)動的角速度；（2）碰撞后從桿開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動的過程中所需的時間。分析 滑塊與細(xì)桿碰撞角動量守恒，由此求細(xì)桿轉(zhuǎn)動的，此后，細(xì)桿受摩擦力矩作用轉(zhuǎn)速逐漸減為零，由摩擦力矩，根據(jù)角動量定理即可求出時間。解 （1）以桿和滑塊為研究系統(tǒng)。由于碰撞時間極短，桿所受到的摩擦力矩遠(yuǎn)小于滑塊的沖力矩，故可認(rèn)為合外力矩為零，因此系統(tǒng)的角動量守恒，即(1)解得（2）碰后桿在轉(zhuǎn)動過程中所受的摩擦力矩為(2)由角動量定理得(3)由式（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得說明 本題需注意兩點(diǎn)：（1）在處理碰撞問題時，通常因碰撞時間極短，摩擦力矩遠(yuǎn)小于碰撞產(chǎn)生的沖力矩，角動量守恒；（2）棒各處摩擦力矩不同，首先要寫出微元力矩，即，通過積分求摩擦力矩。3-6 如圖，兩個半徑分別為和的圓柱體，轉(zhuǎn)動慣量分別為和，分別可繞其軸轉(zhuǎn)動。最初大圓柱的角速度為，小圓柱不轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將小圓柱向右平移，碰到大圓柱后由于摩擦力的作用而被帶著轉(zhuǎn)動，最后兩圓柱無滑動地各自以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動。試求小圓柱和大圓柱的最終角速度。分析 大圓柱與小圓柱接觸后，由于摩擦力矩作用，大圓柱轉(zhuǎn)速減小，小圓柱轉(zhuǎn)速變大，最后穩(wěn)定。對兩圓柱分別應(yīng)用角動量定理，由兩圓柱摩擦力相等，穩(wěn)定后接觸點(diǎn)線速度相等，即可求出穩(wěn)定后兩圓柱角速度。解 兩圓柱體從接觸到穩(wěn)定只受摩擦力，其一對摩擦力，對兩圓柱體分別應(yīng)用角動量定理(1)(2)注意到。由（1）、（2）式可得(3)兩圓柱穩(wěn)定后，其接觸點(diǎn)線速度相等，即(4)由（3）、（4）式可解得小圓柱最終角速度：，大圓柱最終角速度：。說明 兩柱體從開始接觸到穩(wěn)定過程中，均受到外力矩作用，這一外力矩就是摩擦力矩，因此角動量不守恒，只能對兩柱體分別使用角動量定理求解。兩柱體達(dá)到穩(wěn)定后，兩柱體不再有相對滑動。因此，接觸點(diǎn)處線速度相同，故可得（4）式。3-7 如圖所示，長為的均勻細(xì)桿水平地放置在桌面上，質(zhì)心離桌邊緣的距離為，從靜止開始下落。已知桿與桌邊緣之間的摩擦系數(shù)為。試求：桿開始滑動時的臨界角。分析 細(xì)桿滑動前以點(diǎn)為軸在重力矩作用下轉(zhuǎn)動，細(xì)桿質(zhì)心做以點(diǎn)為圓心的圓周運(yùn)動，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律及質(zhì)心運(yùn)動定律即可求出點(diǎn)摩擦力與角關(guān)系，細(xì)桿開始滑動的臨界條件為。解 無滑動時，桿繞過點(diǎn)的固定軸做定軸轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動定律有(1)由平行軸定理求細(xì)桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量(2)無滑動時，桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，桿上各點(diǎn)做圓周運(yùn)動，對質(zhì)心，由牛頓運(yùn)動定律得(3)(4)桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，只有重力作功，機(jī)械能守恒，有得(5)將式（5）代入式（3），并利用式（2），得(6)將式（1）代入式（4），并利用式（2），得(7)開始滑動的臨界條件為(8)因此，由式（6）、（7）、（8），有式中為臨界角，整理可得說明 在一般涉及轉(zhuǎn)軸對剛體的作用力的問題中，除了要應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律外，一般還要用到質(zhì)心運(yùn)動定理，如本題。3-8 一長為的均勻薄窄平板，一端靠在摩擦略去不計(jì)的垂直墻壁上，另一端放在摩擦亦略去不計(jì)的水平地板上。開始時，木板靜止并與地板成角，當(dāng)松開木板后，木板下滑，試求木板脫離墻壁時，木板與地面間的夾角為多大？分析 木板運(yùn)動可看成木板質(zhì)心平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，木板下滑過程中，墻壁對其作用力，不作功，機(jī)械能守恒，由此可得木板繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度與角關(guān)系：。對木板由質(zhì)心運(yùn)動定律結(jié)合可得或與的關(guān)系。木板脫離墻壁的條件為或，由此求得木板脫離墻壁時與地面的夾角。解 取板初始位置時的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)如圖。對木板，由質(zhì)心運(yùn)動定理有要使木板脫離墻壁，則即木板在脫離墻壁前受到三個力作用；墻壁給板的作用力，地板給板的作用力和木板重力，如圖所示。在任一時刻板質(zhì)心的位置坐標(biāo)為(1)(2)因此任一時刻板的質(zhì)心速度、分別為(3)(4)質(zhì)心加速度在軸上的分量為 (5)可取板和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，在板下滑過程中，除保守內(nèi)力外，其余力均不作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有其中將式（3）和式（4）代入上式，得解出將式（2）代入上式，得(6)故(7)將式（6）和式（7）代入式（5），有 當(dāng)木板脫離墻壁時，即于是可得木板脫離墻壁時，木板與地面間夾角為說明 應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時，需注意的是，木板的動能包括質(zhì)心運(yùn)動動能和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能。另外，也應(yīng)注意木板脫離墻壁的條件或。3-9 將質(zhì)量為的均勻金屬絲彎成一半徑為的圓環(huán)，其上套有一質(zhì)量等于的小珠，小珠可在此圓環(huán)上無摩擦地運(yùn)動，這一系統(tǒng)可繞固定在地面上的豎直軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。開始時，小珠（可看作質(zhì)點(diǎn)）位于圓環(huán)的頂部處，系統(tǒng)繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度為，求：當(dāng)小珠滑到與環(huán)心同一水平的處及環(huán)的底部處時，環(huán)的角速度值，以及小珠相對環(huán)和相對地面的速度值。分析 小珠與圓環(huán)組成系統(tǒng)繞軸轉(zhuǎn)動角動量守恒，由此可解得小珠滑到、點(diǎn)時圓環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度、。同時，系統(tǒng)機(jī)械能守恒可解得小珠在、點(diǎn)相對圓環(huán)的速度、。小珠相對地面速度為兩速度合成。解 取圓環(huán)、小珠為系統(tǒng)，在小珠下落過程中，系統(tǒng)所受外力對軸的力矩為零，故系統(tǒng)對軸角動量守恒，設(shè)小珠落至、處時環(huán)的角速度分別為、，則有(1)(2)式中為圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量，圓環(huán)繞過中心且垂直環(huán)面的軸的轉(zhuǎn)動量為，根據(jù)垂直軸定理(3)由（1）（3）式解得(4)(5)取小珠、環(huán)及地球?yàn)橄到y(tǒng)，在小珠下落過程中，外力做功為零，系統(tǒng)中又無非保守內(nèi)力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)小珠落至、處時，相對于環(huán)的速度分別為、，則有(6)(7)由（4）（7）式，解得小珠在、處相對于環(huán)的速度分別為(8)(9)小珠相對于環(huán)作圓周運(yùn)動，所以的方向與軸平行向下，的方向與軸垂直向左。小珠落到處時，環(huán)上處相對于地面速度為，方向垂直紙面向里。故小珠在處相對于地面的速度大小為(10)把（4）、（8）式代入（10）式可得環(huán)上處相對于地面的速度恒為零，所以小珠在處相對于地面的速度，即為相對于環(huán)的速度，故有說明 對于本題要注意，這是一個包含有剛體和質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)。實(shí)際上對所有的質(zhì)點(diǎn)系，只要外力對某軸的力矩之和為零，則質(zhì)點(diǎn)系關(guān)于該軸角動量守恒，只要無非保守力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。3-10 如圖，一實(shí)心圓柱體在一傾角為的斜面上作無滑動滾動。設(shè)摩擦系數(shù)為，求使該實(shí)心圓柱體只滾不滑時，的取值范圍。如果和可調(diào)節(jié)，能否使圓柱體在無滑下滾過程中質(zhì)心保持勻速運(yùn)動。分析 圓柱體無滑下滾過程中，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定律及繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動定律，結(jié)合純滾條件可解得摩擦力與角關(guān)系。純滾時，摩擦力，由此可限定角取值范圍。由上也可得質(zhì)心與關(guān)系并由此可判斷無滑下滾過程中質(zhì)心的運(yùn)動狀態(tài)。解 設(shè)實(shí)心圓柱體的半徑為，其對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，其受力如圖。質(zhì)心沿斜面平動（以沿斜面向下為正）有(1)在垂直斜面方向有(2)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動有(3)只滾不滑的條件是(4)由（1）、（2）、（3）、（4）式可得(5)(6)欲使物體只滾不滑，則必須有所以(7)即將代入，即得要保證只滾不滑，則由（6）式知(8)由（7）式知(9)從（1）式知(10)將（8）式代入（10）式得此時調(diào)節(jié)只能改變，但不會為零，故不能使質(zhì)心以勻速無滑下滾。說明 這是一個典型的剛體平面平行運(yùn)動。此類剛體的平面平行運(yùn)動，其運(yùn)動可看成質(zhì)心的平動和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動，其求解過程一般為（1）對質(zhì)心平動應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定律；（2）對繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律；然后結(jié)合運(yùn)動的特點(diǎn)求解。其中，對質(zhì)心運(yùn)動的分析和描述非常重要。3-11 三個質(zhì)量都為的小球，和小球分別固定于一長為的剛性輕質(zhì)（其質(zhì)量可忽略不計(jì)）細(xì)桿兩端，并置于光滑水平面上，小球以速度與小球?qū)π膹椥耘鲎?，與方向夾角為。求碰后（1）棒的角速度；（2）小球損失的動能。分析 取球與由細(xì)桿相連的、球?yàn)橄到y(tǒng)，碰撞前后系統(tǒng)動量守恒，對質(zhì)心角動量守恒，同時動能守恒，由三守恒定律即可求棒繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度，而小球碰撞前后的速度也可求出，從而可求球損失的動能。解 （1）由、三小球組成的系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)的角動量、動能和動量都守恒。和對心碰撞，設(shè)其碰后速度為，顯然與在同一直線上，同時設(shè)碰后，質(zhì)心速度為，轉(zhuǎn)動角速度為，則角動量守恒（對質(zhì)心）。(1)動能守恒(2)動量守恒(3)化簡以上三式得(4)(5)(6)由（4）、（6）兩式得(7)聯(lián)立（5）、（6）兩式，并考慮到（7）式得(8)將（8）代入（4）式即得棒的角速度為（2）小球損失的動能為而則而為小球原有的動能。因而，可見小球D損失的動能為原有動能的。說明 小球和細(xì)桿組成的系統(tǒng)不受外力，當(dāng)然也不受外力矩作用，因而動量、角動量守恒，同時小球的碰撞為彈性碰撞，動能也守恒。需要注意的是在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，由于剛體受軸的作用力，剛體的動量一般不守恒，但本題無此軸力的作用。同時，從結(jié)果我們可看出細(xì)桿既作平動（以質(zhì)心速度表示），又作繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度為。3-12 如圖所示，將一個質(zhì)點(diǎn)沿一個半徑為的光滑半球形碗的內(nèi)面水平地投射，碗保持靜止。設(shè)是質(zhì)點(diǎn)恰好能達(dá)到碗口所需要的初速率。試求出作為的函數(shù)，是用角度表示的質(zhì)點(diǎn)的初位置。分析 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中，對軸角動量守恒，同時機(jī)械能也守恒，由兩守恒定律可求解本題。解 設(shè)小球于點(diǎn)以投射，此時對軸的角動量為其中則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)碗口時，角動量為由于小球所受的力與軸在同一平面內(nèi)，則合外力矩，所以角動量守恒。即又全過程中僅重力作功，機(jī)械能守恒 所以說明 由此題可以看出，用守恒定律求解題非常方便。3-13 如圖，半徑為的乒乓球，繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，為乒乓球的質(zhì)量，以一定的初速度在粗糙的水平面上運(yùn)動，開始時球的質(zhì)心速度為，初角速度為，兩者的方向如圖所示，已知乒乓球與地面之間的摩擦系數(shù)為，試求乒乓球開始作純滾運(yùn)動所需的時間及純滾時的質(zhì)心速度。分析 乒乓球在整個運(yùn)動過程中都受到摩擦力作用，大小為是定值，方向向左。開始時，乒乓球質(zhì)心向右運(yùn)動且繞質(zhì)心逆時針轉(zhuǎn)動，摩擦力阻止質(zhì)心運(yùn)動的同時也阻止其繞質(zhì)心逆時針轉(zhuǎn)動，使質(zhì)心速度和角速度越來越小。若質(zhì)心初速度較大時，當(dāng)減為零時，質(zhì)心速度還末為零，乒乓球繼續(xù)向右運(yùn)動，此時在摩擦力作用下，乒乓球開始順時針轉(zhuǎn)動，因此時順時針轉(zhuǎn)動的較小，乒乓球還是又滾又滑。此后，由于摩擦力作用，質(zhì)心速度繼續(xù)減小，但同時順時針轉(zhuǎn)動的角速度不斷增大，直到滿足條件時，乒乓球開始純滾運(yùn)動，因此，利用質(zhì)心運(yùn)動定理和轉(zhuǎn)動定律即可求解乒乓球開始作純滾運(yùn)動所需時間及純滾時質(zhì)心速度，另外，也可在選擇好恰當(dāng)參考點(diǎn)下，用角動量守恒定律可求出純滾時質(zhì)心的速度，進(jìn)而求出純滾所需時間。解法一 如圖的水平向右為質(zhì)心速度的正方向，設(shè)如圖的逆時針轉(zhuǎn)動為角速度的正方向，在球又滾又滑階段，滑動摩擦力為定值，由質(zhì)心運(yùn)動定理，有初條件為時，代入積分上式得(1)由轉(zhuǎn)動定律初條件為時，代入積分上式得(2)又因純滾條件為(3)設(shè)達(dá)到純滾的時間為，負(fù)號表示純滾時，乒乓球滾動方向與規(guī)定方向相反，把（1）、（2）式，代入（3）式，得將代入得把代入（1）式，得出開始純滾時質(zhì)心速度為 解法二 利用角動量守恒定律。如圖，取開始時乒乓球與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，設(shè)角動量的正方向?yàn)榇怪眻D面向里，因乒乓球不受外力矩，故角動量守恒，球?qū)⒖键c(diǎn)的角動量等于質(zhì)心角動量與繞質(zhì)心軸的角動量的矢量和。開始時的角動量為，開始純滾時的角動量為，由角動量守恒，有即因純滾時滿足條件故純滾時的質(zhì)心速度滿足即設(shè)達(dá)到純滾所需時間為，則因即故從上可知，當(dāng)，即時，即球達(dá)到純滾后質(zhì)心繼續(xù)向右運(yùn)動，順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)時，即球達(dá)到純滾后質(zhì)心向左運(yùn)動，逆時針轉(zhuǎn)動。說明 對于剛體的平面平行運(yùn)動，我們總是將其分為質(zhì)心的平動及繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分，本題也不例外。質(zhì)心的平動應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定律，轉(zhuǎn)動應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，加上運(yùn)動的特殊約束（如本題的純滾）就可求解一般的剛體平面運(yùn)動問題。本題中的解法二巧妙選擇了參考點(diǎn)，用角動量守恒也同樣可求解。四、習(xí)題3.1 如圖，用實(shí)驗(yàn)方法測定飛輪對于其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。飛輪的半徑為，今在飛輪上繞一細(xì)繩，繩的末端掛一質(zhì)量為的重錘，讓重錘自高度處落下，測得下落時間，為消除軸承摩擦所引起的摩擦力矩的影響，再用質(zhì)量為的重錘作第二次試驗(yàn)。此重錘自同一高度處下落的時間為，假設(shè)摩擦力矩是個常量，與重錘的重量無關(guān)，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。3.2 如圖所示，一質(zhì)量為的均質(zhì)方形薄板，其邊長為，鉛直放置著，它可以自由地繞其一固定邊轉(zhuǎn)動。若有一質(zhì)量為，速度為的小球垂直于板面碰在板的邊緣上。設(shè)碰撞是彈性的，試分析碰撞后，板和小球的運(yùn)動情況。3.3 以力將一塊粗糙平面壓在輪上，平面與輪之間的滑動摩擦系數(shù)為，輪的初角速度為，問轉(zhuǎn)過多少角度時輪即停止轉(zhuǎn)動？已知輪的半徑為R，質(zhì)量為，可看作均質(zhì)圓盤，軸的質(zhì)量不計(jì)。3.4 兩輪、分別繞通過其中心的垂直軸同向轉(zhuǎn)動，角速度分別為，。已知兩輪的半徑與質(zhì)量分別為，試求兩輪對心銜接（即嚙合）后的角速度。3.