全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽賽試題(1-9屆).docVIP

第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一、填空題（每小題5分，共20分）1計算_ ，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.3曲面平行平面的切平面方程是_.4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）； （2）.五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.六、（10分）設(shè)拋物線過原點.當(dāng)時,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項級數(shù)之和. 八、（10分）求時, 與等價的無窮大量.第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求 （2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。（5）求直線與直線的距離。二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點，使得,證明：方程在恰有兩個實根。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。四、（15分）設(shè)證明：（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂； （2）當(dāng)且時，級數(shù)發(fā)散。五、（15分）設(shè)是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明 （2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一 計算下列各題（共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求； （2）.求；（3）已知，求。二（10分）求方程的通解。三（15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實數(shù)，使得。四（17分）設(shè)，其中，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。五（16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是S在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）六（12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實數(shù)，定義證明：絕對收斂。七（15分）是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，？請說明理由。第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一. 每題6分共30分1.求極限； 2.求極限；3.求通過直線的兩個相互垂直的平面，是其中一個平面過點（）；4.已知函數(shù)，且，確定常數(shù)和，使函數(shù)滿足方程；5.設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，且在右半平面上與路徑無關(guān)，求；二.（10分）計算；三.（10分）求方程的近似解，精確到；四.（12分）設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，求，其中是曲線上點處切線在軸上的截距；五.（12分）求最小實數(shù)，使得對滿足的連續(xù)的函數(shù)，都有；六.（12分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，區(qū)域是由拋物面和球面所圍起來的上半部分，定義三重積分，求；七.（14分）設(shè)與為正項級數(shù)那么（1）若，則收斂；（1）若，則若發(fā)散，收斂。第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、 解答下列各題（每小題6分共24分）1.求極限. 2.證明廣義積分不是絕對收斂的3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。4.過曲線上的點A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點A的坐標(biāo)。二、（12分）計算定積分三、（12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明 ：級數(shù)收斂。四、（12分）設(shè)，證明五、（14分）設(shè)是一個光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。六、（14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線C為橢圓，取正向。求極限七（14分）判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一 填空題(共有5小題，每題6分，共30分)1.已知和是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程是_ 2.設(shè)有曲面和平面。則與平行的的切平面方程是_3.設(shè)函數(shù)由方程所確定。求_4.設(shè)。則_ 5.已知。則_二 （12分）設(shè)為正整數(shù)，計算。三 （14分）設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且有正常數(shù)使得。證明：對任意，有。四 （14分）（1）設(shè)一球缺高為，所在球半徑為。證明該球缺體積為。球冠面積為；（2）設(shè)球體被平面所截得小球缺為，記球冠為，方向指向球外。求第二型曲面積分五 （15分）設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，嚴(yán)格單增，且存在，使得。求六 （15分）設(shè)。求第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題6分，共5小題，滿分30分）（1）極限 .（2）設(shè)函數(shù)由方程所決定，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且。則 .（3）曲面在點的切平面與曲面所圍區(qū)域的體積是 .(4)函數(shù)在的傅立葉級數(shù)在收斂的值是 .（5）設(shè)區(qū)間上的函數(shù)定義域為的，則的初等函數(shù)表達(dá)式是 .二、（12分）設(shè)是以三個正半軸為母線的半圓錐面，求其方程。三、（12分）設(shè)在內(nèi)二次可導(dǎo)，且存在常數(shù)，使得對于，有，則在內(nèi)無窮次可導(dǎo)。四、（14分）求冪級數(shù)的收斂域，及其和函數(shù)。五、（16分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。試證：（1）使 （2）使六、（16分）設(shè)在上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且。若證明：。第八屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷1、 填空題（每小題5分，滿分30分）1、 若在點可導(dǎo)，且，則 .2、 若，存在，求極限.3、設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，記，若，求在的表達(dá)式.4、 設(shè)，求，.5、 求曲面平行于平面的切平面方程. 二、（14分）設(shè)在上可導(dǎo)，且當(dāng)，試證當(dāng)，. 3、 （14分）某物體所在的空間區(qū)域為，密度函數(shù)為，求質(zhì)量. 四、（14分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：. 5、 （14分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)存在不同的兩點，使得. 6、 設(shè)在可導(dǎo)，且. 用Fourier級數(shù)理論證明為常數(shù).第九屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一填空1. 已知可導(dǎo)函數(shù)fx滿足cosxf(x)+20xf(t)sintdt=x+1, 則2求3. 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中為非零常數(shù)。則=_。4. 設(shè)有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，則=_5不定積分=_.6. 記曲面和圍成空間區(qū)域為，則三重積分=_.二（本題滿分14分) 設(shè)二元函數(shù)在平面上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).