高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課課件 蘇教版選修

章末復(fù)習(xí)課 第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率 切線方程等的問題 2 掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 并能夠綜合運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3 掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值 4 會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題 5 掌握定積分的基本性質(zhì)及應(yīng)用 題型探究 知識(shí)梳理 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 知識(shí)梳理 1 導(dǎo)數(shù)的概念 1 定義 設(shè)函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上有定義 x0 a b 若 x無限趨近于0時(shí) 比值 無限趨近于一個(gè)常數(shù)A 則稱f x 在x x0處可導(dǎo) 并稱該常數(shù)A為函數(shù)f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù) 記作 2 幾何意義 導(dǎo)數(shù)f x0 的幾何意義就是曲線y f x 在點(diǎn)P x0 f x0 處的切線的斜率 f x0 2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1 x 為常數(shù) 2 ax a 0 且a 1 3 ex 4 logax logae a 0 且a 1 5 lnx 6 sinx 7 cosx x 1 axlna ex cosx sinx 3 函數(shù)的求導(dǎo)法則 1 f x g x 2 Cf x Cf x C為常數(shù) 3 f x g x f x g x f x g x f x g x 4 g x 0 4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1 復(fù)合函數(shù)記法 y f g x 2 中間變量代換 y f u u g x 3 逐層求導(dǎo)法則 y x y u u x 5 函數(shù)的單調(diào)性 極值與導(dǎo)數(shù) 1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)對(duì)于函數(shù)y f x 如果在某區(qū)間上f x 0 那么f x 為該區(qū)間上的增函數(shù) 如果在某區(qū)間上f x 0 那么f x 為該區(qū)間上的減函數(shù) 2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 極大值 在點(diǎn)x a附近 滿足f a f x 當(dāng)xa時(shí) 則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn) f a 叫做函數(shù)的極大值 極小值 在點(diǎn)x a附近 滿足f a f x 當(dāng)xa時(shí) 則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn) f a 叫做函數(shù)的極小值 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值的步驟 求函數(shù)y f x 在 a b 上的極值 將函數(shù)y f x 的與f a f b 比較 得到f x 在區(qū)間 a b 上的最大值與最小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 極值 6 微積分基本定理對(duì)于被積函數(shù)f x 如果F x f x 那么f x dx F b F a 即F x dx F b F a 題型探究 例1設(shè)函數(shù)f x x3 ax2 9x 1 a 0 直線l是曲線y f x 的一條切線 當(dāng)l的斜率最小時(shí) 直線l與直線10 x y 6平行 1 求a的值 解答 類型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 解f x x2 2ax 9 x a 2 a2 9 f x min a2 9 由題意知 a2 9 10 a 1或a 1 舍去 故a 1 2 求f x 在x 3處的切線方程 解答 解由 1 得a 1 f x x2 2x 9 則k f 3 6 f 3 10 f x 在x 3處的切線方程為y 10 6 x 3 即6x y 28 0 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn) 若切點(diǎn)未知需設(shè)出 常見的類型有兩種 一類是求 在某點(diǎn)處的切線方程 則此點(diǎn)一定為切點(diǎn) 易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得 另一類是求 過某點(diǎn)的切線方程 這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn) 可先設(shè)切點(diǎn)為Q x1 y1 由 f x1 和y1 f x1 求出x1 y1的值 轉(zhuǎn)化為第一種類型 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1直線y kx b與曲線f x x3 ax 1相切于點(diǎn) 2 3 則b 解析由題意知f 2 3 則a 3 f x x3 3x 1 f 2 3 22 3 9 k 又點(diǎn) 2 3 在直線y 9x b上 b 3 9 2 15 15 答案 解析 例2設(shè)a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 解答 類型二函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值問題 解由f x ex 2x 2a x R知 f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 列表如下 故f x 的單調(diào)減區(qū)間是 ln2 單調(diào)增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 求證 當(dāng)a ln2 1且x 0時(shí) ex x2 2ax 1 證明 證明設(shè)g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知 當(dāng)a ln2 1時(shí) g x 取最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對(duì)任意x R 都有g(shù) x 0 所以g x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當(dāng)a ln2 1時(shí) 對(duì)任意x 0 都有g(shù) x g 0 而g 0 0 從而對(duì)任意x 0 都有g(shù) x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 本類題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求函數(shù)的極值和證明不等式 考查運(yùn)算能力 分析問題 解決問題的能力 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 當(dāng)a 4時(shí) 求f x 的單調(diào)增區(qū)間 解答 2 若f x 在區(qū)間 1 4 上的最小值為8 求a的值 解答 f x 在 1 4 上的最小值為f 1 由f 1 4 4a a2 8 由f 4 2 64 16a a2 8 得a 10或a 6 舍去 當(dāng)a 10時(shí) f x 在 1 4 上單調(diào)遞減 f x 在 1 4 上的最小值為f 4 8 符合題意 綜上 a 10 例3某公司為獲得更大的收益 每年要投入一定的資金用于廣告促銷 經(jīng)調(diào)查 每年投入廣告費(fèi)t 百萬元 可增加銷售額約為 t2 5t 百萬元 0 t 3 1 若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬元之內(nèi) 則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi) 才能使該公司獲得的收益最大 解答 類型三生活中的實(shí)際問題 解設(shè)投入t 百萬元 的廣告費(fèi)后增加的收益為f t 百萬元 則有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 所以當(dāng)t 2時(shí) f t 取得最大值4 即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí) 該公司獲得的收益最大 2 現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元 分別用于廣告促銷和技術(shù)改造 經(jīng)預(yù)測(cè) 每投入技術(shù)改造費(fèi)x 百萬元 可增加的銷售額為 x3 x2 3x 百萬元 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案 使該公司由此獲得的收益最大 解答 解設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x 百萬元 則用于廣告促銷的資金為 3 x 百萬元 由此獲得的收益是g x 百萬元 所以g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 又當(dāng)0 x0 當(dāng)2 x 3時(shí) g x 0 故g x 在 0 2 上是增函數(shù) 在 2 3 上是減函數(shù) 所以當(dāng)x 2時(shí) g x 取得最大值 即將2百萬元用于技術(shù)改造 1百萬元用于廣告促銷 可使該公司獲得的收益最大 解決優(yōu)化問題的步驟 1 要分析問題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系 建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型 并確定函數(shù)的定義域 2 要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性 極值與最值 提出優(yōu)化方案 使問題得以解決 在這個(gè)過程中 導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具 3 驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實(shí)際意義 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池 不計(jì)厚度 設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān) 側(cè)面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數(shù)V r 并求該函數(shù)的定義域 解答 解因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100 2 rh 200 rh元 底面的總成本為160 r2元 所以蓄水池的總成本為 200 rh 160 r2 元 又根據(jù)題意 得200 rh 160 r2 12000 2 討論函數(shù)V r 的單調(diào)性 并確定r和h為何值時(shí) 該蓄水池的體積最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因?yàn)閞2 5不在定義域內(nèi) 舍去 當(dāng)r 0 5 時(shí) V r 0 故V r 在 0 5 上為增函數(shù) 由此可知 V r 在r 5處取得最大值 此時(shí)h 8 即當(dāng)r 5 h 8時(shí) 該蓄水池的體積最大 解答 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 函數(shù)y xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為 答案 2 3 4 5 1 解析依題意得y ex xex 令y 0 可得x 1 解析 2 函數(shù)f x x e x的單調(diào)增區(qū)間是 答案 2 3 4 5 1 解析 1 令f x 0 得x 1 故單調(diào)增區(qū)間為 1 3 如圖 y f x 是可導(dǎo)函數(shù) 直線l y kx 2是曲線y f x 在x 3處的切線 令g x xf x g x 是g x 的導(dǎo)函數(shù) 則g 3 2 3 4 5 1 答案 解析 0 2 3 4 5 1 解析 直線l y kx 2是曲線y f x 在x 3處的切線 f 3 1 又點(diǎn) 3 1 在直線l上 g x xf x g x f x xf x 4 體積為16 的圓柱 當(dāng)它的半徑為 時(shí) 圓柱的表面積最小 2 3 4 5 1 答案 解析 2 解析設(shè)圓柱底面半徑為r 母線長(zhǎng)為l 當(dāng)r 2時(shí) 圓柱的表面積最小 5 設(shè)函數(shù)f x xea x bx 曲線y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程為y e 1 x 4 1 求a b的值 2 3 4 5 1 解答 解f x 的定義域?yàn)镽 f x ea x xea x b 1 x ea x b 解得a 2 b e 2 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 解由 1 知 f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 與1 x ex 1同號(hào) 令g x 1 x ex 1 則g x 1 ex 1 所以 當(dāng)x 1 時(shí) g x 0 g x 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞減 當(dāng)x 1 時(shí) g x 0 g x 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 故g 1 1是g x 在區(qū)間 上的最小值 從而g x 0 x 綜上可知 f x 0 x 故f x 的單調(diào)增區(qū)間為 規(guī)律與方法 1 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程y y0 f x0