伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用-參考.doc

分類號(hào) O15 陜西師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用 作 者 單 位 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 指 導(dǎo) 老 師 作 者 姓 名 甲 乙 丙 專 業(yè)、班 級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)07級(jí)0班提 交 時(shí) 間 二O一一年五月 伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用甲乙丙(數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2007級(jí)0班)指導(dǎo)教師 摘 要: 本文首先采用了分析、歸納和比較的方法對(duì)一般伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行了全面地闡述與總結(jié)；然后對(duì)特殊的伴隨矩陣自伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行了研究與發(fā)掘；接著用“等價(jià)分類”的思想對(duì)階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣進(jìn)行了分類；最后指出了伴隨矩陣的性質(zhì)在碩士研究生考試命題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞: 伴隨矩陣;自伴隨矩陣; 伴隨矩陣的性質(zhì)The qualities and applications of the Adjoint MatrixLI Xing-feng(Class 2,Grade 2006,College of Mathematics and Information Science)Advisor: Lecturer YANG Xiao-liAbstract: In this dissertation, the methods of analysis, induction and comparison are firstly employed to elaborate on the qualities of the general adjoint matrix comprehensively and systematically, secondly the qualities of a kind of special matrix, i.e., self-adjoint matrix, are explored, then the technique of equivalence classification is used to classify the order real symmetric self-adjoint matrix. Finally, the applications of the adjoint matrix and its qualities in the postgraduate examinations are indicated. Key words: adjoint matrix; self-adjoint matrix; qualities of adjoint-matrix; 在高等數(shù)學(xué)中，矩陣扮演了及其重要的角色例如，在求解線性方程組解的過(guò)程中，人們利用矩陣不僅可以簡(jiǎn)潔明了地表示原先大型復(fù)雜的線性方程組，而且根據(jù)矩陣的性質(zhì)還可以方便地判斷線性方程組解的情況，甚至還可以用矩陣來(lái)表示出線性方程組的解伴隨矩陣是人們?cè)谘芯磕婢仃嚂r(shí)引入的，利用伴隨矩陣我們可以得到原矩陣的逆矩陣而且通過(guò)對(duì)伴隨矩陣的性質(zhì)的研究，人們不難發(fā)現(xiàn)它與原矩陣之間存在許多相似之處例如，由原矩陣的可逆性易得到所對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣的可逆性，兩個(gè)矩陣之間的等價(jià)、相似、合同等關(guān)系也可以被它們所對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣很好的復(fù)制過(guò)去，從而通過(guò)對(duì)伴隨矩陣性質(zhì)的研究可以推測(cè)原矩陣的性質(zhì)另外，在近幾年的數(shù)學(xué)類碩士研究生招生考試中，有關(guān)伴隨矩陣的題目也經(jīng)常出現(xiàn)如果考生能夠了解一些有關(guān)伴隨矩陣的性質(zhì)，那么對(duì)他們的解題無(wú)疑會(huì)有巨大的幫助因而，對(duì)伴隨矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值本文首先將簡(jiǎn)單介紹伴隨矩陣的定義及表示法；然后將系統(tǒng)論證一般伴隨矩陣所擁有的共同性質(zhì)，主要分為兩類：其一是關(guān)于單個(gè)伴隨矩陣的性質(zhì)，其二是關(guān)于兩個(gè)及其以上的伴隨矩陣之間關(guān)系的性質(zhì)；接著將對(duì)一類特殊伴隨矩陣自伴隨矩陣進(jìn)行研究，并成功對(duì)其分類；最后我們將結(jié)合實(shí)例指出伴隨矩陣在研究生入學(xué)考試命題中所處重要的地位1伴隨矩陣的定義及其表示1.1伴隨矩陣的定義定義1.1.1設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣1.2伴隨矩陣的表示本文用表示矩陣的伴隨矩陣2伴隨矩陣的性質(zhì)及其證明 伴隨矩陣擁有許多較好的性質(zhì)，本文以伴隨矩陣為研究對(duì)象，主要介紹一般伴隨矩陣所共同擁有的性質(zhì)及特殊伴隨矩陣自伴隨矩陣所特有的性質(zhì)此外還對(duì)實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣進(jìn)行了分類2.1一般伴隨矩陣性質(zhì)的“共性” 一般伴隨矩陣具有豐富的性質(zhì)，文中以性質(zhì)涉及的伴隨矩陣的個(gè)數(shù)入手，將“共性”分為兩類，一類是單個(gè)伴隨矩陣所有的性質(zhì)，另一類是兩個(gè)伴隨矩陣傳遞兩個(gè)原矩陣之間關(guān)系的性質(zhì) 2.1.1伴隨矩陣的自身性質(zhì)性質(zhì)2.1.1證明 不妨設(shè)由的定義可知：根據(jù)矩陣乘法的法則可知， 因?yàn)?文中代表零矩陣)，所以推論2.1.1若矩陣可逆，則矩陣可逆證明 因?yàn)榫仃嚳赡妫?，又由性質(zhì)2.1.1可得：，即所以矩陣可逆推論2.1.2若矩陣可逆，則根據(jù)推論1的證明，我們又可以得到伴隨矩陣的另一個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)2.1.2如果矩陣可逆，則證明見(jiàn)推論2.1.1性質(zhì)2.1.3若矩陣為可逆矩陣，則證明 因?yàn)?，所以，?推論2.1.3 性質(zhì)2.1.4證明 不妨設(shè)，從而有又因?yàn)?，從而所以性質(zhì)2.1.5證明 因?yàn)榇嬖?，即可逆，且可逆，所以，即性質(zhì)2.1.6如果矩陣為階可逆方陣，則證明 因?yàn)椋孕再|(zhì)2.1.7若矩陣為可逆矩陣，則證明 因?yàn)?，由性質(zhì)2.1.2可知，所以兩邊同乘以，得到化簡(jiǎn)，得 性質(zhì)2.1.8若矩陣為階方陣，則證明 當(dāng)時(shí)，由推論2.1.1可知，可逆，所以當(dāng)時(shí)，必有一個(gè)階子式不為零，即必有一個(gè)元素不為零，所以又因?yàn)?，且，所以綜上可得當(dāng)時(shí)，必有每個(gè)階子式都為零，所以，即2.1.2伴隨矩陣性質(zhì)的傳遞性前面闡述了單個(gè)伴隨矩陣所具有的性質(zhì)，下面主要討論兩個(gè)伴隨矩陣之間關(guān)系的性質(zhì)性質(zhì)2.1.9如果，且與相似，則與相似證明 因?yàn)?，可逆，所以，即可逆，從而可逆又因?yàn)?，又由可逆，可知可逆，所以與相似性質(zhì)2.1.10如果，且與合同，則與合同證明假設(shè)，其中為可逆矩陣，即，所以，即可逆，又因?yàn)?，又由可逆，可知可逆，所以與合同由性質(zhì)2.1.10，可得到以下推論：推論2.1.4若為正定矩陣，則也為正定矩陣證明 因?yàn)槭钦ň仃?，所以，又因?yàn)榕c合同，由性質(zhì)2.1.10可知，與合同，即與合同所以是正定矩陣推論2.1.5若為半正定矩陣，則也是半正定矩陣證明 因?yàn)槭前胝ň仃?，所?又因?yàn)楸貫閷?shí)矩陣，所以是半正定矩陣性質(zhì)2.1.11如果矩陣與矩陣等價(jià)，則矩陣與矩陣等價(jià)證明 因?yàn)榫仃嚺c矩陣等價(jià)，所以不妨設(shè)矩陣為可逆矩陣，且滿足：，因此，又因?yàn)榭赡?，所以矩陣與矩陣等價(jià)2.2特殊伴隨矩陣性質(zhì)的“個(gè)性”前文論述了一般伴隨矩陣所擁有的“共性”，下面主要研究實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣的一些性質(zhì)2.2.1自伴隨矩陣性質(zhì)的“個(gè)性”下面，本文將以自伴隨矩陣作為特殊伴隨矩陣進(jìn)行研究，證明其所擁有的性質(zhì)定義2.2.1若矩陣滿足條件，則稱為自伴隨矩陣根據(jù)定義可以驗(yàn)證單位矩陣和零矩陣都是自伴隨矩陣自伴隨矩陣還具有以下性質(zhì)：性質(zhì)2.2.1兩自伴隨矩陣的乘積為自伴隨矩陣的充要條件為兩矩陣可交換證明 不妨設(shè)為自伴隨矩陣，即，所以，即為自伴隨矩陣反過(guò)來(lái)，若為自伴隨矩陣，且也是自伴隨矩陣，則因?yàn)椋约葱再|(zhì)2.2.2若為自伴隨矩陣，則證明 由一般伴隨矩陣的性質(zhì)可知：如果矩陣為階方陣，則又因?yàn)闉樽园殡S矩陣，則，所以推論2.2.1行列式為1的方陣為自伴隨矩陣的充要條件為為自逆矩陣證明 必要性：若，且，則，即為自逆矩陣充分性：若，且，則，因而，即性質(zhì)2.2.3若為自伴隨矩陣，則與也都是自伴隨矩陣證明 因?yàn)?，所以為自伴隨矩陣又因?yàn)?，所以，即也是自伴隨矩陣性質(zhì)2.2.4若矩陣與矩陣相似，且為自伴隨陣，則也是自伴隨矩陣證明 因?yàn)榕c相似，所以存在可逆矩陣使得因?yàn)?，所以，即因此是自伴隨矩陣推論2.2.2為自伴隨矩陣，與合同，即存在使得，若為正交矩陣，則也為自伴隨矩陣證明 因?yàn)闉檎痪仃?，所以，即可得，利用性質(zhì)2.2.4可知為自伴隨矩陣推論2.2.3一個(gè)階數(shù)大于2的非零實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣，其行列式值必為1證明 因?yàn)?，所以，即，若為?shí)對(duì)角自伴隨矩陣且時(shí)，則如果階數(shù)且為奇數(shù)，因?yàn)?，所以只能是，也就是如果階數(shù)且為偶數(shù)，那么也只能是因?yàn)槿绻?，那么可以得到，這樣就不可能是實(shí)對(duì)角矩陣這就是說(shuō)當(dāng)階數(shù)時(shí)，為實(shí)對(duì)角自伴隨矩陣且時(shí)，則因?yàn)槿我獾膶?shí)對(duì)稱矩陣都可以與對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣合同，且那個(gè)可逆矩陣為正交矩陣，所以利用推論2.2.4可知，若實(shí)對(duì)稱矩陣是自伴隨的，則對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣也是自伴隨的，即需要對(duì)角矩陣的行列式值為12.2.2實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣的分類下面是利用合同關(guān)系給階數(shù)的實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣進(jìn)行分類：(1) 三階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣只有兩類，分別與或合同證明 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣，與之對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣為，則因?yàn)?，所以解得：或或或即或或或又因?yàn)槭呛贤P(guān)系，所以設(shè)任意一個(gè)三階對(duì)角自伴隨矩陣必與下面兩個(gè)矩陣中的其中一個(gè)合同或即三階對(duì)角自伴隨矩陣只有這兩種情況，因而所有的3階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣就只能是與這兩個(gè)矩陣合同(2) 四階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣只有三類證明用類似與上面的方法可以得到：四階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣分別是與或或合同的(3) 當(dāng)階數(shù)時(shí)，所有偶數(shù)階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣有種情況，所有奇數(shù)階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣有種證明設(shè)實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣為： ，與之對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣為 則 因?yàn)?，所?，得到因?yàn)椋灾鲗?duì)角線上的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的個(gè)數(shù)可以為，因?yàn)榫哂邢嗤膫€(gè)數(shù)的對(duì)角陣是相似（各階行列式因子相同），所以大于2的偶數(shù)階對(duì)角自伴隨矩陣只有種情況，因而所有的大于2的偶數(shù)階階實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣就只能有種情況當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，我們同樣可以得到有種3伴隨矩陣性質(zhì)的應(yīng)用由于伴隨矩陣具有良好的性質(zhì)，因此無(wú)論是在數(shù)學(xué)類還是工學(xué)類、經(jīng)濟(jì)類的研究生升學(xué)考試中其所占分值都較大19872003年間全國(guó)碩士研究生考試數(shù)學(xué)(工學(xué)類和經(jīng)濟(jì)類)命題中伴隨矩陣分類 所占矩陣部分的分值百分比百分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)二數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四平均=16.75%20%7.1%23.2%16.8%注：1.數(shù)學(xué)二中伴隨矩陣所占矩陣的分值百分比只統(tǒng)計(jì)了1997年2003年，其余為1987年2003年2.此處伴隨矩陣所占百分比不包括用伴隨矩陣求可逆矩陣逆矩陣的情況分析上表可以發(fā)現(xiàn)，伴隨矩陣在考試中處于重要地位，主要原因是它可以和其它很多知識(shí)點(diǎn)之間建立關(guān)系不僅可以和矩陣的逆、轉(zhuǎn)置、運(yùn)算規(guī)則，還可以和矩陣的分塊、秩等有密切聯(lián)系而且對(duì)研究生入學(xué)考試中有關(guān)伴隨矩陣的題目進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分類可以發(fā)現(xiàn)，其中考察其性質(zhì)占多數(shù)，主要有性質(zhì)2.1.2、性質(zhì)2.1.6和性質(zhì)2.1.8等如果我們的考研同學(xué)可以對(duì)伴隨矩陣有所深入的了解，那對(duì)他們解決這類問(wèn)題無(wú)疑會(huì)有巨大的幫助現(xiàn)摘入少許類型的歷年真題，以供參考3.1 關(guān)于伴隨矩陣的運(yùn)算例3.1.1設(shè)為階矩陣，則 解 由矩陣的運(yùn)算法則可知，又由性質(zhì)2.1.2可知，所以例3.1.2設(shè)三階方陣的伴隨矩陣為，且，求的值解 由可知是可逆矩陣且，所以其實(shí)，像這種簡(jiǎn)單的應(yīng)用伴隨矩陣性質(zhì)運(yùn)算求解的題目還有好多，只要我們能抓住矩陣運(yùn)算的一般法則，并靈活應(yīng)用伴隨有關(guān)性質(zhì)即可3.2 伴隨矩陣與矩陣分塊例3.2.1設(shè)為階矩陣，分別為所對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣則 分析：所以選例3.2.2設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為: 分析：類似例3.2.1的分析可知， 所以選 例3.2.3設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為，證明：可以表示為個(gè)秩為的對(duì)稱方陣之和證明 因?yàn)?，所以存在正交矩陣使，其中為的特征值因?yàn)?，不妨設(shè)，所以 ，其中則，秩例3.2.4可以證明對(duì)一切(不一定可逆)都有證明對(duì)于為可逆矩陣的情況，參見(jiàn)性質(zhì)7若不是可逆矩陣，則，由性質(zhì)8可知，從而，右邊因?yàn)?，所以，所以伴隨矩陣是一類特殊的矩陣，它具有很多優(yōu)良的性質(zhì)本文首先系統(tǒng)地闡述和證明了一般伴隨矩陣性質(zhì)的“共性”，接著在此基礎(chǔ)上討論了一類特殊的伴隨矩陣實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣的性質(zhì)，并根據(jù)性質(zhì)對(duì)其分類，最后指出伴隨矩陣性質(zhì)的廣泛應(yīng)用伴隨矩陣較早為人們所關(guān)注，因而對(duì)它性質(zhì)的研究也較為全面，特別是一般伴隨矩陣性質(zhì)的“共性”的研究但是對(duì)于特殊的伴隨矩陣，比如自伴隨矩陣性質(zhì)的研究較為缺乏，本文在受到王航平老師的伴隨矩陣的若干性質(zhì)中有關(guān)自伴隨矩陣性質(zhì)的啟發(fā)，并結(jié)合實(shí)對(duì)稱矩陣的獨(dú)特性，對(duì)實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行了初步挖掘，并利用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論對(duì)實(shí)對(duì)稱自伴隨矩陣進(jìn)行分類由于本人水平有限，對(duì)于自伴隨的性質(zhì)也只是初步發(fā)掘，更多的性質(zhì)有待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)；對(duì)于一般伴隨矩陣的其他性質(zhì)以及其他特殊的自伴隨矩陣(例如實(shí)冪等自伴矩陣等)也有許多性質(zhì)有待進(jìn)一步研究參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組高等代數(shù)M(第三版)北京：高等教育出版社，2003，177-1812 王航平伴隨矩陣的若干性質(zhì)J中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，15(3):246-2473 李艷軍，石留杰關(guān)于伴隨矩陣公式的應(yīng)用J科技信息，2009，(7):5604 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