浙江省2003高等數學(微積分)競賽試題(解答).pdf

浙江省高等數學競賽分析 1 2003 年浙江省高等數學年浙江省高等數學 微積分微積分 競賽試題競賽試題 解答解答 2002 12 7 一 計算題 每小題 12 分 共 60 分 1 求極限 2 0 5 0 sin lim x x xtdt x 解 原式 4 4 0 sin1 lim 55 x x x 2 設 3 1 sin x G xtt dt 求 2 1 G x dx 解 22 2 1 11 x G x dxxG xxG x dx 2 23 1 2 2 1 sinGGxx dx 2 33 1 1 2 2 sin 3 Gx dx 2 3 1 1 2 2 cos 3 Gx 1 2 2 cos8cos1 3 G 3 求 2 4 0 1 x dx x 解 令 1 t x 則 2 dt dx t 代入 2 4 0 1 x dx x 得 2 444 000 11 111 x dxdtdx xtx 直接計算 4 0 1 1 dx x 比較困難 22 444 000 11 1211 xx dxdxdx xxx 周暉杰 2008 11 1 UnRegistered 浙江省高等數學競賽分析 2 2 4 0 11 21 x dx x 2 0 2 2 1 1 1 1 2 x dx x x 0 2 111 1 2 2 d x x x x 2 0 2121 42 21 1 2 dx x x x 0 221 arctan 42 x x 2 4 p 求不定積分 定積分 廣義積分 用代換是不錯的方法 主要有 三角代換 根式代換 倒代換 指數代換 1 x x 或 1 x x 代 換 4 求 2 1 lim n n k nk nk 解 求無窮項的極限問題 主要有如下方法 通過等比 等差等方 法轉化為有限項 但適用性不強 夾逼定理 轉化為定積分 1 lim n b an k b ab a f x dxf ak nn 尤其當0 1ab 時 1 0 1 1 lim n n k k f x dxf nn 2222 1 12 limlim 12 n nn k nknnnn nknnnn L 令 222 12 12 n nnnn x nnnn L 222 12 n nnnn y nnnnnn L 222 12 111 n nnnn z nnn L 顯然 nnn yxz 且 3 limlim 2 nn nn yz 由夾逼定理得 2 1 3 lim 2 n n k nk nk UnRegistered 浙江省高等數學競賽分析 3 二 20 分 求滿足下列性質的曲線C 設 000 P xy為曲線 2 2yx 上任一 點 則 由 曲 線 0 xx 2 2yx 2 yx 所 圍 成 區(qū) 域 的 面 積A與 曲 線 0 yy 2 2yx 和C所圍成區(qū)域的面積B相等 解 0 223 0 0 1 2 3 x Axxdxx 設C xf y 則 0 0 2 y y Bf ydy 0 3 2 0 0 2 3 y f y dyy 0 3 3 2 00 0 12 33 y xf y dyy 即 0 33 3 22 000 0 125 2 3312 y f y dyxyy 則 5 2 8 f yyx 也即 2 32 25 yx 0 0 2 y y Bf ydy 0 3 2 0 0 2 3 y yf y dy 0 3 3 2 00 0 12 33 y xyf y dy 即 0 33 3 22 000 0 212 334 y f y dyyxy 則 3 2 8 f yyx 也即 2 32 9 yx 2 2yx 2 yx 00 xy A UnRegistered 浙江省高等數學競賽分析 4 三 20 分 求 22 L ydxxdy xy 其中 2 2 1 1 9 x Ly 的上半平面內部分 從點 2 0 到 4 0 解 令 22 y P x y xy 22 x Q x y xy 22222 22 2222 2Pxyyxy y xyxy 同理 22 2 22 Qxy x xy 即 QP xy 故 22 L ydxxdy xy 與積分路徑無關 但不能取直線段AD uuur 因為被積函 數在原點不可導 取如圖的路徑 則 22222222 LABBCCD ydxxdyydxxdyydxxdyydxxdy xyxyxyxy uuu ruuuruuur 140 222 021 24 4116 dydxdy yxy 11 4 2 00 arctanarctanarctan 24 yy x 11 arctanarctan4arctan2arctan 24 p arctanarctanarctan arctanarctan 12 2 xy xyxy xy p p 1 arctanarctan 2 x x p UnRegistered 浙江省高等數學競賽分析 5 四 15 分 證明 2004 2 2003 1 sin 2003 t dt 證明 為了把 2004 去掉 而存在 2003 令2003xt 則 20041 22 20030 sinsin 2003 t dtxdx 而由積分中值定理 1 0 11 20032003 dx x 只需證明 11 2 00 1 sin 2003 2003 xdxdx x 絕對值很討厭 看來需要用一次絕對值三角不等式了 11 2 00 1 sin 2003 2003 xdxdx x 則由介值定理得 0 1 c 使得 a c ab j 在 0 c與 1 c上用拉格朗日中值定理得 0 0 ca cab c jj j x 1 1 11 1 a cb ab ccabc jj j h 1 ab ab cabcab j xj h 故取1 2ab 即可 UnRegistered 浙江省高等數學競賽分析 6 六 15 分 從正方形四個頂點 1234 0 1 1 1 1 0 0 0 PPPP開始構造 56 P PL 使得 5 P位 12 PP的中點 6 P位 23 P P的中點 7 P位 34 PP的中點 這 樣 我們得到點列 n P收斂于正方形內部一點 0 P 試求 0 P的坐標 解 00 lim0 nn n PPPP 即 0 lim0 n n P P uuuu r 猜測 0 1 1 2 2 P 15910 261112 371314 481516 113 0 1 1 1 1 244 131 1 1 1 1 1 244 131 1 0 0 0 0 244 113 0 0 0 0 0 244 PPPP PPPP PPPP PPPP L L L L 則 01 1 1 2 2 P P uuuu r 02 1 1 2 2 P P uuuu r 03 11 22 P P uuuu r 04 11 22 P P uuuu r 05 1 0 2 P P uuuu r 06 1 0 2 P P uuuu r 07 1 0 2 P P uuuu r 08 1 0 2 P P uuuu r 09 1 1 4 2 P P uuuu r 010 1 1 4 2 P P uuuuu r 011 1 1 2 4 P P uuuuu r 012 11 24 P P uuuuu r 013 11 42 P P uuuuu r 014 11 42 P P uuuuu r 015 11 24 P P uuuuu r 016 1 1 2 4 P P uuuuu r 1 0 1 P 2 1 1 P 3 1 0 P 4 0 0 P 0 1 1 2 2 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 17 P 13 P