北師大版選修21 2.5.3直線與平面的夾角 課件（55張）.ppt

空間向量與立體幾何 5 3直線與平面的夾角 1 共面直線的夾角當兩條直線l1與l2共面時 我們把兩條直線交角中 范圍在 內(nèi)的角叫作兩直線的夾角 2 異面直線的夾角當直線l1與l2是異面直線時 在直線l1上任取一點a作ab l2 我們把直線l1與直線ab的夾角叫作異面直線l1和l2的夾角 s1 s2 s1 s2 cos s1 s2 n1 n2 n1 n2 cos n1 n2 cos n a 4 由于兩條直線所成的角 線面角都是銳角或直角 因此可直接通過絕對值來表達 故可直接求出 而二面角的范圍是 0 有時比較難判斷二面角是銳角還是鈍角 因為不能僅僅由法向量夾角余弦的正負來判斷 故這是求二面角的難點 5 異面直線夾角與向量夾角的差異根據(jù)異面直線所成角的定義得兩條異面直線的夾角為銳角或直角 而向量夾角的范圍為 0 所以從范圍上講 這兩個角并不一致 但卻有著相等或互補的關系 所以它們的余弦值相等或互為相反數(shù) 向量夾角為0和 時除外 1 若直線l的方向向量與平面 的法向量的夾角等于120 則直線l與平面 所成的角等于 a 120 b 60 c 30 d 以上均錯 答案 c 異面直線所成的角 總結(jié)反思 1 向量法求異面直線所成的角的特點是程序化 即建坐標系 設點 求向量 考查數(shù)量積 2 方法二是求兩異面直線所成的角的一般方法 通常是平移變異面直線為相交直線 然后解三角形 在求兩條直線所成的角時 容易忽略了兩直線所成角的范圍 用方向向量所成的角表示異面直線所成角的大小時 若向量夾角為銳角 或直角 則等于異面直線所成的角 若向量夾角為鈍角 則它的補角等于異面直線所成的角 求二面角的大小 總結(jié)反思 本題考查空間中線面關系的判定 空間角的求法 在判斷空間中直線位置關系時 常用勾股定理逆定理來證明線線垂直 求二面角的平面角是高考重點 可用空間向量來解決 還有面積法 異面直線法 作三垂線定理法等要靈活應用 證明 解法1 1 連接oc 因為oa oc d是ac的中點 所以ac od 又po 底面 o ac 底面 o 所以ac po 因為od po是平面pod內(nèi)的兩條相交直線 所以ac 平面pod 而ac 平面pac 所以平面pod 平面pac 2013 新課標 理 18 如圖 三棱柱abc a1b1c1中 ca cb ab aa1 baa1 60 直線與平面的夾角 1 證明 ab a1c 2 若平面abc 平面aa1b1b ab cb 2 求直線a1c與平面bb1c1c所成角的正弦值 解析 1 取ab中點o 連接co a1b a1o ab aa1 baa1 60 baa1是正三角形 a1o ab ca cb co ab co a1o o ab 平面coa1 ab a1c 2 由 1 知oc ab oa1 ab 又 平面abc 平面abb1a1 平面abc 平面abb1a1 ab oc 平面abb1a1 oc oa1 如圖所示 已知直角梯形abcd 其中ab bc 2ad as 平面abcd ad bc ab bc 且as ab 求直線sc與底面abcd的夾角 的余弦值 2014 天津理 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 點e為棱pc的中點 向量法的綜合應用 1 證明 be dc 2 求直線be與平面pbd所成角的正弦值 3 若f為棱pc上一點 滿足bf ac 求二面角f ab p的余弦值 解析 解法一 依題意 以點a為原點建立空間直角坐標系 如圖 可得b 1 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 由e為棱pc的中點 得e 1 1 1 方法二 1 證明 如圖 取pd中點m 連接em am 3 解 如圖 在 pac中 過點f作fh pa交ac于點h 因為pa 底面abcd 故fh 底面abcd 從而fh ac 又bf ac 得ac 平面fhb 因此ac bh 在底面abcd內(nèi) 可得ch 3ha 從而cf 3fp 在平面pdc內(nèi) 作fg dc交pd于點g 于是dg 3gp 由于dc ab 故gf ab 所以a b f g四點共面 由ab pa ab ad 得ab 平面pad 故ab ag 所以 pag為二面角f ab p的平面角 總結(jié)反思 1 當空間直角坐標系容易建立 有特殊的位置關系 時 用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角 只需求出平面的法向量 經(jīng)過簡單的運算即可求出 有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二