均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表.doc

第一章 試驗(yàn)設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)1.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，經(jīng)常需要做試驗(yàn)，以求達(dá)到預(yù)期的目的。例如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中希望通過(guò)試驗(yàn)達(dá)到高質(zhì)、優(yōu)產(chǎn)、低消耗，特別是新產(chǎn)品試驗(yàn)，未知的東西很多，要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)摸索工藝條件或配方。如何做試驗(yàn)，其中大有學(xué)問(wèn)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)得好，會(huì)事半功倍，反之會(huì)事倍功半，甚至勞而無(wú)功。本世紀(jì)30年代，由于農(nóng)業(yè)試驗(yàn)的需要，費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)在試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析方面做出了一系列先驅(qū)工作，從此試驗(yàn)設(shè)計(jì)成為統(tǒng)計(jì)科學(xué)的一個(gè)分支。隨后，F(xiàn).Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)都作出了杰出的貢獻(xiàn)，使該分支在理論上日趨完善，在應(yīng)用上日趨廣泛。60年代，日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家田口玄一將試驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計(jì)表格化，在方法解說(shuō)方面深入淺出為試驗(yàn)設(shè)計(jì)的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻(xiàn)。田口玄一的方法對(duì)我國(guó)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的普及和廣泛應(yīng)用有巨大的影響，70年代我國(guó)許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家深入工廠、科研單位，用通俗的方法介紹正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，幫助工程技術(shù)人員進(jìn)行試驗(yàn)的安排和數(shù)據(jù)分析，獲得了一大批優(yōu)秀成果，出版了許多成果匯編，舉辦了不少成果展覽會(huì)。在廣泛使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的洪流中，必然會(huì)出現(xiàn)一些新的問(wèn)題，這些總是用原有的各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法不能圓滿地解決，特別是當(dāng)試驗(yàn)的范圍較大，試驗(yàn)因素需要考察較多等級(jí)（在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中這些等級(jí)稱之為水平）時(shí)，用正交試驗(yàn)及其它流行的試驗(yàn)方法要求做較多的試驗(yàn)，常使得試驗(yàn)者望而生畏。許多實(shí)際問(wèn)題要求一種新的試驗(yàn)方法，它能有效地處理多水平的試驗(yàn)，于是王元和方開泰于1978年提出了均勻設(shè)計(jì)（見(jiàn)文獻(xiàn)13），該設(shè)計(jì)考慮如何將設(shè)計(jì)點(diǎn)均勻地散布在試驗(yàn)范圍內(nèi)，使得能用較少的試驗(yàn)點(diǎn)獲得最多的信息。10多年來(lái)，均勻設(shè)計(jì)在國(guó)內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用，并獲得不少好的成果。試驗(yàn)設(shè)計(jì)在工業(yè)生產(chǎn)和工程設(shè)計(jì)中能發(fā)揮重要的作用，例如：1） 提高產(chǎn)量；2） 減少質(zhì)量的波動(dòng)，提高產(chǎn)品質(zhì)量水準(zhǔn)；3） 大大縮短新產(chǎn)品試驗(yàn)周期；4） 降低成本；5） 延長(zhǎng)產(chǎn)品壽命。在自然科學(xué)中，有些規(guī)律開始尚未由人們所認(rèn)識(shí)，通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以獲得其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上提出科學(xué)猜想,這些猜想促進(jìn)了學(xué)科的發(fā)展，例如遺傳學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都藉助于上述過(guò)程。材料工業(yè)是工業(yè)中的棟梁，汽車拖拉機(jī)的制造離不開各種合金鋼，鈦合金的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)使飛機(jī)制造工業(yè)產(chǎn)生飛躍。超導(dǎo)的研究和超導(dǎo)材料的配方息息相關(guān)。配方試驗(yàn)又稱混料試驗(yàn)（Experiments with Mixtures），不僅出現(xiàn)于材料工業(yè)，而且在人們生活和其它工業(yè)中處處可見(jiàn)，例如在中藥、飲料、混凝土的配方中。由于在配方中各種材料的總和必須為100，其試驗(yàn)設(shè)計(jì)必須考慮到這個(gè)約束條件，由于這個(gè)原因正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)等方法不能直接用于配方設(shè)計(jì)。針對(duì)配方設(shè)計(jì)的要求，Scheff于1958年提出了單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，隨后于1963年他又提出了單純形重心設(shè)計(jì)。Cornell27對(duì)配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)的各種方法作了詳盡的介紹和討論。顯然，均勻設(shè)計(jì)的思想也能用于配方試驗(yàn)，王元和方開泰9給出了配方均勻設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)方法和有關(guān)的討論。本書第五章將系統(tǒng)介紹配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)和配方均勻設(shè)計(jì)。不論是均勻設(shè)計(jì)或配方均勻設(shè)計(jì),其數(shù)據(jù)分析都要藉助于回歸分析，要用到線性回歸模型、二次回歸模型、非線性模型，以及各種選擇回歸變量的方法（如前進(jìn)法、后退法、逐步回歸、最優(yōu)回歸子集等）。有關(guān)回歸分析的書籍成百上千，本書僅作梗概介紹。讀者很容易找到各種參考書籍獲得更詳細(xì)的介紹。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法很多，本書重點(diǎn)介紹均勻設(shè)計(jì)，這并不意味其它方法不重要，每種方法都有其優(yōu)點(diǎn)，也有其局限性，根據(jù)實(shí)際情況選取合適的方法是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容。1.2試驗(yàn)的因素和水平 在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、科學(xué)研究和軍事科學(xué)的研究中，經(jīng)常需要作各種試驗(yàn)，以研究各種因素之間的關(guān)系，找到最優(yōu)的工藝條件或最好的配方。讓我們先看一個(gè)例子：例1 在一個(gè)化工生產(chǎn)過(guò)程中，考慮影響得率（產(chǎn)量）的三個(gè)因素：溫度(A)，時(shí)間(B)和加堿量(C)。為了便于試驗(yàn)的安排，每個(gè)因素要根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇一個(gè)試驗(yàn)范圍，然后在試驗(yàn)范圍內(nèi)挑出幾個(gè)有代表性的值來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)，這些值稱做該因素的水平。在該例中，我們選擇的試驗(yàn)范圍如下： 溫度： 77.592.5 時(shí)間： 75分165分 加堿量： 4.5%7.5%然后在上述范圍內(nèi)，每個(gè)因素各選三個(gè)水平，組成如下的因素水平表：表1 因素水平表因素123溫度（）808590時(shí)間（分）90120150加堿量（）567選擇因素和水平關(guān)系到一個(gè)試驗(yàn)?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵，下列的注意事項(xiàng)和建議對(duì)使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的人員可能是有益的。1在一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程中，有關(guān)的因素通常是很多的，例如在例1的化工生產(chǎn)工藝中，有催化劑的品種，催化劑用量，加堿時(shí)的速度，容器中的壓力等。但根據(jù)這次試驗(yàn)?zāi)康模藴囟龋ˋ），時(shí)間（B），和加堿量（C）各取三個(gè)水平外，其余因素是固定的，或者講，他們只取一個(gè)水平。為了方便，通常這些固定的因素在試驗(yàn)方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素。2在一項(xiàng)試驗(yàn)中，如何從眾多的有關(guān)因子中挑選出試驗(yàn)方案中的因素？我們建議課題的領(lǐng)導(dǎo)者應(yīng)當(dāng)要請(qǐng)有經(jīng)驗(yàn)的工程師、技術(shù)員、工人共同討論決定。在一次試驗(yàn)中，因素不宜選得太多（如超過(guò)10個(gè)），那樣可能會(huì)造成主次不分，丟了西瓜，揀了芝麻。相反地，因素也不宜選得太少，（如只選定一、二個(gè)因素），這樣可能會(huì)遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交互作用，使試驗(yàn)的結(jié)果達(dá)不到預(yù)期的目的。例如，有這樣的故事，原計(jì)劃試驗(yàn)方案中只有三個(gè)因素，而利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，可以在不增加試驗(yàn)數(shù)目的前提下，再增加一個(gè)因素，既然不費(fèi)事何樂(lè)而不為呢？試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，最后添加的這個(gè)因素是最重要的，從而發(fā)現(xiàn)了歷史上最好的工藝條件，正是“有心栽花花不成，無(wú)意插柳柳成蔭?！?試驗(yàn)的范圍應(yīng)當(dāng)盡可能大一點(diǎn)。如果試驗(yàn)在試驗(yàn)室進(jìn)行，試驗(yàn)范圍大比較容易實(shí)現(xiàn)；如果試驗(yàn)直接在生產(chǎn)中進(jìn)行，則試驗(yàn)范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過(guò)多次品，或產(chǎn)生危險(xiǎn)。試驗(yàn)范圍太小的缺點(diǎn)是不易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果。歷史上有些重大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，是由于“事故”而獲得的，也就是說(shuō)試驗(yàn)的范圍大大不同于有經(jīng)驗(yàn)的范圍。4若試驗(yàn)范圍允許大一些，則每一因素的水平個(gè)數(shù)最好適當(dāng)多一些。5水平的間隔大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。若在例1中溫度的控制只能作到3,且我們?cè)O(shè)定控制在85,于是在生產(chǎn)過(guò)程中溫度將會(huì)在853,即8288波動(dòng)。不難看到，這時(shí)設(shè)定的三個(gè)水平80,85,90之間是太近了，應(yīng)當(dāng)加大，例如80,90,100。如果溫度控制的精度可達(dá)1,則例1如設(shè)定的三個(gè)水平是合理的。6因素和水平的含意可以是廣義的。例如五種棉花用于織同一種布，要比較不同棉花影響布的質(zhì)量的效應(yīng)，這時(shí)“棉花品種”可設(shè)定為一個(gè)因素，五種棉花就是該因素下的五個(gè)水平 。 1.3因素的主效應(yīng)和因素間的交互效應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)的目的，要預(yù)先確定一項(xiàng)或多項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)，為簡(jiǎn)單計(jì)，本書僅討論只有一項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)（記作Y）的情形。如例如1的試驗(yàn)Y是得率。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，稱試驗(yàn)指標(biāo)為響應(yīng)（response）為通俗起見(jiàn)，本書中就叫試驗(yàn)指標(biāo)。考察一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是試驗(yàn)的目的之一。若在一項(xiàng)試驗(yàn)中，考察溫度和得率Y之間的關(guān)系，并取溫度五個(gè)水平，其相應(yīng)Y值如下：溫度5060708090Y30%35%40%45%50%我們看到，溫度每增加10得率增加5%這5%就是溫度的效應(yīng)。上述試驗(yàn)可以表成一個(gè)線性數(shù)學(xué)模型 (1.1)其中為第次試驗(yàn)結(jié)果，為溫度從50到90范圍內(nèi)Y的平均值。通?？梢杂梦宕卧囼?yàn)的平均值來(lái)估計(jì)，記作，即表示溫度取第個(gè)水平時(shí)的值與之差。不難發(fā)現(xiàn)，它們的估計(jì)值為這里稱為溫度在五個(gè)水平下的主效應(yīng)，為它們的估計(jì)值。由于試驗(yàn)中總存在一些偶然因素的干擾，如室溫的變化，電壓的波動(dòng)，材料的不均勻性，這些偶然因素總稱為隨機(jī)誤差。由于試驗(yàn)誤差的存在，不可能產(chǎn)生上例那么理想的情況。其實(shí)際數(shù)據(jù)可能為溫度5060708090Y32%34%39%46%49%這時(shí)數(shù)學(xué)模型為 (1.2)這里為第次試驗(yàn)的試驗(yàn)誤差。這時(shí)試驗(yàn)必須有重復(fù)才能估計(jì)出和.實(shí)際上，當(dāng)試驗(yàn)的水平和相應(yīng)的Y為連續(xù)變量時(shí)，其數(shù)學(xué)模型也可以用回歸方程來(lái)表達(dá)，例如，用線性回歸方程 (1.3) 其中X表示溫度，和是回歸系數(shù)，為隨機(jī)誤差。在第二章將介紹，和可以用最小二乘法由試驗(yàn)數(shù)據(jù)估出，由上述溫度和得率的數(shù)據(jù)可得回歸方程 (1.4)這里為試驗(yàn)結(jié)果Y的估計(jì)值。利用方程(1.4)可以估出五次試驗(yàn)的結(jié)果如下：30.835.440.044.649.21.2-1.4-1.01.4-0.2其中稱為殘差，它的大小反映了回歸方程(1.4)的精確程度，并可用它作回歸診斷，更詳細(xì)討論請(qǐng)看第二章。方程(1.4)中，X的回歸系數(shù)0.46有明確的實(shí)際含意，它表示溫度每增加一度，其得率Y平均增加0.46%，于是0.46反映了X對(duì)Y的效應(yīng)，這里可以稱為線性回歸效應(yīng)。有一點(diǎn)是必須注意的，無(wú)論是模型(1.2)中的主效應(yīng)，還是模型(1.3)中的線性回歸效應(yīng)，都強(qiáng)烈地依賴于試驗(yàn)條件，尤其是X的試驗(yàn)范圍，也就是說(shuō)，這兩個(gè)模型只適用于X的試驗(yàn)范圍內(nèi)。否則，當(dāng)X為210時(shí)，的估值為104.4%，這是不可能的，因?yàn)榈寐士偸切∮?00%的。顯然，模型(1.2)和(1.3)是最簡(jiǎn)單的情形，實(shí)際情況是多種多樣的，例如X和Y之間可能有非線性回歸關(guān)系，或其它相關(guān)關(guān)系。這些將在以后討論。現(xiàn)在我們來(lái)介紹因素間交互作用的概念。首先，設(shè)有兩個(gè)因素A和B它們各取兩個(gè)水平和。這時(shí)共有四種不同的水平組合，其試驗(yàn)結(jié)果列于圖1。當(dāng)時(shí)，變到使Y增加30-10=20；類似地，當(dāng)時(shí)，變到使Y也增加40-20=20。這就是說(shuō)A對(duì)Y的影響與B取什么水平無(wú)關(guān)。類似地，當(dāng)B從變到時(shí)，Y增加20-10（或40-30=10），與A取的水平無(wú)關(guān)。這時(shí)，我們稱A和B之間沒(méi)有交互作用。判斷和之間有沒(méi)有交互作用,選用圖2的作圖方法更為直觀。當(dāng)圖中的兩條線平行時(shí)（或接近平行時(shí)），判斷A和B之間沒(méi)有交互作用.圖3和圖4給出了一個(gè)有交互作用的例子，它們的含意和作圖方法與圖和圖2是一樣的。1 交互作用在實(shí)際中是大量存在的，例如化學(xué)反應(yīng)中催化劑的多少與其它成分的投入量通常是有交互作用的。水中各種金屬含量太多，對(duì)人體健康會(huì)造成危害，金屬之間對(duì)人體的危害也存在交互作用（參見(jiàn)例5）。當(dāng)因素A，B 及其它們的試驗(yàn)指標(biāo)Y都為連續(xù)變量時(shí)，可以建立Y和A；B之間的回歸方程。若回歸方程為 （1.5）時(shí)，A對(duì)Y的影響由回歸系數(shù)完全決定，不受B取哪個(gè)水平的影響；類似地，B對(duì)Y的影響由回歸系數(shù)完全決定，不受A取哪個(gè)水平的影響；類似地，對(duì)的影響由回歸系數(shù) 完全 決定，不受取哪個(gè)水平的影響。這時(shí)A和B沒(méi)有交互作用。當(dāng)A和B之間有交互作用時(shí)，回歸模型不可能為線性的，其中一定有非線性的。最常見(jiàn)的模型之一為 （1.6）其中為回歸系數(shù)，為隨機(jī)誤差。這時(shí)若0，稱A和B之間有正交互作用；若1+m(m+3)/2.當(dāng)m 較大時(shí)，通常不能滿足這個(gè)必要條件.于是有必要從方程(2.19)中選擇貢獻(xiàn)顯著的項(xiàng)，刪除不重要的項(xiàng).有時(shí)，實(shí)際問(wèn)題需要考慮高階的交互作用，如 等，這時(shí)篩選變量的任務(wù)就更為重要.在回歸分析中，有許多有效的篩選變量的技術(shù)，如a) 前進(jìn)法，b) 后退法，c) 逐步回歸法，d) 最優(yōu)子集法（參看25）。本章僅僅采用逐步回歸技術(shù)來(lái)篩選變量，這并不意味著逐步因歸在上述四項(xiàng)技術(shù)中最好的。 逐步回歸是回歸分析中的一種篩選變量的技術(shù).開始它將貢獻(xiàn)最大的一個(gè)變量選入回歸方程，并且預(yù)先確定兩個(gè)閾值 和 ，用于決定變量能否入選或剔除.逐步回歸在每一步有三種可能的功能： a) 將一個(gè)新變量引進(jìn)回歸模型，這時(shí)相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量必須大于 b) 將一個(gè)變量從回歸模型中剔除，這時(shí)相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量必須小于 c) 將回歸模型內(nèi)的一個(gè)變量和回歸模型外的一個(gè)變量交換位置。 執(zhí)行功能a)和b)時(shí)要注意如下原則： 設(shè)在當(dāng)前步驟中有s個(gè)變量不在回歸模型中，有t個(gè)變量在回歸模型中.今欲從s個(gè)變量中挑選一個(gè)加入回歸模型之中，顯然應(yīng)挑選使回歸效果最好的變量.這里回歸的效果可用方差分析表（見(jiàn)表10，表13）中F值來(lái)衡量，顯然我們要從s個(gè)變量中挑選一個(gè)變量使F值達(dá)到極大.類似地，若欲從t 個(gè)變量中刪除一個(gè)變量使其離開回歸模型，我們就是要選擇刪除后使回歸效果最好的變量，或選擇對(duì)當(dāng)前回歸模型貢獻(xiàn)最小的變量.如果在某一步中，既能實(shí)現(xiàn)a)又能實(shí)現(xiàn)b)，兩者之和就是功能c)。大部分統(tǒng)計(jì)軟件包均有逐步回歸之功能，例如中國(guó)均勻設(shè)計(jì)學(xué)會(huì)推薦的軟件包。 現(xiàn)在我們對(duì)例4繼續(xù)進(jìn)行討論.設(shè)先用后退法來(lái)選變量.所謂后退法，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對(duì)方程沒(méi)有顯著貢獻(xiàn)的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻(xiàn)為止。 仍考慮線性模型，開始三個(gè)因素全部進(jìn)入方程，得(2.18).統(tǒng)計(jì)軟件包通常還會(huì)提供每個(gè)變量的t值，t值越大（按絕對(duì)值計(jì)）表示該因素越重要.對(duì)例2有 這表明三個(gè)因素中以（反應(yīng)時(shí)間）對(duì)得率（Y）影響最大，配比次之，吡啶量最小.這些t 值都是隨機(jī)變量，它們遵從分布.若取=0.05 ，這時(shí)n=7,m=3, = 的臨界值(0.05)=3.18.t 值大于該值的因素表示對(duì)方程有顯著貢獻(xiàn)，否則表示不顯著.今 均小于(0.05)=3.18 ，說(shuō)明回歸方程(2.18)的三個(gè)變量至少有一個(gè)不起顯著作用.于是我們將貢獻(xiàn)最小的刪去，重新建立Y和及的線性回歸方程，得 (2.20),三個(gè)t 值分別為這時(shí)這三個(gè)t值遵從含四個(gè)自由度的t 分布，臨界值為(0.05)=2.78,從而 應(yīng)從方程中剔除.然后對(duì)Y和建立回歸方程 (2.21)相應(yīng)的.因此，回歸方程(2.21)為“最終”的回歸模型.這里最終加上引號(hào)，表示并非真正的最終模型，而是在線性模型框架下的最終產(chǎn)物。 上述的分析只發(fā)現(xiàn)對(duì)Y有顯著作用，其它兩個(gè)因素均沒(méi)有顯著作用，該結(jié)論與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不吻合，因此，猜想用線性模型不一定符合實(shí)際.于是進(jìn)一步考試二次回歸模型(2.19).這時(shí)方程中有9項(xiàng)(不算).利用逐步回歸技術(shù)求得回歸方程如下： (2.22)其相應(yīng)的 。顯然，回歸方程(2.22)的效果優(yōu)于回歸方程(2.21).方程(2.22)表明，因素和交互作用對(duì)Y有顯著的影響.值得注意的是，有些人對(duì)回歸分析沒(méi)有足夠的理解，片面追求大的（或小的），致使選進(jìn)方程中的項(xiàng)過(guò)多，使誤差自由度為1或甚至為0，這時(shí)有關(guān)的結(jié)可靠性是很差的.因此，不應(yīng)片面追求大的，應(yīng)選擇n 稍大的均勻設(shè)計(jì)表，使得誤差有足夠的自由度5。2.4應(yīng)用實(shí)例 均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)以及其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法一樣，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有廣闊的應(yīng)用前景，本文的文獻(xiàn)中列舉了部分應(yīng)用成果，其中有些成果成績(jī)顯著.更多的成果有待搜集.均勻設(shè)計(jì)不但在國(guó)內(nèi)得到廣泛應(yīng)用，在彼得格勒和香港也已開花結(jié)果.本節(jié)選擇香港浸會(huì)學(xué)院生物系的一項(xiàng)試驗(yàn)，供讀者參考。 例5 為了研究環(huán)境污染對(duì)人體的危害，今考核六種金屬的含量:鎘(Cd)，銅(Cu)，鋅(Zn)，鎳(Ni)，鉻(Cr)，鉛(Pb)，每種金屬含量分別取了17個(gè)水平（百萬(wàn)分之一,ppm）:0.01,0.05,0.1,0.2,0.4,0.8,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,20.今欲考慮這些金屬含量（包括它們的交互作用）對(duì)老鼠壽命的影響，該試驗(yàn)考核老鼠身上某種細(xì)胞的死亡率.它們選用表，根據(jù)使用表的指示，它們選用了表中1，4，6，10，14，15列來(lái)安排六個(gè)因素，其試驗(yàn)方案如表14所示.試驗(yàn)的結(jié)果為死亡率.為了了解試驗(yàn)誤差，提高結(jié)論的精度，他們?cè)谕辉囼?yàn)條件下將試驗(yàn)重復(fù)三次，三次結(jié)果()列于表15，三次死亡率的均值為，列于表15的最后一列.我們看到第17號(hào)試驗(yàn)的死亡率為最高，因?yàn)檫@時(shí)六種金屬都是最高含量，表明這些金屬對(duì)老鼠細(xì)胞確有致命作用?，F(xiàn)進(jìn)一步用回歸分析來(lái)分析數(shù)據(jù).由于每種金屬的含量由0.01(ppm)變到20(ppm)，最大得出小相差2000倍，于是直接用各因素的水平值作回歸不易獲得好的結(jié)果，通常要對(duì)水平值先作變換，用變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸.最常見(jiàn)的變換是取對(duì)數(shù).于是回歸分析中的自變量成為logCd,logCu,logZn,logNi,logCr 和logPb.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，知道六種金屬間有交作用，故應(yīng)選用二次型回歸模型，并用逐步回歸來(lái)篩選變量.用同樣的 和 ,對(duì)表14 環(huán)保試驗(yàn)方案NoCdCuZnNiCrPb10.010.20.85.014.016.020.052.010.00.18.012.030.110.00.0112.02.08.040.218.01.00.80.44.050.40.112.018.00.051.060.81.00.054.018.00.471.08.02.00.0512.00.182.016.014.010.05.00.0194.00.050.10.41.018.0105.00.84.016.00.214.0118.05.016.02.00.0110.01210.014.00.20.0116.05.01312.00.015.08.010.02.01414.00.418.00.24.00.81516.04.00.414.00.80.21618.012.08.01.00.10.021720.020.020.020.020.020.0 和分別進(jìn)行逐步回歸，發(fā)現(xiàn)四組數(shù)據(jù)的結(jié)果非常吻合，表明試驗(yàn)誤差不大，該試驗(yàn)可以獲得可靠結(jié)論。為節(jié)省篇幅，我們僅列出對(duì)的回歸方