平面極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的加速度公式及其物理意義.pdf

平面極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的加速度公式及其 物理意義 周 嘉 義 我們知道 質(zhì)點(diǎn) 作平面 曲線運(yùn)動(dòng)時(shí) 其在極坐標(biāo)系 中的速度和加速度公式為 心 一 一 V 二 Y i YOj a二 Y 一YO i YO 2 Y0 j 式中a Y 一 YS i 稱為徑 向加速度 二 之 a 0 2Y0 j 為何徑向加速度的量 值不 等于徑 向速度的量值V r 二 丫 稱為橫 向加速 度 的時(shí)間變 化率 Y 橫向加 速 度的 量值不等于橫向速度的量值V 二 YO 的時(shí)間變化 率YO 物理意義 又如何呢 這便是 本文 要討論的問(wèn)題 0 呢 加速度公式 中每項(xiàng)的 一 公式的推導(dǎo) 如圖 1 質(zhì) 點(diǎn)P沿 二F面 曲線運(yùn) 動(dòng) 己在 一 某叫 刻的位置在極坐標(biāo) 系 中 由極坐標(biāo) Y 的表 示 以 一 一 二 石 i j 粼舀矢 徑 丫及垂直于矢徑Y(jié) 沿O增加的 方向 的單 位矢量 則 一一一一 一 極軸 奮 工 Y一一 島 Y 一二 二 V 二 丫 二 之 a二 V 二 Yi 哥 一 丫Oj 杯 一 二 二 二 Y i YOj YOJ 一卜 YO 一丫0 i 二 甲二b 丫 一丫0 i 丫0 2Y0 j 以上便推出了 式 推 導(dǎo)中運(yùn)用了關(guān)系式 i 二 gj和j 一 O 二 加速度公 式 中各 項(xiàng)的物理意義 在徑向加速度 ar Y 一 丫O i 中 盞 曰盞 第一項(xiàng) 丫 i 是徑向速度V r Y i 的量值的時(shí)間變化率 當(dāng)丫 o 時(shí) 此項(xiàng)與質(zhì)點(diǎn)矢徑 孟卜 二 丫的方向相同 當(dāng)丫 其方向垂直于矢徑 一 龍指向極 角 0增加的方向 當(dāng)O o 其方 向則垂直于丫且指 向9減小的方向 特殊地 當(dāng)丫 常量 質(zhì)點(diǎn)以極點(diǎn)為園心作園周運(yùn)動(dòng) 則橫向加速度就只等于此切向加速度了 二 一 卜 第二項(xiàng)2 r ej 其中一半 e j 是 徑 向 速度V r 二 i 的方向 變化引起的 即徑向速度 的方向約時(shí)阿變化率 i 二 丫o j 此實(shí)屬質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的徑向運(yùn)動(dòng)的影響產(chǎn)生的 二 石 二 二 若無(wú)橫向 運(yùn) 動(dòng) 徑向速度的方向就沒(méi)有變化 則 ej就為 零了 另一半 ej 是橫 向速 V 二 訓(xùn)j的 量 值 夕0中的丫發(fā)生變化 引起的 即質(zhì) 點(diǎn)的 的 變化產(chǎn)生的橫向速度的量值的時(shí) 間 變化率0j r二 下ej 這 是質(zhì)點(diǎn)的徑問(wèn)運(yùn) 動(dòng) 付橫向運(yùn) 動(dòng)的影 響產(chǎn)生的 若無(wú)徑 向運(yùn)動(dòng) 則此 r 叼 就為零了 這樣 由于徑 向運(yùn)動(dòng) 與橫向運(yùn) 動(dòng)的相互落響 便 產(chǎn)生了沿橫向的 附加速度2 獷oj 在某種意義上可稱為 科氏加 速度 見(jiàn) 下面三的討論 可見(jiàn) 成的 質(zhì) 點(diǎn) 的橫向加 速度是垂 直 于矢徑 方向的 一 勿向 J 5 還度 oj和 附知 速 度Z r ej合 成 了六 二 盞 三 在何 種意義 上稱2 r 0 為科氏加 速 度 由于 在極坐標(biāo)系中 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是為兩 個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn) 動(dòng) 即在矢徑方向的直線運(yùn) 動(dòng)和以極點(diǎn)為園心的園周 運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng) 的合運(yùn)動(dòng) 所以 我們可采取下述方法來(lái)得 到 這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng) 聲少戶 二一戶 一 一一令 疾 圖 2 使一直管按0 0 t 的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn) 軸過(guò)直管的一端且垂直 于管 軸 業(yè)讓一質(zhì)汽P相 28 對(duì)于直管沿管按 r 嘆t 的規(guī)律運(yùn)動(dòng) 如前圖 2 所示 圖中 雪為靜止坐標(biāo)系的一軸 相 當(dāng)于極坐標(biāo)系的極軸 e為直管的角坐標(biāo) 相當(dāng)于極坐標(biāo)系的極角 一x y為與直管 相 固 連的動(dòng)直角坐標(biāo)系 維位矢量兮 摺沖涂痢 豁另 叮在 軸柳諭的正向 這 樣 相對(duì)靜 止坐標(biāo)來(lái)看 質(zhì)點(diǎn)就具有沿x軸 直管 的直線運(yùn)動(dòng)和垂直 于x軸沿y軸的園周運(yùn)動(dòng) 此由直 管的轉(zhuǎn)動(dòng)形成 也正是我們要得到的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng) 沿 x 軸的直線運(yùn)動(dòng)為質(zhì)點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng) 沿y軸方向的為質(zhì)點(diǎn)的橫向園周運(yùn)動(dòng) 用以上方法得到的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng) 其徑向運(yùn)動(dòng)相對(duì)動(dòng)系 x y來(lái)說(shuō) 是相對(duì)運(yùn)動(dòng) 而橫向運(yùn) 盞 書(shū)如 二島 動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng) 相應(yīng)的徑向速度V 二r 一 i和橫向速度V 二r oj就為相對(duì)速度和牽連速度 州二 卜 二卜 月 一孟 一則質(zhì)點(diǎn)的 絕對(duì)速度V 一八 r e j 與極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的速度公式的形式一樣 進(jìn)一步計(jì)算可得質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度為 盆 a r 一ro i 一 r g ZrQ j 與極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的加速度公式 的形式完全一樣 式中 r i為質(zhì)點(diǎn)的 相對(duì)加速度 對(duì)應(yīng)于極 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)徑向速度的量值的時(shí)間變化率 而 一r 吞 全為牽連向心加速度 對(duì)應(yīng)于極坐標(biāo) 系中質(zhì)點(diǎn)的 園周分運(yùn)動(dòng)的向心加逮度 之者合起來(lái)對(duì)應(yīng)于極坐標(biāo)系的徑向加速速 明j為牽 連 切向 加 速度 對(duì) 應(yīng)于極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的橫向園周運(yùn)動(dòng)的切狗力班速度 而Z ro j為科氏 加速速 是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)的 相互影響產(chǎn)生的 對(duì)應(yīng)于極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)沿橫向 的附加速 速 二者合成起來(lái)對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的橫向加速度 由此可見(jiàn) 我們?cè)跇O坐標(biāo)系觀察到的質(zhì)點(diǎn) 的徑向運(yùn)動(dòng) 若為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的 相 對(duì)運(yùn)動(dòng) 在極坐標(biāo)系觀察到的質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng) 若為轉(zhuǎn)動(dòng)參照系帶動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的牽連 運(yùn)動(dòng) 那 么 巍 這個(gè)意壯 一 芬 時(shí)才稱為科 氏加速度 否則 只能稱為質(zhì)點(diǎn)的橫向的附加速 度 四 小結(jié) 島 盞 本文 一 二 段解決了本文開(kāi)頭所提出的問(wèn)題 業(yè)通過(guò)對(duì)單位矢量 i j對(duì)時(shí)間求 導(dǎo) 表明 了極坐標(biāo)系的徑向和橫向是