學案7空間向量在立體幾何中的應用.ppt

學案7空間向量在立體幾何中的應用 從近兩年的高考看 利用空間向量證明平行與垂直 求異面直線所成的角 線面角及二面角大小是高考的熱點 題型主要是解答題 難度屬中等偏高 主要考查向量的坐標運算 空間想象能力和運算能力 預計2012年仍將以考查用向量方法證平行與垂直 求三類角大小為主 重點考查數量積運算 空間想象能力和運算能力 1 平面的法向量直線l 取直線l的 則叫做平面 的法向量 2 直線l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 則l 方向向量a 向量a u v 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 3 設直線l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 則l 若平面 的法向量u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 則 4 空間的角 1 若異面直線l1和l2的方向向量分別為u1和u2 l1與l2所成的角為 則cos u v a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 u v 0 u v a1a2 b1b2 c1c2 0 cos 2 已知直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u l與 的夾角為 則sin 3 已知二面角 l 的兩個面 和 的法向量分別為v u 則與該二面角 5 空間的距離 1 一個點到它在一個平面內的距離 叫做點到這個平面的距離 2 已知直線l平行平面 則l上任一點到 的距離都 且叫做l到 的距離 cos 相等或互補 正射影 相等 3 和兩個平行平面同時的直線 叫做兩個平面的公垂線 公垂線夾在平行平面間的部分 叫做兩個平面的 兩平行平面的任兩條公垂線段的長都相等 公垂線段的叫做兩平行平面的距離 也是一個平面內任一點到另一個平面的距離 4 若平面 的一個為m P是 外一點 A是 內任一點 則點P到 的距離d 垂直 公垂線段 長度 法向量 如圖在多面體ABCDEF中 四邊形ABCD是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H為BC的中點 1 求證 FH 平面EDB 2 求證 AC 平面EDB 考點1用向量證明平行 垂直問題 證明 四邊形ABCD為正方形 AB BC 又EF AB EF BC 又EF FB EF 平面BFC EF FH AB FH 又BF FC H為BC的中點 FH BC FH 平面ABC 以H為坐標原點 HB為x軸正方向 HF為z軸正方向 建立如圖所示的坐標系 設BH 1 則A 1 2 0 B 1 0 0 C 1 0 0 D 1 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 分析 建立空間直角坐標系 利用向量方法做出證明 評析 利用直線的方向向量和平面的法向量 可以判定直線與直線 直線與平面 平面與平面的平行和垂直 如圖 ABEDFC為多面體 平面ABED與平面ACFD垂直 點O在線段AD上 OA 1 OD 2 OAB OAC ODE ODF都是正三角形 1 證明 直線BC EF 2 求棱錐F OBED的體積 解析 分析 根據條件建立空間直角坐標系 利用向量坐標運算證明 求解 考點2用向量方法求線面角 如圖 已知三棱錐P ABC中 PA 平面ABC AB AC PA AC AB N為AB上一點 AB 4AN M S分別為PB BC的中點 1 證明 CM SN 2 求SN與平面CMN所成角的大小 解析 1 證明 設PA 1 以A為原點 AB AC AP所在直線分別為x y z軸正向建立空間直角坐標系如圖所示 則P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 N 0 0 S 1 0 所以CM 1 1 SN 0 因為CM SN 0 0 所以CM SN 評析 1 本題考查異面直線垂直 線面角的求法 空間直角坐標系的建立等知識 重點考查了在空間直角坐標系中點的坐標的求法 同時考查空間想象能力和推理運算能力 難度適中 2 利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量 轉化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 二是通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 解析 如圖 在矩形ABCD中 點E F分別在線段AB AD上 AE EB AF FD 4 沿直線EF將 AEF翻折成 A EF 使平面A EF 平面BEF 1 求二面角A FD C的余弦值 2 點M N分別在線段FD BC上 若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折 使C與A 重合 求線段FM的長 考點3用向量方法求二面角 分析 1 建立空間直角坐標系后 求兩個面的法向量所成的角 2 用待定系數法求解 解析 1 取線段EF的中點H 連接A H A E A F及H是EF的中點 A H EF 又 平面A EF 平面BEF A H 平面A EF A H 平面BEF 2 設FM x 則M 4 x 0 0 翻折后C與A 重合 CM A M 故 6 x 2 82 02 2 x 2 22 2 2 得x 經檢驗 此時點N在直線BC上 FM 評析 利用空間向量方法求二面角 可以有兩種辦法 一是分別在二面角的兩個面內找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量 則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通過平面的法向量來求 設二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2 則二面角的大小等于 或 注意 利用空間向量方法求二面角時 注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角 解析 考點4簡單的距離問題 如圖 BCD與 MCD都是邊長為2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 2 1 求點A到平面MBC的距離 2 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值 分析 建立坐標系后 代入點到平面的距離公式 可求點A到平面MBC的距離 解析 取CD中點O 連接OB OM 則OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 所以MO 平面BCD 取O為原點 直線OC BO OM為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系如圖 OB OM 則各點坐標分別為C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 2 1 設n x y z 是平面MBC的法向量 則BC 1 3 0 BM 0 3 3 由n BC得x y 0 由n BM得y z 0 取n 1 1 BA 0 0 2 則d 評析 點到平面的距離 直線到平面的距離 兩平行平面間的距離 異面直線間的距離等都是高考考查的重點內容 可以和多種知識相結合 是諸多知識的交匯點 本題考查了點到平面的距離和垂直 夾角問題 這是命題的方向 要給予高度重視 解析 考慮到高考命題重點內容常考常新 穩(wěn)中求變的原則 在高考復習中要特別注意空間向量的應用 但不能忽視傳統(tǒng)的幾何證明方法 綜合法 而且任意把兩種方法有機地融合在一起 尋找最佳的解題策略 由于在向量運算中可以出現變量 因此注意函數思想在立體幾何中的應用以及開放性問題 探索性問題等 由于幾何模型的引入 有關概率與立體幾何的綜合應用也不應當忽視 立體幾何中的向量方法與算法的融合 三角變換的融合也應當引起足夠的重視 1 用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路 一種是用向量表示幾何量 利用向量的運算進行判斷 另一種是用向量的坐標表示幾何量 共分三步 1 建立立體圖形與空間向量的聯系 用空間向量 或坐標 表示問題中所涉及的點 線 面 把立體幾何問題轉化為向量問題 2 通過向量運算 研究點 線 面之間的位置關系 3 根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題 2 角的計算與度量總要進行轉化 這體現了轉化的思想 主要將空間角轉化為平面角