正方體展開圖規(guī)律的探討研究.doc

正方體展開圖規(guī)律一、基本知識(shí)1.點(diǎn)、線、面、區(qū)域的關(guān)系-平面圖形和立體圖形的歐拉公式2.截面形狀的確定立方體被某平面所截，可以得到截面形狀有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形。其他圖形的截面。例：圓錐被被某平面所截，可以得到截面形狀有：三角形、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等。尤其是圓錐被平行于軸對(duì)稱面的豎直平面截取，截面形狀不是三角形，而是拋物線。二、正方體展開圖規(guī)律的研究試著將一個(gè)正方體的盒子剪開，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：隨著剪紙的方向不同，展開圖完全不同，似乎沒(méi)有什么規(guī)律可遵循，但不要著急，換個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題。我們知道，所有正方體都是六個(gè)面，同時(shí)找6個(gè)面展開圖的分布規(guī)律的確很困難，我們能不能先找出其中4個(gè)面展開的分布規(guī)律，然后再研究其他兩個(gè)面的分布規(guī)律呢？4個(gè)面展開的分布規(guī)律有兩個(gè)。最容易想到的分布規(guī)律是第一個(gè)，如圖1，我們稱其為“長(zhǎng)方形結(jié)構(gòu)”圖1 分布規(guī)律一它組合起來(lái)恰好是一個(gè)無(wú)兩個(gè)底的立方體桶狀圖形，僅缺少上下兩個(gè)底面，而上下兩個(gè)底面的位置恰好可由上圖中的的上下兩條邊來(lái)定，圖2中標(biāo)號(hào)為1的面其位置有4個(gè)，代表上底面，標(biāo)號(hào)為2的面其位置也有4個(gè)，代表下底面。1122圖2 展開圖例第2個(gè)分布規(guī)律如圖3所示，我們可以形象地稱它為“Z字結(jié)構(gòu)”，大家一定能想象到，它拼合起來(lái)是個(gè)什么圖形，對(duì)，應(yīng)該是個(gè)類似撮箕的東西，現(xiàn)在缺少兩個(gè)面：上邊的面和前邊的面，我們現(xiàn)在研究如何把2個(gè)面補(bǔ)上。ABCHGFED圖3 Z字結(jié)構(gòu)分布規(guī)律經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們將一個(gè)面連接在AB、BC、DH邊上時(shí)，恰好可以封閉上面的面，而將另一個(gè)面連接在AE、FG、GH邊上時(shí)，可以封閉前面的面。由于Z字結(jié)構(gòu)可看成是由兩個(gè)圖形“”和“”疊加而成，而拼合時(shí)，C和D兩點(diǎn)重合，E和F兩點(diǎn)重合，故AB、BC、DH恰好位于“”邊上， AE、FG、GH則恰好是位于“”邊上。找到規(guī)律后，我們便可以很方便的確定具有Z字結(jié)構(gòu)的分布規(guī)律。圖4給出了兩種具有Z字結(jié)構(gòu)的正方體展開圖，其中圖4 A是正寫的Z字，圖4 B是反寫的Z字。反寫的Z字，其分布規(guī)律和正寫的Z字類似，區(qū)別僅僅是將反寫Z看成是兩個(gè)圖形和疊加而成。(A) 正寫Z字結(jié)構(gòu)(B) 反寫Z字結(jié)構(gòu)圖4 Z字結(jié)構(gòu)展開圖例我們研究不難發(fā)現(xiàn)，如果展開圖旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)，移動(dòng)可以重合的算同一種情況，則正方體展開圖不同的共有11種情況。三、展開圖的特點(diǎn)131.對(duì)面的確定，Z字結(jié)構(gòu)的頭和尾屬于對(duì)面，對(duì)于 面1和面3為對(duì)面。2.展開圖中的垂直邊，在組成正方體時(shí)會(huì)重合。3.重合的頂點(diǎn)確定4展開圖中某些面上線的畫法。CDABC1D1A1B1基本做法，先原圖中按順序讀。再在展開圖中按順序?qū)懗黾纯?。ABCDBCB1C1D1DA1AD1C1ABCD四、右手法則：123231面2、面3和面1的組成符合右手法則，因此不論立方體如何旋轉(zhuǎn)，面2、面3和面1的組成符合右手法則的規(guī)律不變，通過(guò)右手法則，可以很容易判斷立方體所對(duì)應(yīng)的展開圖。例1：把正方體的表面沿某些棱剪開展成一個(gè)平面圖形（如右下圖），請(qǐng)根據(jù)各面上的圖案判斷這個(gè)正方體是（）例2： 如圖，有一個(gè)正方體紙盒，在它的三個(gè)側(cè)面分別畫有三角形、正方形和圓，現(xiàn)用一把剪刀沿著它的棱剪開成一個(gè)平面圖形，則展開圖可以是 () （A）（D）（C）（B）（正方體紙盒）五、視圖的規(guī)律將俯視圖看做是一塊地，地中長(zhǎng)了很多麥子，將左視圖和主視圖想象為土地上長(zhǎng)出的麥子的投影，因?yàn)辂溩佑懈哂械汀Ｋ詫?duì)應(yīng)的左視圖和主視圖將不同。例1. 下圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖。這些相同的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ）例2. 由一些大小相同的小