2006年全國初中數(shù)學競賽試題及答案 (1).doc

2006年全國初中數(shù)學競賽試題考試時間 2006年4月2日上午 9301130 滿分120分一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）902已知，且=8，則a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 3RtABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h24一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007（第5題圖）ABCDOQP5如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q若QP=QO，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）（第7題圖）ABCDGFE6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若ab，則abc的最大值為 7如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于 8正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿ABCDEA方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經(jīng)過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上9已知0a1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))10小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11已知，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且8，（1） 試寫出一個滿足條件的x；（2） 求所有滿足條件的x12設(shè)，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式 求a的取值范圍（第13題）ABCOPEK13如圖，點P為O外一點，過點P作O的兩條切線，切點分別為A，B過點A作PB的平行線，交O于點C連結(jié)PC，交O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K求證：PEAC=CEKB1410個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值2006年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，1936=55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處故選C2已知，且=8，則a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故選C3RtABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h2答：B解：設(shè)點A的坐標為（a，a2），點C的坐標為（c，c2）（|c|a|），則點B的坐標為（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜邊AB上高h= a2c2=1故選B4一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360于是，剪過k次后，可得(k1)個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k1)360因為這(k1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34(622)180=3460180，其余多邊形有(k1)34= k33(個)，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005當我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和3358個三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故選B（第5題圖）ABCDOQP5如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q若QP=QO，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5題圖）ABCDOQP解：如圖，設(shè)O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根據(jù)相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=連結(jié)DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故選D二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若ab，則abc的最大值為 答：5013解：由，得 因為，a400，所以，12.5x13.5 故x=13，此時9已知0a1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))答：6解：因為01當a1時， =10分又當時，由，得 ， 將兩邊平方，結(jié)合得化簡得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a1且，15分解法二：因為，所以，所以 又，所以，為一元二次方程 的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a1當a1時， =10分 另外，當時，由式有 ，即 或 ，解得，或當時，同理可得或所以，a的取值范圍為a1且，15分（第13題）ABCOPEK13如圖，點P為O外一點，過點P作O的兩條切線，切點分別為A，B過點A作PB的平行線，交O于點C連結(jié)PC，交O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K求證：PEAC=CEKB證明：因為ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切線，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割線定理得 所以 10分因為ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分1410個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值解：設(shè)10個學生為，n個課外小組，首先，每個學生至少參加兩個課外小組否則，若有一個學生只參加一個課外小組，設(shè)這個學生為，由于每兩個學生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，矛盾 5分若有一學生恰好參加兩個課外小組，不妨設(shè)恰好參加，由題設(shè)，對于這兩組，