電子科大量子力學(xué)與統(tǒng)計物理第一章.ppt

量子力學(xué)QuantumMechanics微電子與固體電子學(xué)院 教材 第1 4章 課程簡介 量子力學(xué)是反映微觀粒子運動規(guī)律的理論 是20世紀自然科學(xué)的重大進展之一 主要目的 使學(xué)生了解微觀世界矛盾的特殊性和微觀粒子的運動規(guī)律 初步掌握量子力學(xué)的基本原理和一些重要方法 并初步具有運用這些方法解決較簡單問題的能力 使學(xué)生了解量子力學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用 深化和擴大在普通物理中學(xué)過的有關(guān)內(nèi)容 為學(xué)生以后續(xù)課程的學(xué)習打下必要的基礎(chǔ) 深入理解微觀粒子的運動特性 掌握描述微觀粒子運動的方法 即量子力學(xué)的數(shù)學(xué)框架 初步掌握應(yīng)用量子力學(xué)處理簡單體系的方法 目的要求 參考教材 曾謹言 量子力學(xué) 科學(xué)出版社 量子力學(xué) 研究微觀粒子的統(tǒng)計理論 1899年 英國的開爾文在新年賀詞中說 19世紀已經(jīng)將物理大廈全部建成 今后物理學(xué)家的任務(wù)就是修飾 完美這所大廈 但是物理學(xué)的天空上還漂浮著兩朵小小的令人不安的烏云 恰恰是這幾朵烏云帶來了一場震撼物理學(xué)的革命風暴 導(dǎo)致了量子力學(xué)的產(chǎn)生 1 1經(jīng)典物理學(xué)的困難 第1章波函數(shù)及薛定諤方程 經(jīng)典力學(xué)遇到五大災(zāi)難性問題黑體輻射光電效應(yīng)原子的線狀光譜原子穩(wěn)定性固體比熱問題 上世紀20年代 誕生一種認識微觀世界的新理論 量子力學(xué) 量子力學(xué)的發(fā)展史 1900年普朗克解釋黑體輻射能量量子 普朗克MAXPLANCK 1858 1947 1905年愛因斯坦解釋光電效應(yīng)光量子論 阿爾伯特 愛因斯坦AlbertEinstein1879 1955 1913年波爾氫原子軌道模型 波爾NielsHenrikDavidBohr1885 1962 年德布羅意提出德布羅意假設(shè)實物粒子具有波粒二象性 德布羅意LOUISDEBROGLIE 1892 1987 1925年海森堡提出用矩陣描述量子理論 矩陣力學(xué) 海森堡WERNERHEISENBERG 1901 1976 1926年薛定諤建立薛定諤方程 波動力學(xué) 薛定諤證明矩陣力學(xué)和波動力學(xué)是等價的 薛定諤ERWINSCHRODINGER 1887 1961 1 2量子力學(xué)的建立一 光的波動性由衍射 干涉實驗證實 具有頻率 波長 二 光的粒子性黑體輻射 光電效應(yīng)證實 Planck Einstein 提出1 光量子論 電磁波由光量子組成 每個光子 photon 的能量 由質(zhì)能關(guān)系 光子靜止質(zhì)量為0 為波矢 大小為 方向為波傳播方向 2 由光量子論解釋黑體輻射和光電效應(yīng) 黑體輻射黑體 在任何溫度下 能100 地能完全吸收外界投射到它上面的輻射 經(jīng)典理論無法解釋黑體輻射 普朗克應(yīng)用光量子論 得出高頻 低頻時與實驗曲線完全符合 成功解釋黑體輻射現(xiàn)象 光電效應(yīng) 金屬受光照后 有電子從表面逸出的現(xiàn)象 特點 入射光頻率高于臨界頻率 0 光電子的能量只與光的頻率有關(guān) 而與光的強度無關(guān)經(jīng)典理論 無法解釋頻率 0時 長時間 高光強照射無電子逸出 光量子論 光子 0 與電子碰撞 電子獲得能量 當能量大于脫出功W0時 有電子逸出 脫出功 W0稱為逸出功 只與金屬材料性質(zhì)有關(guān) 與光的頻率無關(guān) 固體比熱問題經(jīng)典理論 無法解釋低溫比熱德拜模型 量子理論 高溫低溫 Cv T 3R 實驗 經(jīng)典 德拜 德拜 P J W Debye 1884年3月24日一1966年11月2日 1936年獲諾貝爾化學(xué)獎 原子的線狀光譜與穩(wěn)定性問題 電子在原子核外做加運動 按照經(jīng)典電動力學(xué) 加速運動的帶電粒子將不斷輻射而喪失能量 因此 圍繞原子核運動的電子 終究會大量喪失能量而 掉到 原子核中去 這樣 原子也就 崩潰 了 但現(xiàn)實世界表明 原子是穩(wěn)定的存在著 穩(wěn)定性問題 原子的線狀光譜及其規(guī)律 研究表明 每一種原子都有它特有的一系列光譜 氫原子線狀光譜 頻率是分離的 不是連續(xù) n 1 n 2 n 3 n 4 波爾原子模型 玻爾原子理論的原子圖像 電子在一些特定的可能軌道上繞核作圓周運動 離核愈遠能量愈高 電子在這些可能的軌道上運動時原子不發(fā)射也不吸收能量 只有當電子從一個軌道躍遷到另一個軌道時原子才發(fā)射或吸收能量 輻射的頻率和能量之間關(guān)系E h 玻爾理論成功地解釋了原子的穩(wěn)定性和氫原子光譜線規(guī)律 1 1 4光的波粒二象性光具有波動性與粒子性 并且有以下關(guān)系存在 作為 波 具有波長 和頻率 作為 粒子 具有能量E和動量p 1 2量子力學(xué)的建立1 2 1微觀粒子的波粒二象性 1 德布羅意假設(shè) 實物粒子也有波粒二象性 并存在關(guān)系2 德布羅意波 物質(zhì)波 實物粒子聯(lián)系著的波 1 2 2德布羅意波的實驗證實 電子衍射實驗 電子束 Ni 1 實驗結(jié)果Ni單晶格間距d 2 15 測出 50 最強衍射公式取n 1 1 65 2 德布羅意假設(shè)計算 理論 結(jié)論 電子具有波動性 德布羅意假設(shè)正確 例 計算一個乒乓球和一個電子的德布羅意波長 電子加速電壓10V 乒乓球m 10克 v 5m s 解 電子 乒乓球德布羅意波長很短 波動性不明顯 而原子中的電子德布羅意波長與運動范圍 原子大小1 同數(shù)量級 波動性明顯 3 實物粒子的波動性與光有相似之處 一般在宏觀條件下 實物粒子波長很短波動性是不會表現(xiàn)出來經(jīng)典力學(xué)處理實物粒子的波長與粒子運動范圍數(shù)量級相近 波動性十分明顯 量子效應(yīng)顯著 不遵從經(jīng)典規(guī)律必須用量子力學(xué)處理 1 3波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋 1 3 1量子力學(xué)的狀態(tài) 1 波函數(shù) r t 描述量子力學(xué)的狀態(tài) 利用德布羅意關(guān)系 得 電子科大微固學(xué)院李競春 例 沿x方向傳播的平面波 設(shè)初相為0 把自由粒子的波函數(shù)改寫成復(fù)函數(shù)形式 2 波函數(shù)的形式 標量復(fù)函數(shù) 例如 電子的衍射實驗底版上x點衍射花樣強度 x點感光點數(shù) x點ds內(nèi)出現(xiàn)的電子數(shù) 電子出現(xiàn)在x點ds內(nèi)的幾率 1 3 2波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波函數(shù)在空間某一點的強度和在該點找到粒子的幾率成正比 電子在x處出現(xiàn)幾率P 1 3 3波函數(shù)的性質(zhì)1 波函數(shù) r t 描述量子力學(xué)中微觀粒子體系的狀態(tài) 體系在空間某一點 處內(nèi)出現(xiàn)的幾率與成正比 2 在非相對論下 波函數(shù)在全空間幾率和為1考慮波函數(shù)常數(shù)不確定性 如果 歸一化后的波函數(shù) 3 相對幾率分布 常數(shù)不確定性 波的強度代表粒子出現(xiàn)的幾率 由于幾率是相對量 粒子出現(xiàn)幾率由各點相對強度決定 所以 r t 與c r t 描述同一狀態(tài) 4 相角不確定性 5 波函數(shù)及絕對值的平方單值 連續(xù) 有限 平方可積 電子科大微固學(xué)院李競春 例 若某一維運動的粒子狀態(tài)波函數(shù)為 式中E 能量 和a為常數(shù) A為歸一化常數(shù) 求 1 歸一化波函數(shù) 2 幾率分布函數(shù) 3 在什么地方找到粒子的幾率最大 解 1 根據(jù)歸一化條件可得 歸一化波函數(shù)為 電子科大微固學(xué)院李競春 2 幾率分布函數(shù)為 3 根據(jù)數(shù)學(xué)中利用微分求極值的法則 1 3 4疊加原理 波函數(shù) 1和 2是體系的可能狀態(tài) 則其線性疊加 c1 1 c2 2在同一條件也是體系可能狀態(tài) 1 2 c1 1 c2 2 量子 電子束 經(jīng)典 S1 S2 電子的狀態(tài)電子出現(xiàn)的幾率通過S1 1通過S2 2通過雙縫后c1 1 c2 2 電子有一定幾率處于 1 2和c1 1 c2 2三個狀態(tài) 幾率波的疊加是波函數(shù)的疊加 不是幾率的疊加 光子的偏振態(tài)的疊加 偏振方向 晶軸光束全部通過 偏振方向 晶軸光束全部被吸收 偏振方向與晶軸夾角 部分通過 部分被吸收 1 4薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 1 4 1薛定諤方程的建立自由粒子的波函數(shù) 對求t的偏導(dǎo)對x y z求偏導(dǎo) 存在對應(yīng)關(guān)系 由把對應(yīng)關(guān)系代入上式 兩邊同乘整理得薛定諤方程哈米頓算符 Hamiltonian 量子力學(xué)假設(shè)之三 系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化由薛定諤方程描述 即 1 4 3定態(tài)薛定諤方程 波函數(shù)改寫為代入薛定諤方程 如果哈米頓算符中V不含時間 得到兩個方程 關(guān)于時間關(guān)于空間解 1 式得改寫 2 式 薛定諤方程的解 定態(tài) 粒子處于該狀態(tài)時 能量E是常數(shù)與r t無關(guān) 定態(tài)由波函數(shù)描述 定態(tài)薛定諤方程 1 4 2幾率密度與幾率流密度1 幾率密度 某時刻 處內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率 2 幾率流密度 單位時間內(nèi)通過封閉曲面S流入的幾率 電子科大微固學(xué)院李競春 例1 4 1自由電子的波函數(shù)為求 1 幾率流密度 2 電荷密度與電流密度 解 1 幾率流密度為 j 0 表示流向x正方向 電子科大微固學(xué)院李競春 2 電荷密度 粒子密度 粒子數(shù) 體積 電子電量電流密度 幾率流密度 電子電量 電子科大微固學(xué)院李競春 束縛態(tài) 當粒子被局限在一個有限的區(qū)域運動時 無限遠處的波函數(shù)必然為零 這種狀態(tài)稱為束縛態(tài) 束縛態(tài)一般特征是能量取分立值 簡并 粒子具有相同的能量 但波函數(shù)不同 即狀態(tài)不同 處于同一能級上粒子波函數(shù)數(shù)目 叫簡并度 1 5勢阱中的粒子 一 一維無限深勢阱 0 a x 勢函數(shù)勢阱外 粒子出現(xiàn)幾率為0 勢阱內(nèi) 粒子的一維定態(tài)薛定諤方程 通解為邊界條件 可得 討論 1 能量的討論 能量不連續(xù) 能量間隔能量間隔不等 能量越高 間隔越大 當 n很大時 能級近似連續(xù) 趨于經(jīng)典極限 基態(tài)能量不為零 E1 E2 E3 E4 2 波函數(shù)的討論 0 a 0 a 波函數(shù)有駐波形式 n越大 德布羅意波長越短 在阱內(nèi)各點上 粒子出現(xiàn)的幾率不同 節(jié)點處 幾率為0 E1 E2 E3 能量為E1的粒子 在x a 2處出現(xiàn)幾率最大 能量為E2的粒子 在x a 4 x 3a 4處出現(xiàn)幾率最大 1 5 3 三維無限深勢阱 x y z 阱內(nèi)粒子的三維定態(tài)薛定諤方程 可解得 總波函數(shù) 總能量 如果a b c 立方勢阱 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 簡并 粒子具有相同的能量 但波函數(shù)不同 即狀態(tài)不同 處于同一能級上粒子波函數(shù)數(shù)目 叫簡并度 n1 n2 n3 能量 波函數(shù) n1 n2 n3 能量 簡并度 3E1 6E1 9E1 11E1 12E1 14E1 111 211 121 122 221 212 122 311 131 113 222 321 231 132 213 312 1 3 3 3 1 6 1 5 2一維有限深勢阱能量為E 0 E V0 的粒子在勢阱中運動 V0 a a 定態(tài)薛定諤方程 在 區(qū)在 區(qū) 通解 考慮波函數(shù)有限性 x 時 有限 要求x 時 有限 要求A 0得 V0 x 通解 V x 對稱勢阱 方程解必為奇函數(shù)或偶函數(shù)得 奇函數(shù)解 V0 x 偶函數(shù)解 a a 有限深勢阱中的粒子 E V0 有幾率出現(xiàn)在勢阱外 在經(jīng)典理論中是完全不可能的 是波粒二象性決定 求能量允許值 波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在處的連續(xù)性條件 奇函數(shù)解和偶函數(shù)解分別代入上式 得 代入k1值可得到 可通過超越方程求k2 k2只能取分立值 有限深勢阱中束縛態(tài)粒子能量分立值 奇函數(shù)解 偶函數(shù)解 能量滿足的條件 例 粒子 0 E V0 在一維半無限勢阱中運動 求粒子能量滿足的條件 V0 a x 0 1 6諧振子 任何體系的小振動 在選擇恰當?shù)淖鴺撕罂梢苑纸鉃槿舾杀舜霜毩⒌囊痪S諧振 一維諧振子的勢函數(shù) x V x 諧振子勢 粒子只存在束縛態(tài) 一維定態(tài)薛定諤方程 改寫為 討論 1 能量不連續(xù)基態(tài)能量不為0能量間隔相等 n 1 n 2 n 3 能量為 2 波函數(shù) 微觀粒子的波函數(shù)延伸到阱外 即阱外粒子出現(xiàn)的幾率不為0 與經(jīng)典結(jié)論完全不同 經(jīng)典中 粒子不可能出現(xiàn)在處 隨能量增加 德布羅意波波長越短 能量和波函數(shù)一一對應(yīng) 非簡并 對波函數(shù)討論 3 幾率密度對于基態(tài)量子結(jié)論 x 0處 幾率密度最大 經(jīng)典結(jié)論 x 0處 勢能最小 動能最大 速度最大 逗留時間最短 幾率最小 經(jīng)典與量子結(jié)論正好相反 4 在大量子數(shù)n極限下 量子與經(jīng)典結(jié)論趨于一致 x x n 0n 10 經(jīng)典 量子 經(jīng)典 量子 例 一維線性諧振子 在基態(tài)是時 勢阱外粒子出現(xiàn)的幾率 E0 E x 基態(tài)時勢阱范圍 n 0時 勢阱邊界處 勢阱與勢壘 勢阱的特點 波函數(shù)在無窮遠處為0 粒子被束縛在有限區(qū)域 束縛態(tài) 勢阱內(nèi)能量是分離的 勢壘的特點 不要求波函數(shù)在無窮遠處為0 粒子不是處于束縛態(tài) 粒子的能量可以連續(xù)取值 1 7一維散射和隧道效應(yīng) 一 隧道效應(yīng) 當粒子的能量E小于勢壘高度V0時 有部分粒子可以穿過勢壘 二 反射系數(shù) 透射系數(shù) 1 7 1粒子以能量E入射勢壘 求反射系數(shù)和透射系數(shù) 1 E V0 區(qū) 區(qū) x 通解為 0 V x V0 區(qū) 入射 反射 2 E V0 通解 入射 反射 透射 區(qū)有入射和反射 區(qū)也有透射 粒子以能量E入射到勢場1 當E V0 區(qū) 區(qū) 與 區(qū)相同 1 7 2一維方勢壘 區(qū) 三個薛定諤方程的解 經(jīng)典禁區(qū) 邊界條件x 0 x a處波函數(shù)連續(xù)有 x 0 x a 電子科大微固學(xué)院李競春 解得 由幾率流密度的定義 透射幾率流密度 反射幾率流密度 入射幾率流密度 反射系數(shù) 透射系數(shù) R T 1 2 當E V0時 區(qū) 區(qū) V0 X V x E V0 V0 X V x 三個薛定諤方程的解 0 a 把時的R T關(guān)系式中的k2換為 令 即 討論 V0 0 無勢壘 k1 k2T 1完全透射V0 0 k1 k2T 1R 0粒子有幾率被反射 透射系數(shù)T與勢壘寬度a等的關(guān)系經(jīng)典力學(xué)看E V0情況下 粒子不可能穿越勢壘 會被完全反彈回去 而通過量子力學(xué)計算 透