南京市2020屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

江蘇省南京市2020屆高三年級第一學(xué)期期初聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1.已知集合A，B，則AB_【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集定義直接求得結(jié)果.【詳解】由交集定義可得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)z（i是虛數(shù)單位），則z的虛部是 .【答案】-2【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，則復(fù)數(shù)z的虛部可求【詳解】z，z的虛部是2故答案為2【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3.對一批產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：克）進行抽樣檢測，樣本容量為1600，檢測結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示根據(jù)標準，單件產(chǎn)品質(zhì)量在區(qū)間25，30)內(nèi)為一等品，在區(qū)間15，20)，20，25)和30，35)內(nèi)為二等品，其余為三等品則樣本中三等品件數(shù)為_【答案】200.【解析】分析】根據(jù)頻率分布直方圖求得三等品對應(yīng)頻率，根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以總數(shù)求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，單間產(chǎn)品質(zhì)量在和的為三等品三等品對應(yīng)的頻率為：三等品件數(shù)為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖計算頻數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.4.現(xiàn)有三張卡片，分別寫有“1”、“2”、“3”這三個數(shù)字將這三張卡片隨機排序組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)是偶數(shù)的概率是_【答案】.【解析】【分析】計算出三位數(shù)個數(shù)和其中偶數(shù)個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】三張卡片隨機排序組成一個三位數(shù)，共有：個，其中偶數(shù)有：個該三位數(shù)是偶數(shù)的概率：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的定義域為_【答案】【解析】【分析】直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，然后求解對數(shù)不等式得答案.【詳解】由，得，函數(shù)的定義域為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.6.運行如圖所示的偽代碼，其結(jié)果為 【答案】17【解析】試題分析：第一次循環(huán)，I=1，S=1+1=2；第二次循環(huán)，I=3，S=2+3=5；第三次循環(huán)，I=5，S=5+5=10；第四次循環(huán)，I=7，S=10+7=17，結(jié)束循環(huán)輸出S=17考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖7.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：(a0)的右頂點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的方程為_【答案】.【解析】【分析】由方程得到頂點坐標和漸近線方程，利用點到直線距離公式構(gòu)造方程求得，從而得到所求方程.【詳解】由雙曲線方程知，右頂點為，漸近線方程為：，即右頂點到雙曲線漸近線距離，解得：雙曲線的方程為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解，關(guān)鍵是能夠利用點到直線距離公式構(gòu)造方程求得未知量.8.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為_【答案】.【解析】分析】設(shè)球的半徑為，可知圓柱高為；根據(jù)圓柱表面積和球的表面積公式分別求得表面積，作比得到結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為圓柱的表面積；球的表面積圓柱的表面積與球的表面積之比為本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查圓柱表面積和球的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)(A0，0)部分圖象如圖所示若函數(shù)在區(qū)間m，n上的值域為，2，則nm的最小值是_【答案】3.【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象求得函數(shù)解析式；利用和求得的取值，可知當(dāng)時取最小值，從而得到結(jié)果.【詳解】由圖象知： ，又 ，當(dāng)時，或，或， 當(dāng)時， 若最小，則 本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象求解函數(shù)解析式、根據(jù)值域求解定義域的問題；關(guān)鍵是能夠通過特殊角三角函數(shù)值確定角的取值.10.在公比為q且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為的前n項和若，且，則首項的值為_【答案】.【解析】【分析】首先驗證時，不符合題意，可知；利用和可構(gòu)造方程求得，代入求得結(jié)果【詳解】當(dāng)時，由得：，解得：與矛盾，可知，又，解得： 本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用已知等式構(gòu)造出關(guān)于公比的方程.11.已知是定義在區(qū)間(1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，已知m滿足不等式，則實數(shù)m的取值范圍為_【答案】(0，1).【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)和奇偶性可知在上單調(diào)遞減；將不等式變?yōu)椋鶕?jù)單調(diào)性和定義域可得不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù) 時， 在上單調(diào)遞減為奇函數(shù) 在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞減由得：，解得：，即的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)值之間的比較，根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)值的比較變?yōu)樽宰兞康谋容^；易錯點是忽略定義域的要求，造成求解錯誤.12.已知圓O：x2y24和圓O外一點P(，)，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，且AOB120若點C(8，0)和點P滿足POPC，則的范圍是_【答案】.【解析】【分析】根據(jù)可知，利用構(gòu)造方程可求得；根據(jù)且可解不等式求得結(jié)果.【詳解】， ，即又且 且解得： ，解得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到兩點間距離公式的應(yīng)用、點的軌跡方程的求解；關(guān)鍵是能夠利用表示出動點的橫坐標，從而根據(jù)橫坐標范圍構(gòu)造不等式.13.如圖，已知梯形，取中點，連接并延長交于，若，則_【答案】.【解析】【分析】作，根據(jù)三角形相似得到比例關(guān)系證得；利用平面向量線性運算可用，表示出，根據(jù)數(shù)量積的運算律可整理得到，從而得到結(jié)果.【詳解】作，交于點 ，又又，可得： 又 ，即本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查平面向量的綜合應(yīng)用問題，涉及到向量的線性運算、向量數(shù)量積的運算律等知識；關(guān)鍵是能夠用基底準確的表示向量，將數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為模長之間的關(guān)系，屬于較難題.14.已知函數(shù),若，且，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】首先可根據(jù)題意得出不可能同時大于，然后令，根據(jù)即可得出，最后通過構(gòu)造函數(shù)以及對函數(shù)的性質(zhì)進行分析即可得出結(jié)果。【詳解】根據(jù)題意以及函數(shù)圖像可知，不可能同時大于，因為，所以可以令，即，因為，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，即；令，則，即；令，則，即；所以在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，在上單調(diào)遞增，所以，故答案為?！军c睛】本題考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查分段函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、函數(shù)值與自變量之間的聯(lián)系以及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意構(gòu)造出函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查函數(shù)方程思想，是難題。二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAD，點F是棱PD的中點，點E為CD的中點（1）證明：EF平面PAC；（2）證明：AFPC【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位線可證得，由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）利用線面垂直性質(zhì)可證得，又，可證得線面垂直，進而得到；利用等腰三角形三線合一證得，得到平面；通過線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）分別為中點 平面，平面 平面（2）平面，平面 又四邊形為正方形 ，平面 平面平面 ，為中點 又，平面 平面平面 【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系、線線垂直關(guān)系的證明；證明線線垂直的常用方法是利用線面垂直的性質(zhì)，通過證明線面垂直得到結(jié)論.16.在ABC中，A，AB6，AC（1）求sinB的值；（2）若點D在BC邊上，ADBD，求ABD的面積【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得，再根據(jù)正弦定理求得；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，代入三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由余弦定理可得：由正弦定理可得：（2）為銳角 由余弦定理得：又 【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正余弦定理的應(yīng)用、三角形面積公式的應(yīng)用，屬于?？碱}型.17.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點都在圓周上已知正十字形的寬和長都分別為x，y（單位：dm）且xy，若剪去的正十字形部分面積為4dm2（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求其定義域；（2）現(xiàn)為了節(jié)約紙張，需要所用圓形紙片面積最小當(dāng)x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式，定義域為(0，2)；（2）當(dāng)x取，所用到的圓形紙片面積最小，最小值為【解析】【分析】（1）利用正十字形面積可構(gòu)造關(guān)于的等式，整理可得函數(shù)關(guān)系式；利用且可解不等式求得定義域；（2）利用外接圓直徑可得，利用基本不等式可求得的最小值及取得最小值時的取值，代入圓的面積公式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由題意可得：，則：且，即 關(guān)于的解析式為，定義域為（2）設(shè)正十字形的外接圓的直徑為當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號即時，正十字形外接圓面積：即正十字形外接圓面積的最小值為：，此時【點睛】本題考查構(gòu)造合適的函數(shù)模型解決實際問題，涉及到與實際相結(jié)合的函數(shù)的定義域的求解、基本不等式求解函數(shù)的最值；關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式的取等條件確定最值點.18.已知橢圓C：(ab0)，左、右焦點分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，橢圓離心率為，過點P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A在B的左側(cè)）（1）求橢圓C的方程；（2）若B是AP的中點，求直線l的方程；（3）若B點關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)交點坐標和離心率可求得，根據(jù)可求得橢圓方程；（2）設(shè)，根據(jù)中點坐標公式可得；代入橢圓方程求得點坐標，進而得到直線斜率，利用點斜式方程可求得結(jié)果；（3）設(shè)，則，設(shè)所求定點，根據(jù)三點共線斜率相等可構(gòu)造等式求得，利用韋達定理表示出后可整理化簡得到，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）由焦點坐標可知：又橢圓離心率 橢圓方程為：（2）設(shè)中點， 都在橢圓上 ，解得：或或 或直線方程為：即：或（3）設(shè)，則設(shè)為直線與軸的交點，且三點共線 ，解得：設(shè)直線方程為：，則， 聯(lián)立，化簡得：，則直線與軸相交于定點【點睛】本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓標準方程的求解、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求解直線方程、定點類問題的求解；解決定點類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒆兞勘硎境赡軌驊?yīng)用韋達定理的形式，通過整理化簡得到定值，從而得到定點坐標.19.在數(shù)列中，已知，（1）若（k為常數(shù)），求k；（2）若求證：數(shù)列為等比數(shù)列；記，且數(shù)列的前n項和為，若為數(shù)列中的最小項，求的取值范圍【答案】（1）；（2）證明見解析；.【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系式可根據(jù)得到關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）將遞推關(guān)系式整理為，可證得結(jié)論；求得后，采用分組求和法求得，根據(jù)最小項為，可將問題轉(zhuǎn)化為恒成立；分別在時求得范圍，當(dāng)時，將問題轉(zhuǎn)化為，令且，可驗證出，得到；綜合上述情況可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時， 則，解得：（2）若，則 又 數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列由知： 恒成立即：對恒成立當(dāng)時，解得：當(dāng)時，解得：當(dāng)且時， 令且 綜上所述：【點睛】本題考查數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，涉及到利用遞推公式證明等比數(shù)列、求解數(shù)列通項、分組求和法求解數(shù)列的前項和、根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍等知識；本題中參數(shù)范圍求解的關(guān)鍵是能夠通過分組求和法求得數(shù)列前項和，進而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過對不同取值的討論最終得到結(jié)果，屬于較難題.20.已知函數(shù)（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，由解析式求得切點坐標，從而得到切線方程；（2）由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，利用零點存在性定理可判斷出在上有零點，從而得到結(jié)果；（3）整理出，可知為的兩根，從而得到，；根據(jù)的范圍可確定的范圍后，將兩式代入進行整理；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，該最小值即為的最大值.【詳解】（1）由題意得：，曲線在處切線為：，即（2）