2020屆重慶市九校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2020屆重慶市九校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1若集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】利用并集定義直接求解【詳解】解：集合，故選：【點(diǎn)睛】本題考查并集的求法，考查并集的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題2的實部為（ ）A-2B-1C1D2【答案】B【解析】直接化簡得到，計算實部得到答案.【詳解】，故實部為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，屬于簡單題.3設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（ ）A-4B-2C2D4【答案】B【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式可知，又是奇函數(shù)，故即可得解.【詳解】解：是奇函數(shù)，且.故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.4某地有兩個國家AAAA級旅游景區(qū)甲景區(qū)和乙景區(qū).相關(guān)部門統(tǒng)計了這兩個景區(qū)2019年1月至6月的月客流量（單位：百人），得到如圖所示的莖葉圖.關(guān)于2019年1月至6月這兩個景區(qū)的月客流量，以下結(jié)論錯誤的是（ ）A甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人B乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人C甲景區(qū)月客流量的極差為3200人D乙景區(qū)月客流量的極差為3100人【答案】D【解析】分別計算甲乙景區(qū)流量的中位數(shù)和極差得到答案.【詳解】根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)：甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人，乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人.甲景區(qū)月客流量的極差為3200人，乙景區(qū)月客流量的極差為3000人.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖中位數(shù)和極差的計算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.5若，則（ ）AB6CD【答案】C【解析】根據(jù)得到，再利用和差公式展開得到答案.【詳解】.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正切的和差公式，意在考查學(xué)生的計算能力.6某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)手機(jī)沒電自動關(guān)機(jī)了，他打開收音機(jī)，想聽電臺準(zhǔn)點(diǎn)報時，則他等待的時間不少于20分鐘的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意知這是一個幾何概型，利用對應(yīng)時間的比求出所求的概率值【詳解】解：由題意知這是一個幾何概型，電臺整點(diǎn)報時，事件總數(shù)包含的時間長度是60，滿足他等待的時間少于20分鐘的事件包含的時間長度是20，故所求的概率值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題，屬于基礎(chǔ)題7執(zhí)行下邊的程序框圖，若輸入的的值為5，則輸出的的值為（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖：依次為，輸出的的值為4.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學(xué)生對于程序框圖的理解能力.8已知M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過M作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），的周長為12，則（ ）A4BCD5【答案】A【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，又可得是等邊三角形，根據(jù)三角形的周長，可求.【詳解】解：因為，所以.又M是拋物線C上一點(diǎn)，所以，則是等邊三角形，又的周長為12，則.故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.9最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時期的數(shù)學(xué)家商高，根據(jù)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，我國的（九章算術(shù)也有記載，所以，商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”.其中.D為弦BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理.則（ ）ABCD【答案】D【解析】先由等面積得，利用向量幾何意義求解即可【詳解】由等面積法可得，依題意可得，則在上的投影為，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的幾何意義，是基礎(chǔ)題10已知命題：在中，若，則，命題：在等比數(shù)列中，若，則.下列命題是真命題的是（ ）ABCD【答案】A【解析】先判斷命題是真命題和命題是假命題，再判斷為真命題得到答案.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以，則，即，故命題是真命題.因為，所以，所以，則命題是假命題.故是真命題；，為假命題.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷，意在考查學(xué)生的推斷能力.11已知函數(shù)，則的圖象的對稱中心為（ ）ABCD【答案】D【解析】化簡得到，取，計算得到答案.【詳解】令，得則的圖象的對稱中心為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)對稱中心，化簡得到是解題的關(guān)鍵.12若函數(shù)（，且）有最大值，且最大值不小于-1，則a的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【解析】令，可知，要使（，且）有最大值，則，且，根據(jù)最大值不小于，得到不等式，即可解得.【詳解】解：設(shè)，又因為（，且）有最大值，且最大值不小于，所以，所以，解得故選：.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題.二、填空題13不等式組，表示的可行域的面積為_.【答案】3【解析】由題畫出可行域,進(jìn)而求得面積即可【詳解】作出可行域,如圖所示,可行域的面積為故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題14若等差數(shù)列的前10項和為100，且，則_.【答案】23.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的和可求得數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的推廣式即可求得.【詳解】解：，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.15若函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為_.【答案】【解析】將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在上恒小于零，從而根據(jù)恒成立思想求解出的取值范圍.【詳解】由題意可知，即對恒成立，所以，所以即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知函數(shù)為指定區(qū)間的單調(diào)增(或減)函數(shù)，則在指定區(qū)間上恒成立.16過雙曲線的右焦點(diǎn)F作雙曲線C的一條弦AB，且有，若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_.【答案】2.【解析】由題意可得為線段的中點(diǎn)，由雙曲線關(guān)于軸對稱，可得軸，令，求得，再由直徑所對的圓周角為直角，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)，則，化簡整理，運(yùn)用雙曲線的離心率公式可得所求值【詳解】解：，可得為線段的中點(diǎn)，由雙曲線關(guān)于軸對稱，可得軸，可令，則，即，可設(shè)，以為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，可得為等腰直角三角形，則，即，化為，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題17在等比數(shù)列中，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由數(shù)列是等比數(shù)列，及，且，兩式相除得到公比，再代入可求，則通項公式可求.（2）利用分組求和求出數(shù)列的前n項和.【詳解】解：（1）因為等比數(shù)列中，且.所以公比，所以，即，故.（2）因為所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的計算與等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18設(shè)，分別為內(nèi)角，的對邊，已知，.（1）若，求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）計算，利用正弦定理得到，再根據(jù)邊的大小關(guān)系得到答案.（2）直接利用余弦定理得到，再利用面積公式計算得到答案.【詳解】（1）因為，所以.，所以解得或，又，所以.（2）由余弦定理，可得，即解得（負(fù)根舍去），故的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生對于三角公式的靈活運(yùn)用.19某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宜傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)對年銷售量（單位：t）的影響.該公司對近5年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x（萬元）和年銷售量y（單位：t）具有線性相關(guān)關(guān)系，并對數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.x（萬元）24536y（單位：t）2.544.536（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程.（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤（萬元）與x，y的關(guān)系為根據(jù)（1）中的結(jié)果回答下列問題：當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬元時，預(yù)測該產(chǎn)品的年銷售量及年利潤；估計該產(chǎn)品的年利潤與年宣傳費(fèi)的比值的最大值.附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）約為22.5萬元，0.35.【解析】（1）由已知求得與的值，則線性回歸方程可求；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，取求得值，進(jìn)一步得到年利潤的預(yù)報值；寫出年利潤與年宣傳費(fèi)的比值的函數(shù)式，利用基本不等式求最值【詳解】（1）.設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為，則,故y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）由（1）知，當(dāng)時，則該產(chǎn)品的年銷售量約為,，則該產(chǎn)品的年利潤約為22.5萬元.，.,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號，該產(chǎn)品的年利潤與年宣傳費(fèi)的比值的最大值為0.35.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是中檔題20已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）若對恒成立，求m的取值范圍.【答案】（1）,（2）【解析】（1）求導(dǎo)可得,由題,切線方程斜率為,解得,代回函數(shù)求得,即,可求得；（2）如果求對恒成立,即求,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最小值即可求解不等式【詳解】解：（1）,因為在處的切線方程為,即,此時切線斜率,則,解得,所以,所以,則,解得（2）由（1）知,設(shè)函數(shù),則,所以在為增函數(shù),因為,令,得；令,得,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,所以,從而,即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求值,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想,考查運(yùn)算能力21已知橢圓的離心率，且圓經(jīng)過橢圓C的上、下頂點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C相切，且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，證明：的面積為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）根據(jù)圓經(jīng)過橢圓C的上、下頂點(diǎn)，可得，再根據(jù)離心率即可求得橢圓方程.（2）分斜率存在與否兩種情況討論，分別計算出的面積，即可得證.【詳解】（1）解：因為圓過橢圓C的上、下頂點(diǎn)，所以.又離心率，所以，則.故橢圓C的方程為.（2）證明：橢圓，當(dāng)直線l的斜率不存在時，這時直線l的方程為，聯(lián)立，得，即，則.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立，得，由，可得.聯(lián)立，得.設(shè)，所以，則.因為原點(diǎn)到直線l的距離，所以.綜上所述，的面積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以與橢圓中弦長的計算及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.22在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求，的值；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，與曲線交于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程得到，根據(jù)參數(shù)方程得到答案.（2）將參數(shù)方程代入圓方程得到，根據(jù)韋達(dá)定理得到，計算得到答案.【詳解】（1）由，得，則，即.因為，所以.（2）將代入，得.設(shè)，兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，利用直線的參數(shù)方程可以簡化計算，是解題的關(guān)鍵.23已知函數(shù).（1）求