2001年考研數(shù)學(xué)一真題.pdf

y O x 2001 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)一試題 一 填空題 本題共 5 小題 每小題 3 分 滿分 15 分 把答案填在題中橫線上 1 設(shè) 12 sincos x ye CxCx 12 C C為任意常數(shù) 為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通 解 則該方程為 2 設(shè) 222 zyxr 則 div gradr 2 2 1 3 交換二次積分的積分次序 0 1 1 2 y dxyxfdy 4 設(shè)矩陣A滿足 2 40AAE 其中E為單位矩陣 則 1 A E 5 設(shè)隨機(jī)變量X的方差是2 則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì) 2 XEXP 二 選擇題 本題共本題共 5 小題小題 每小題每小題 3 分分 滿分滿分 15 分分 1 設(shè)函數(shù) xf在定義域內(nèi)可導(dǎo) xfy 的圖形如右圖所示 則 xfy 的圖形為 2 設(shè) yxf在點(diǎn) 0 0 附近有定義 且1 0 0 3 0 0 yx ff 則 A 0 0 3 z ddxdy B 曲面 yxfz 在 0 0 0 0 f處的法向量為 3 1 1 C 曲線 0 y yxfz 在 0 0 0 0 f處的切向量為 1 0 3 D 曲線 0 y yxfz 在 0 0 0 0 f處的切向量為 3 0 1 3 設(shè)0 0 f 則 xf在x 0 處可導(dǎo)的充要條件為 A 2 0 1 lim 1 cosh h f h 存在 B 0 1 lim 1 h h fe h 存在 C 2 0 1 lim sinh h f h h 存在 D 0 1 lim 2 h fhf h h 存在 4 設(shè) 1 1 1 14000 1 1 1 10000 1 1 1 10000 1 1 1 10000 AB 則A與B A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似 5 將一枚硬幣重復(fù)擲 n 次 以 X 和 Y 分別表示正面向上和反面向上的次數(shù) 則 X 和 Y 的相關(guān)系 數(shù)等于 A 1 B 0 C 1 2 D 1 三 本題滿分 6 分 求dx e e x x 2 arctan 四 本題滿分 6 分 設(shè)函數(shù) yxfz 在點(diǎn) 1 1 處可微 且 1 1 1f 1 1 2 f x 1 1 3 f y xf x f x x 求 1 3 x x dx d 五 本題滿分 8 分 設(shè) xf 2 1 0 arctan 0 1 x x xx x 將 xf展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù) 并求級(jí)數(shù) 1 2 41 1 n n n 的和 六 本題滿分 7 分 計(jì)算dzyxdyxzdxzyI L 3 2 222222 其中L是平面2 zyx與柱 面1 yx的交線 從Z軸正向看去 L為逆時(shí)針?lè)较?七 本題滿分 7 分 設(shè) xf在 1 1 內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且0 x f 試證 1 對(duì)于 1 1 內(nèi)的任一0 x 存在惟一的 1 0 x 使 xf 0 f xxf x 成立 2 0 1 lim 2 x x 八 本題滿分 8 分 設(shè)有一高度為 h t t為時(shí)間 的雪堆在融化過(guò)程 其側(cè)面滿足方程 2 22 th yx thz 設(shè) 長(zhǎng)度單位為厘米 時(shí)間單位為小時(shí) 已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比 比例系數(shù)為 0 9 問(wèn)高度為 130 厘米 的雪堆全部融化需多少小時(shí) 九 本題滿分 6 分 設(shè) s 21 為線性方程組0Ax 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 11122 tt 21223 tt 121ss tt 其中 21 t t為實(shí)常數(shù) 試問(wèn) 21 t t滿足什么條件時(shí) s 21 也為0Ax 的一個(gè) 基礎(chǔ)解系 十 本題滿分 8 分 已知 3 階矩陣A與三維向量x 使得向量組 2 x Ax A x線性無(wú)關(guān) 且滿足xAAxxA 23 23 1 記P xAAxx 2 求 3 階矩陣B 使 1 PBPA 2 計(jì)算行列式EA 十一 本題滿分 7 分 設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為 0 的泊松分布 每位乘客在中途下車的概率為 p 01p 且中途下車與否相互獨(dú)立 以Y表示在中途下車的人數(shù) 求 1 在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下 中途有m人下車的概率 2 二維隨機(jī)變量 X Y的概率分布 十二 本題滿分 7 分 設(shè) 總 體X服 從 正 態(tài) 分 布 2 N 0 從 該 總 體 中 抽 取 簡(jiǎn) 單 隨 機(jī) 樣 本 12 X X 2n X 2n 其樣本均值為 n i i X n X 2 1 2 1 求統(tǒng)計(jì)量 n i ini XXXY 1 2 2 的 數(shù)學(xué)期望 E Y 2001 年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析 一 填空題 1 分析 由通解的形式可知特征方程的兩個(gè)根是 12 1r ri 從而得知特征方程為 22 12121 2 220rrrrrrr rrrrr 由此 所求微分方程為 220yyy 2 分析 先求 gradgradr gradgradr rrrx y z xyzr r r 再求 divgradgradr xyz x ry rz r 222222 3333 11132 xyzxyz rrrrrrrrr 于是 divgradgradr 1 2 2 1 2 2 22 3r 3 分析 這個(gè)二次積分不是二重積分的累次積分 因?yàn)?0y 時(shí) 12y 由此看出二次積分 02 11 y dyf x y dx 是二重積分的一個(gè)累次 積分 它與原式只差一個(gè)符號(hào) 先把此累次積分表為 02 11 y D dyf x y dxf x y dxdy 由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D 10 12yyx 見(jiàn)圖 現(xiàn)可交換積分次序 原式 022021 111110 x yx dyf x y dxdxf x y dydxf x y dy 4 分析 矩陣A的元素沒(méi)有給出 因此用伴隨矩陣 用初等行變換求逆的路均堵塞 應(yīng)當(dāng)考慮用 定義法 因?yàn)?2 2 240A E AEEAAE 故 2 2AEAEE 即 2 2 AE AEE 按定義知 1 1 2 2 AEAE 5 分析 根據(jù)切比雪夫不等式 2 D x P XE X 于是 2 1 2 22 D x P XE X 二 選擇題 1 分析 當(dāng)0 x 時(shí) f x單調(diào)增 0f x A C 不對(duì) 當(dāng)0 x 時(shí) f x 增 減 增 f x 正 負(fù) 正 B 不對(duì) D 對(duì) 應(yīng)選 D 2 分析 我們逐一分析 關(guān)于 A 涉及可微與可偏導(dǎo)的關(guān)系 由 f x y在 0 0 存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) f x y在 0 0 處可 微 因此 A 不一定成立 關(guān)于 B B 只能假設(shè) f x y在 0 0 存在偏導(dǎo)數(shù) 0 0 0 0 ff xy 不保證曲面 zf x y 在 0 0 0 0 f存在切平面 若存在時(shí) 法向量 n 0 0 0 0 1 ff xy 3 1 1 與與 3 1 1 不 共線 因而 B 不成立 關(guān)于 C 該曲線的參數(shù)方程為 0 0 xt y zf t 它在點(diǎn) 0 0 0 0 f處的切向量為 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 tx d tf tf dt 因此 C 成立 3 分析 當(dāng) 0 0f 時(shí) 0 0 lim x f x f x 00 limlim xx f xf x xx 關(guān)于 A 22 000 1 1 cos 1 cos1 lim 1 cos lim1 coslim 1 cos2 hht fhhf t fhth hhht 由此可知 2 0 1 lim 1 cos h fh h 0 f 若 f x在0 x 可導(dǎo) A 成立 反之若 A 成立 0 f 0 f 如 f xx 滿 足 A 但 0 f不 關(guān)于 D 若 f x在0 x 可導(dǎo) 00 1 2 lim 2 lim 2 2 0 0 2 hh fhf h fhf hff hhh D 成立 反之 D 成立 0 lim 2 0 h fhf h f x在0 x 連續(xù) f x在0 x 可 導(dǎo) 如 21 0 0 0 xx f x x 滿足 D 但 f x在0 x 處不連續(xù) 因而 0 f也不 再看 C 222 000 1sin sin sin lim sin limlim sin hhh hhf hhhhf t f hh hhhhht 當(dāng)它們都 時(shí) 注意 易求得 2 0 sin lim0 h hh h 因而 若 0 f C 成立 反之若 C 成立 0 lim t f t t 即 0 f 因?yàn)橹灰?f t t 有界 任有 C 成立 如 f xx 滿足 C 但 0 f不 因此 只能選 B 4 分析 由 43 40EA 知矩陣A的特征值是4 0 0 0 又因A是實(shí)對(duì)稱矩陣 A 必能相似對(duì)角化 所以A與對(duì)角矩陣B相似 作為實(shí)對(duì)稱矩陣 當(dāng)AB時(shí) 知A與B有相同的特征值 從而二次型 T x Ax與 T x Bx有相同的 正負(fù)慣性指數(shù) 因此A與B合同 所以本題應(yīng)當(dāng)選 A 注意 實(shí)對(duì)稱矩陣合同時(shí) 它們不一定相似 但相似時(shí)一定合同 例如 1 0 0 2 A 與 1 0 0 3 B 它們的特征值不同 故A與B不相似 但它們的正慣性指數(shù)均為 2 負(fù)慣性指數(shù)均為 0 所以A與B合 同 5 分析 解本題的關(guān)鍵是明確X和Y的關(guān)系 XYn 即YnX 在此基礎(chǔ)上利用性質(zhì) 相關(guān)系數(shù) XY 的絕對(duì)值等于 1 的充要條件是隨機(jī)變量X與Y之間存在線性關(guān)系 即YaXb 其 中 a b是常數(shù) 且當(dāng)0a 時(shí) 1 XY 當(dāng)0a 時(shí) 1 XY 由此便知1 XY 應(yīng)選 A 事實(shí)上 Cov X YCov X nXDX DYD nXDX 由此由相關(guān)系數(shù)的定 義式有 1 XY Cov X YDX DXDYDXDY 三 解 原式 22 22 11 arctan arctan 22 1 x xxxx xx de e d eee ee 2 22 1 arctan 21 xx xx xx dede ee ee 2 1 arctanarctan 2 xxxx eeeeC 四 解 先求 1 1 1 1 1 1 1fff 求 32 1 3 1 1 3 1 x d x dx 歸結(jié)為求 1 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 12 d xfx f x xfx f x xf x x dx 1212 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ffff 注意 1 1 1 1 1 2 f f x 2 1 1 1 1 3 f f y 因此 1 2 3 2 3 17 3 1 3 1751 x d x dx 五 分析與求解 關(guān)鍵是將arctanx展成冪級(jí)數(shù) 然后約去因子x 再乘上 2 1x 并化簡(jiǎn)即可 直接將arctanx展開(kāi)辦不到 但 arctan x易展開(kāi) 即 2 2 0 1 arctan 1 1 1 nn n xxx x 積分得 221 00 00 1 arctan arctan 1 21 n xx nnn nn xt dtt dtx n 1 1 x 因?yàn)橛叶朔e分在1x 時(shí)均收斂 又arctanx在1x 連續(xù) 所以展開(kāi)式在收斂區(qū)間端點(diǎn) 1x 成立 現(xiàn)將 式兩邊同乘以 2 1x x 得 222 222 000 1 1 1 1 arctan 1 212121 nnnn nn nnn xx xxxx xnnn 1 22 00 1 1 2121 nn nn nn xx nn 2 1 11 1 1 2121 nn n x nn 2 2 1 1 2 1 1 4 n n n x n 1 1 x 0 x 上式右端當(dāng)0 x 時(shí)取值為 1 于是 2 2 1 1 2 1 1 1 1 4 n n n f xxx n 上式中令1x 2 1 1 111 1 1 21 1 422442 n n f n 六 解 用斯托克斯公式來(lái)計(jì)算 記S為平面2xyz 上L所 為圍部分 由L的定向 按右手法則S取上側(cè) S的單位法向量 1 cos cos cos 1 1 1 3 n 于是由斯托克斯公式得 222222 coscoscos 23 S IdS xyz yzzxxy 111 24 26 22 333 S yzzxxydS 22 423 2 6 33 SS xyz dSxyzxy dS 利用 于是 2 2 11 1 13 xy ZZ 按第一類曲面積分化為二重積分得 2 6 32 6 3 DD Ixydxdyxy dxdy 其中D圍S在xy平面上的投影區(qū)域 1xy 圖 由D關(guān)于 x y軸的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇 偶性得 0 D xy dxdy 2 1212 2 24 D Idxdy 七 證明 1 由拉格朗日中值定理 1 1 x 0 0 1 x 使 0 f xfxfx 與x有關(guān) 又由 fx連續(xù)而 0fx fx在 1 1 不變號(hào) fx在 1 1 嚴(yán)格單 調(diào) 唯一 2 對(duì) fx 使用 0 f的定義 由題 1 中的式子先解出 fx 則有 0 f xf fx x 再改寫(xiě)成 0 0 0 f xfxf fxf x 2 0 0 0 fxff xfxf xx 解出 令0 x 取極限得 2 000 1 0 0 0 0 1 2 limlim lim 0 2 xxx f f xfxffxf xxf 八 解 1 設(shè)t時(shí)刻雪堆的體積為 V t 側(cè)面積為 S t t時(shí)刻雪堆形狀如圖所示 先求 S t與 V t 側(cè)面方程是 222 22 2 2 xy xyh t zh tx yDxy h t 44 zxzy xh tyh t 222 22 16 1 xyxy DD zzh txy S tdxdydxdy xyh t 作極坐標(biāo)變換 cos sinxryr 則 1 02 0 2 xy Drh t 1 2 22 2 00 1 3 222 22 0 1 16 2113 16 4812 h t h t S tdh tr rdr h t h trh t h t 用先二后一的積分順序求三重積分 0 h t D x V tdzdxdy 其中 22 2 xy D zh tz t h t 即 222 1 2 xyh th t z 2333 0 1 2224 h t V th th t z dzh th th t 2 按題意列出微分方程與初始條件 體積減少的速度是 dV dt 它與側(cè)面積成正比 比例系數(shù) 0 9 即 0 9 dV S dt 將 V t與 S t的表達(dá)式代入得 22 13 3 0 9 412 dh h th t dt 即 13 10 dh dt 0 130h 3 解 得 13 10 h ttC 由 得130C 即 13 130 10 h tt 令 0h t 得100t 因此 高度為 130 厘米的雪堆全部融化所需時(shí)間為 100 小時(shí) 九 解 由于 1 2 i is 是 12 s 線性組合 又 12 s 是0Ax 的解 所以根 據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知 1 2 i is 均為0Ax 的解 從 12 s 是0Ax 的基礎(chǔ)解系 知 snr A 下面來(lái)分析 12 s 線性無(wú)關(guān)的條件 設(shè) 1122 0 ss kkk 即 1 1212 11 22221 33211 0 ssss t