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由一道習(xí)題引發(fā)的思考探索二元一次方程組解的情況內(nèi)容摘要：對(duì)一道二元一次方程組解的情況習(xí)題，是簡(jiǎn)單地呈現(xiàn)最后的結(jié)果？還是給學(xué)生講解理由？我選擇了后者，首先引入一種新的解二元一次方程組的方法，在求解的過(guò)程中產(chǎn)生矛盾，撞擊學(xué)生思維的火花；圍繞矛盾設(shè)置由淺入深的問(wèn)題，直至得出最后結(jié)論，并用所歸納的結(jié)論解決問(wèn)題。學(xué)生經(jīng)過(guò)探索、獨(dú)立思考、合作討論、總結(jié)歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)和思維過(guò)程認(rèn)知能力得到提高。同時(shí)也使自己的教學(xué)水平提高，達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的效果。關(guān)鍵詞： 系數(shù)行列式； 解的情況； 唯一解；無(wú)窮多解 ；無(wú)解一、情景描述蘇科版七年級(jí)教材下冊(cè)10.3解二元一次方程組，運(yùn)用代入、加減消元法求解二元一次方程組，例題和習(xí)題中的方程組都是有解的，教材沒有對(duì)二元一次方程組解的情況討論。在輔導(dǎo)課上，徐渺，呂園等幾位同學(xué)問(wèn)我一個(gè)問(wèn)題，題目?jī)?nèi)容是“當(dāng)m ，n取什么值時(shí)，方程組 有唯一解？有無(wú)窮多解？無(wú)解？”他們說(shuō)看不懂題目，不知道題目是什么意思。如何解答這個(gè)問(wèn)題？是直接告訴結(jié)論把答案呈現(xiàn)給他們，還是給他們講解理由？若講解如何才能讓他們理解透徹？二、反思與分析為了解決上述問(wèn)題，進(jìn)一步提高學(xué)生的認(rèn)知能力，根據(jù)七年級(jí)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知特點(diǎn)，我給他們提供了當(dāng)二元一次方程組有解時(shí)的另一種解法。首先我們引入一種運(yùn)算 定義：二階行列式，例如下面我們用一種新方法來(lái)解二元一次方程組 例（教材蘇科版七下P91）解二元一次方程組 分析：方程右邊為常數(shù)為4，方程右邊為常數(shù)為-5；我們把方程、中未知數(shù)x、y的系數(shù)按照原來(lái)的位置，構(gòu)成二階系數(shù)行列式；把系數(shù)行列式中x的系數(shù)所在列換成方程、中常數(shù)，可得行列式；把系數(shù)行列式中y的系數(shù)所在列換成方程、中常數(shù)，可得行列式，根據(jù)行列式計(jì)算方法，可得；。解：方程組的二階系數(shù)行列式做相應(yīng)的常數(shù)替換；方程組的解可以表示為： 所以方程組的解為 此種解法所得答案和課本結(jié)果一樣，注意未知數(shù)求解的表示中，分母都為二階系數(shù)行列式， 求x時(shí)只需把二階系數(shù)行列式中的未知數(shù)x的系數(shù)換為對(duì)應(yīng)方程的常數(shù)后作為分子，求y時(shí)只需把二階系數(shù)行列式中的未知數(shù)y的系數(shù)換為對(duì)應(yīng)方程的常數(shù)后作為分子，可以求解方程組的解。（學(xué)生感到驚奇，非常想用新方法一試身手。）通過(guò)新解法的呈現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。請(qǐng)你仿照上述解法解方程組（教材蘇科版七下P90例2）幾位學(xué)生按照新解法很快求解出方程組的解。并和課本例題答案對(duì)照，結(jié)果一樣。（學(xué)生快樂(lè)地學(xué)習(xí)，感覺到成功的喜悅）“很好，你們真棒”我適時(shí)給學(xué)生鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)，接著我又提出問(wèn)題：“由上面解二元一次方程組解的表達(dá)式，若二元一次方程組有解，解是由什么決定的？你對(duì)二元一次方程組的解有何新的認(rèn)識(shí)？”（幾位學(xué)生討論后認(rèn)為若二元一次方程組有解，解是由二元一次方程組本身的系數(shù)和常數(shù)唯一決定的。）很好，請(qǐng)你用上述方法解二元一次方程組學(xué)生用新方法解題 （學(xué)生說(shuō)：“咦，分母怎么為0了，未知數(shù)x值算不出來(lái)啊。” 學(xué)生產(chǎn)生困惑）解題產(chǎn)生了矛盾，撞擊學(xué)生思維的火花，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的求知欲和探索欲望。這時(shí)我適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)：“剛才我們解題的時(shí)候，雖然我們沒有判斷系數(shù)行列式的值是否為0；實(shí)際上它們系數(shù)行列式分別為； ，都不為0，所以我們可以把解唯一地表示出來(lái)，而的系數(shù)行列式，此時(shí)方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多個(gè)解?！苯又依^續(xù)提問(wèn)由上面兩個(gè)方程組：1、你認(rèn)為二元一次方程組滿足什么條件時(shí)有唯一解？學(xué)生討論后回答：“二元一次方程組二階系數(shù)行列式不為0時(shí)，方程組唯一解。”2、系數(shù)行列式為0時(shí)，方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多個(gè)解，那么什么時(shí)候無(wú)解？什么時(shí)候有無(wú)窮多個(gè)解？請(qǐng)你繼續(xù)考察方程組我們把式兩邊同乘以2，得方程，這與式相矛盾，此時(shí)方程組無(wú)解。計(jì)算后知道系數(shù)行列式，用兩方程的常數(shù)替換未知數(shù)x（或y）后得到行列式，計(jì)算的值是否為0 ？你有何結(jié)論？ 學(xué)生計(jì)算討論后回答：，若，且常數(shù)替換未知數(shù)x后得到行列式，方程組無(wú)解。3、請(qǐng)繼續(xù)考察方程組我們首先計(jì)算系數(shù)行列式 ,我們把式兩邊同乘以3，得方程，這與式完全相同，兩個(gè)二元一次方程實(shí)際上是同一個(gè)二元一次方程了，由于一個(gè)二元一次方程有無(wú)窮多解,所以此時(shí)方程組有無(wú)窮多解。首先我們通過(guò)計(jì)算后知道系數(shù)行列式，用兩方程的常數(shù)替換未知數(shù)x（或y）的系數(shù)后得到行列式，計(jì)算的值是否為0 ？你有何結(jié)論？ 學(xué)生計(jì)算討論后回答：，若，且常數(shù)替換未知數(shù)x的系數(shù)后得到行列式，方程組有無(wú)窮多解。 4、由上面的探索，你能否歸納并敘述出對(duì)于一般的二元一次方程組 的各系數(shù)及常數(shù)，滿足什么條件時(shí)(1) 二元一次方程組有唯一解；(2) 二元一次方程組有無(wú)窮多解；(3) 二元一次方程組無(wú)解；（這對(duì)學(xué)生是一個(gè)挑戰(zhàn)，學(xué)生的思維得到進(jìn)一步的升華和提高，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力）我留給每位學(xué)生充足的思考探索時(shí)間，培養(yǎng)他們獨(dú)立思考的能力；然后互相交流討論，達(dá)成共識(shí)，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)。這樣即便有學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題后可能還沒能歸納出結(jié)果，但是經(jīng)自己的思考帶著問(wèn)題去聽其他同學(xué)的解答，分析自己的思路，突破難點(diǎn)，這樣可提高他本人分析解決問(wèn)題的能力。在學(xué)生討論交流的時(shí)候，我參與到討論過(guò)程中去，以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平共同和學(xué)生歸納總結(jié)，并及時(shí)給學(xué)生以引導(dǎo)和鼓勵(lì)。學(xué)生經(jīng)獨(dú)立思考，交流合作達(dá)成共識(shí)得到結(jié)論。1) ，二元一次方程組有唯一解；(2) 且 ，二元一次方程組有無(wú)窮多解；(3) 且 ，二元一次方程組無(wú)解；（上述總結(jié)的結(jié)果不易記憶，我引導(dǎo)學(xué)生改寫結(jié)論）我們知道若，即，也就是；，即，也就是；為了記憶上的簡(jiǎn)潔，我們可以把上述結(jié)果表述為結(jié)論：對(duì)于一般的二元一次方程組 我們有(1) ， 二元一次方程組有唯一解；(2) ， 二元一次方程組有無(wú)窮多解；(3) ， 二元一次方程組無(wú)解；我們已探索總結(jié)出二元一次方程組三種解的情況所需的條件，學(xué)以致用，用所探究的知識(shí)解決問(wèn)題“當(dāng)m ，n取什么值時(shí)，方程組 有唯一解？有無(wú)窮多解？無(wú)解？解：(1) 即， 二元一次方程組有唯一解；(2) 即 ， 二元一次方程組有無(wú)窮多解；(3) ，即 二元一次方程組無(wú)解；為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)他們的求知欲，我給學(xué)生引入一種新的解二元一次方程組的方法，在求解的過(guò)程中產(chǎn)生矛盾，撞擊他們思維的火花，圍繞矛盾我設(shè)置由淺入深的問(wèn)題，直至得出最后結(jié)論，并用所學(xué)知識(shí)解決自己提出的問(wèn)題。學(xué)生經(jīng)歷探索、獨(dú)立思考、合作討