矩陣分析所有習題.ppt

習題3 1已知A Cn n是正定Hermite矩陣 Cn 定義內積 A 試證它是內積 寫出相應的C S不等式 Cauchy Schwarz不等式 習題3 3 1 3 3 1 已知A 試求U Un n使U AU R為上三角矩陣 解 det E A 1 3給出 1是A的3重特征值 顯然 1 0 1 0 T是A的一個特征向量 作酉矩陣V 1 2 3 2 1 0 0 T 3 0 0 1 T 則V AV 子矩陣A1的特征值仍是 1 對應的單位特征向量是 1 2 5 1 5 T 作2階酉矩陣W1 1 2 2 1 5 2 5 T 則W1 A1W1 作3階酉矩陣W diag 1 W1 U VW 則U AU 為上三角矩陣 習題3 9 3 9 若S T分別為實對稱 反實對稱矩陣 則A E T iS E T iS 1為酉矩陣 證 A A E T iS 1 E T iS E T iS E T iS 1 E T iS 1 E T iS E T iS E T iS 1 E T iS 1 E T iS E T iS E T iS 1 E注 可以不證AA E E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 習題3 12設A B均是正規(guī)矩陣 試證 A與B酉相似的充要條件是A與B的特征值相同 證 充分性 因為A B是正規(guī)矩陣 所以存在U V Un n使得A Udiag 1 n U B Vdiag 1 n V 其中 1 n是A B的特征值集合 于是B VU AUV W AW W UV Un n即得證A與B酉相似 必要性 顯然 因為 相似矩陣有相同的特征值 習題3 13 3 13 若A Hn n A2 A 則存在U Un n使得U AU diag Er 0 r rank A 證 存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值的任意排列 A2 A和A2 Udiag 1 n U Udiag 1 n U Udiag 12 n2 U i2 i 即 i 0 1 i 1 n 取 1 n的排列使特征值0全排在后面 則 式即給出所需答案 習題3 14 3 14 若A Hm n A2 E 則存在U Un n使得U AU diag Er En r 證 存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值的任意排列 A2 E Udiag 1 1 U 和A2 Udiag 1 n U Udiag 1 n U Udiag 12 n2 U i2 1 即 i 1 i 1 n 取 1 n的排列使特征值1 設共有r個 全排在前面 則 式即給出所需答案 習題3 16 3 16 設若A B Hn n 且A為正定Hermite矩陣 試證 AB與BA的特征值都是實數(shù) 證1 由定理3 9 4 A1 2是正定矩陣 于是A 1 2 AB A1 2 A1 2BA1 2 M Hm n 即AB相似于一個Hermite矩陣M AB M R 得證AB的特征值都是實數(shù) 又A1 2 BA A 1 2 A1 2BA1 2 M Hm n 即BA相似于一個Hermite矩陣M BA M R 得證BA的特征值都是實數(shù) 3 16 設若A B Hm n 且A正定 試證 AB與BA的特征值都是實數(shù) 證2 由定理3 9 1 PAP E 則PABP 1 PAP P 1BP 1 P 1BP 1 M Hm n 即AB相似于一個Hermite矩陣M AB M R 得證AB的特征值都是實數(shù) 又因BA的非零特征值與AB的非零特征值完全相同 故BA的特征值也都是實數(shù) 證3 det E AB det A A 1 B detAdet A 1 B 0 但detA 0 和det A 1 B 0的根全為實數(shù) 見例3 9 1的相關證明 習題3 19設A是正定Hermite矩陣且A Un n 則A E 證 存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值的任意排列 A是正定蘊含 i 0 i 1 nA Un n蘊含 i 1 i 1 n因此 i 1 i 1 n A Udiag 1 n U UEU UU E 習題3 20試證 兩個半正定矩陣之和是半正定 半正定矩陣與正定矩陣之和是正定矩陣 解 設A B Hn n分別是半正定矩陣 正定矩陣 則A A B B A B A B Hn n x Cn x Ax 0 x Bx 0 x Cn x A B x 0 A B是半正定Hermite矩陣 0 x Cn x Ax 0 x Bx 0 0 x Cn x A B x x Ax x Bx 0 A B是正定Hermite矩陣 習題3 22設A B均是正規(guī)矩陣 試證 A與B相似的充要條件是A與B酉相似 證 因為A B是正規(guī)矩陣 所以存在U V Un n使得A Udiag 1 n U B Vdiag 1 n V 其中 1 n 1 n分別是A B的特征值集合的任意排列 必要性 若A與B相似 則 i i i 1 n 于是B VU AUV W AW W UV Un n即得證A與B酉相似 充分性 顯然 因為 酉相似必然相似 習題3 23設A A 試證 總存在t 0 使得A tE是正定 A tE是負定 證 因為A是Hermite矩陣 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值并且全為實數(shù) 令t Max 1 n 于是 A tE是Hermite矩陣并且特征值全為正數(shù) 即得證A tE是正定Hermite矩陣 A tE是Hermite矩陣并且特征值全為負數(shù) 即得證A tE是負定Hermite矩陣 習題3 25 3 25 A A A SHn n U A E A E 1 Un n A SHn n A E的特征值全不為0 從而A E可逆 解 U U 1 A E 1 A E A E A E 1 A E 1 A E A E A E 1 A E 1 A E A E A E 1 A E A E A E A E A2 E A2 E因最后一式恒成立 得證U U 1 從而U A E A E 1 Un n 習題3 26設A為正規(guī)矩陣特征值為 1 n 試證 A A的特征值為 1 2 n 2 證 因為A是正規(guī)矩陣 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值 于是 A A Udiag 1 2 n 2 U 因對角矩陣diag 1 2 n 2 酉相似于A A 故A A的特征值為 1 2 n 2 習題3 27 3 27 1 A A AA 都是半正定Hermite矩陣 2 若A Cm n 則A A AA 的非零特征值相同 它們的譜可能不一樣 證 1 A A A A AA AA x Cn x A A x Ax Ax Ax Ax 0 2 對AA 的任意非零特征值 有AA x x x 0 于是A A A x A x 因 x 0 故A x 0 從而得證AA 的任意非零特征值 也是A A的非零特征值 同理可證 A A的任意非零特征值 也是AA 的非零特征值 習題3 27 2 另一解法 證 不難驗證下列矩陣等式 因S 可逆 故從而det E AA 0與det E A A 0有相同非零解 得證AA 與A A有相同的非零特征值 習題3 28設A為正規(guī)矩陣 試證 若Ar 0 則A 0 若A2 A 則A A 證 因為A是正規(guī)矩陣 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是A的特征值 于是 Ar Udiag 1r nr U 0蘊涵 ir 0 i 1 n 后者又蘊涵 1 n 0 A Udiag 0 0 U 0 若A2 A 則 i2 i i 1 n 后者又蘊涵 i 0或1 i 1 n 即正規(guī)矩陣A的特征值全為實數(shù) A Udiag 1 n U A 習題3 30 3 30 若A Cn n 則A可唯一地寫為A B C 其中B Hn n C SHn n 證 存在性取B 1 2 A A C 1 2 A A 則顯然B C分別是Hermite矩陣和反Hermite矩陣 并且滿足A B C 唯一性若A B C 其中B Hn n C SHn n 則A B C B C B C 于是B 1 2 A A C 1 2 A A 證畢注 令T iC 則T iC i C T 即T Hn n 由此推出 A可唯一地寫為A B iT 其中B T Hn n 習題3 1試證 向量長度的齊次性 3 1 試證證 令 a1 an T 則k a1 an T 習題3 2試證 在酉空間V中成立廣義商高定理 3 2 試證 1 k V i j 0 i j 或等價地 1 k 1 k 1 1 k k 證 對k用歸納法證明 k 2時 有 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 若k 1時結論成立 則 1 k 1 k 0 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 1 k 1 k k 1 1 k k k k 習題3 3令 1 1 1 1 1 T 2 3 3 1 1 T 3 2 0 6 8 T 求Span 1 2 3 的標正基 解 1 2 3就是所要求的標正基 習題3 5 i 用歸納法證明1 3 5 2n 1 2 n2 證 對k用歸納法證明 k 1時結論顯然成立 若n 1時結論成立1 3 5 2n 3 n 1 2則1 3 5 2n 1 2 1 3 5 2n 3 2n 1 n 1 2 2n 1 n2 2n 1 2n 1 n2 習題3 6 試證 為正規(guī)矩陣解所以A為正規(guī)矩陣 易見 A不是對角陣且A A和A A因此 A不是Hermite矩陣 也不是反Hermite矩陣 習題3 7證明 對任意正定矩陣A 任意正整數(shù)k都有正定矩陣S使Sk A 證 因為A是正定矩陣 所以存在U Un n使得A Udiag 1 n U 其中 1 n是全為正數(shù) 令S Udiag 11 k n1 k U 其中 i1 k是正數(shù) i的k次算術根 也全為正數(shù) 由此推出 Sk A 并且S酉相似于對角元全為正數(shù)的對角矩陣 從而得證S是正定Hermite矩陣 習題4 1 1 4 1 求A 的滿秩分解 解1 A C A BC B A5 A3 A1 習題4 1 1 4 1 求A 的滿秩分解 解2 A C A BC B A1 A2 A3 習題4 1 2 4 1 2 求A 的滿秩分解 解 A C A BC B A1 A3 習題4 2 求A 的奇異值分解 解 A的奇異值是 2 1 diag 2 1 AA 的對應于特征值2 1的單位特征向量是 1 2 1 2 0 T 1 0 0 T A的奇異值分解是 習題4 1A與B酉等價 A與B奇異值相同 必要性 A UBV AA UBVV B U UBB U BB AA 與BB 有相同的特征值集 得證A與B有相同的奇異值集 充分性 作A B的奇異值分解A UDV B U1DV1 D diag 0 其中 是由它們的全部正奇異值組成的正對角矩陣 于是U AV D U1 BV1 A UU1 B V1V 因酉矩陣的乘積UU1 V1V 仍為酉矩陣 故上式表明A酉等價于B 習題4 2 4 2 設A Crm n U Um m V Un n使B U AV diag 0 diag b1 br 則 b1 br 為A的全部正奇異值 證 U AA U BB diag 0 寫成 2不對 diag b1 2 br 2 0 0 AA b1 br 為A的全部正奇異值 奇異值分解定理另一 更強 表述 定理 令 1 r為A Crm n的全部正奇異值 diag 1 r 則有U Um m V Un n使U AV D Crm n 反之 若有U Um m V Un n使 成立 其中 diag d1 dr i di 0 則d1 dr為A的全部正奇異值 奇異值分解的某種唯一性 證 AA UV VU UU diag d12 dr2 0 0 d1 dr為A的全部正奇異值 注 后半部等價于補充題4 2 4 3已知A奇異值求AT A A 1的奇異值 補充題4 3 令 1 r為A Crm n的全部正奇異值 diag 1 r 則有U Um m V Un n使A UV Udiag 0 V 易見A Vdiag 0 U AT Udiag 0 V T V Tdiag 0 UT 1 r為A AT 的全部正奇異值 利用奇異值分解定理的更強表述 A 1 U V 1 V 1U Vdiag 1 1 n 1 U 1 1 n 1為A 1的全部正奇異值 習題 5 1 2 試證 x y V x y x y 證 首先 x x y y x y y x y x y 其次 x y y x y x y x x y x y x y 此外 x y x y x y x y x y x y 習題 5 2試證 A nmaxi j aij 是矩陣范數(shù) A aij Cn n證 非負性 齊次性顯然 三角不等式 A B nmaxi j aij bij nmaxi j aij nmaxi j bij A B 相容性 AB nmaxi j ai1b1j ainbnj n2maxi t ait maxtj btj nmaxi j aij nmaxi j bij A B 習題 5 3設 是誘導范數(shù)detA 0 試證 A Cn n A 1 A 1和 A 1 1 minx 0 Ax x 證 1 E AA 1 A A 1 detA 0 A 0 A 1 1 A A 1 A 1 maxx 0 A 1x x maxy 0 y Ay y A 1x 0 x 0 maxy 0 1 Ay y 1 miny 0 Ay y A 1 1 minx 0 Ax x 同一向量的三種范數(shù)之間的大小關系 習題 5 4 對n維線性空間的任意向量x成立 x x 2 x 1 n x n x 2 n x 1 n2 x 證 x max x1 xn i 1n xi 2 1 2 x 2 x1 xn 2 1 2 x 1 nmax x1 xn n x 習題 5 6A Cn n是正定矩陣 x Cn 證明 x x Ax 1 2是向量范數(shù) 解1 因A是正定Hermite矩陣A 故存在可逆矩陣B使得A B B 則x的上述表示式可寫為 x x Ax 1 2 Bx Bx 1 2 Bx 2其中 2是向量2 范數(shù) 再注意可逆矩陣B的性質 x 0 Bx 0 即可直接推出非負性 kx B kx 2 k Bx 2 k x 推出齊次性 三角不等式則由下式推出 x y B x y 2 Bx 2 By 2 5 6A正定 定義x Cn x x Ax 1 2 試證 是一個向量范數(shù) 解2 驗證矩陣范數(shù)3條公理成立 前兩條顯然成立 只須證三角不等式 x y 2 x y A x y x y Ax Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x 2 y 2 2Re x Ay 令B為A的正定Hermite平方根 A BB 則x Ay x BBy Bx By Bx By 標準內積由Cauchy Schwarz不等式 2Re x Ay 2 x Ay 2 Bx Bx 1 2 By By 1 2 2 x y x y 2 x y 2 得證所需結論 習題 5 7 試找一個收斂的2階可逆方陣序列其極限矩陣不可逆解 下列矩陣序列滿足所提條件 Ak的行列式都大于0 故可逆 但極限矩陣是行列式不為0的不可逆矩陣 習題 5 9計算矩陣冪級數(shù) 試計算冪級數(shù) 解1 利用Jordan標準形B Pdiag 5 3 P 1 P 解2 利用譜半徑小于1的矩陣性質 B 0 5 1 E k 1 Bk E B 1 答案是 k 1 Bk 解3 也可利用 B B 1 B 0 9 1 補充題5 1 A i 試用歸納法證明 解 k 1時結論顯然成立 設k時結論已成立 來證k 1時結論必成立 ii 求 Ak Ak 1 Ak 解 Ak ak Ak 1 Ak ak kak 1 補充題5 1 已知A iii 求 A 2解 補充題5 2 試證 若 k 1 Ak絕對收斂 且則 k 1 Bk絕對收斂 解 k 1 Ak絕對收斂蘊涵對任意i j正項級數(shù)收斂 從而由正項級數(shù)比較判別法 對任意i j 正項級數(shù)收斂 從而得證矩陣級數(shù) k 1 Bk絕對收斂 補充題5 3 已知冪級數(shù) k 0 Ak是否收斂 若收斂 又收斂于什么矩陣 解 所以 k 0 Ak絕對收斂于下列矩陣 補充題5 4 試證 矩陣冪級數(shù)對一切A Cn n絕對收斂 解 因它所對應的數(shù)項冪級數(shù)的收斂半徑是所以 對一切A Cn n絕對收斂 補充題5 5下列矩陣冪級數(shù)是否絕對收斂 1 解 因A是上三角矩陣 不難看出它的特征值是1和2 從而其譜半徑是 2 1 R 所以 此矩陣冪級數(shù)發(fā)散 2 解 因 A 1 MAX 0 9 0 8 0 9 0 91 R 補充題5 5下列矩陣冪級數(shù)是否絕對收斂 3 解1 此矩陣冪級數(shù)對應冪級數(shù)的收斂半徑因 A MAX 1 7 1 9 1 9R 發(fā)散 解2 此矩陣冪級數(shù)等價于而的矩陣冪級數(shù)絕對收斂 B 0 95 1 習題 6 5 求已知矩陣A的最小多項式 已知A 解I 解II A dn Dn Dn 1 1 3 1 1 2 習題 6 5 求已知矩陣A的最小多項式 已知A 解I 因A E和A 2E都 0 并且 A 2E A E 0 故 A 2 1 習題 6 5 求已知矩陣A的最小多項式 已知A 解II A dn Dn Dn 1 2 1 2 1 2 1 習題 6 6已知矩陣A求f A 的Jordan表示式 已知A 解 因 A E A 2E 0 故 A 1 2 2 從而得A的初等因子為 1 2 2 設變換矩陣為P 1 2 3 則A 1 2 3 1 2 3 給出 A E 1 0 A 2E 2 0 A 2E 3 2解這些方程組求得P 1 2 3 習題 6 6續(xù) 注 f x arctg x 4 f x 補充題 6 1已知A和p 求p A 已知A p 4 2 3 1 f 12 4 11 4 10 3解I 易見的特征多項式D 2 3 A 2E 2 0 A 2E 0 A 2 2 2 4 4p 2 2 4 2 4 4 9 17 p A 0 9A 17E f 10 2 4 4 3 p A 0 A 3E 解II 由D 2 3 和 A 2 2 2 4 4A有Jordan標準形并有變換矩陣P滿足 補充題 6 2求已知A的Jordan標準形用于計算 已知A 求etA Sin A 解 det E A 3 3 8 2 1從而得A的初等因子為 1 1 設變換矩陣為P 1 2 則A 1 2 1 2 給出 A E 1 0 A E 2 0 解這些方程組求得P 1 2 補充題 6 2續(xù) 補充題 6 2續(xù) 注 也可直接計算Sin A 習題 8 1求已知矩陣A的全部減號逆 已知A 求它的全部減號逆解 習題 8 2求已知矩陣A的加號逆 已知A 求它的加號逆解 顯然 A是滿行秩 有秩分解 A E3A A A AA 1 習題 8 4 證明有關加號逆的等式 證明 AA