456章《控制工程基礎(chǔ)習(xí)題詳解》高等教育出版社 20106.pdf

第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 36 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 內(nèi)容提要 一 時(shí)間響應(yīng)的組成 任一穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可從兩方面分類 按振動(dòng)性質(zhì)可分為自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng) 按振動(dòng)來(lái)源 可分為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 控制工程所要研究的響應(yīng)往往是零狀態(tài)響應(yīng) 二 時(shí)域性能指標(biāo) 1 延遲時(shí)間 d t 2 上升時(shí)間 r t 2 1 n d r t 3 峰值時(shí)間 p t 2 1 n d p t 4 調(diào)節(jié)時(shí)間 s t 一階系統(tǒng) 05 0 3 02 0 4 Tt Tt s s 二階系統(tǒng) 05 0 3 02 0 4 n s n s t t 5 最大超調(diào)量 p M 100 2 1 eM p 6 穩(wěn)態(tài)誤差 ss e 三 穩(wěn)定性 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 37 1 穩(wěn)定性的概念 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為 系統(tǒng)特征方程的全部根都具有負(fù)實(shí)部 又由于系統(tǒng)特 征方程的根就是系統(tǒng)的極點(diǎn) 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件就是系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都在s平面 的左半平面 2 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 勞斯判據(jù)指出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 勞斯表中第一列元素全部大于零 若出現(xiàn)小 于零的元素 系統(tǒng)不穩(wěn)定 且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征 根的個(gè)數(shù) 四 穩(wěn)態(tài)偏差 1 參考輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差 00 lim lim 1 ss ss s s E sR s G s H s 2 干擾作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 1 lim lim 21 2 00 SN sHsGsG ssG sEse ss ssN 圖 4 1 參考輸入作用下系統(tǒng)方框圖 H s R s E s G s C s 圖 4 2 干擾作用下的反饋系統(tǒng)方框圖 H s R s 2 G s E s 1 G s C s N s 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 38 4 1 什么是時(shí)間響應(yīng) 時(shí)間響應(yīng)由哪兩部分組成 各部分的定義是什么 答 系統(tǒng)在外加作用 輸入 激勵(lì)下 其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系稱之為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 通過(guò)對(duì)時(shí)間響應(yīng)的分析可揭示系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性 任一系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成 瞬態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)受到外加作用激勵(lì)后 從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程稱為瞬態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí) 系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 瞬態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離系統(tǒng)希望值的程度可用來(lái)衡量系統(tǒng)的精確程 度 4 2 系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義是什么 答 一個(gè)控制系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中 當(dāng)受到擾動(dòng)作用時(shí) 就要偏離原來(lái)的平衡狀態(tài) 產(chǎn)生初始 偏差 所謂控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 就是指當(dāng)擾動(dòng)消失之后 系統(tǒng)從初始偏差恢復(fù)到原平衡狀態(tài) 的能力 4 3 一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是什么 答 系統(tǒng)特征方程的全部根都具有實(shí)部 或者說(shuō) 閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均在 s 平面的左 半部 4 4 如題圖 4 4 所示的電網(wǎng)絡(luò) 試求其單位階躍 響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng) 并畫出相 應(yīng)的響應(yīng)曲線 解 如圖 RC 電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為 1 1 G s RCs TRC 1 單位階躍響應(yīng) 11 tt RCT c tee 單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 4 a 所示 2 單位脈沖響應(yīng) R C c u r u 題圖 4 4 t0 1 tr tc 題圖 4 4 a 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 c t 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 39 11 tt RCT c tee TRC 單位脈沖響應(yīng)曲線如題圖 4 4 b 所示 3 單位斜坡響應(yīng) 1 1 tt RCT C ttTetRCe 單位斜坡響應(yīng)曲線如題圖 4 4 c 所示 4 5 設(shè)溫度計(jì)能在 1 分鐘內(nèi)指示出響應(yīng)值的 98 并且假設(shè)溫度計(jì)為一階系統(tǒng) 求時(shí)間常數(shù) 如果將此溫度計(jì)放在澡盆內(nèi) 澡盆的溫度依 10 min 的速度線性變化 求溫度計(jì)示值的誤 差是多大 解 該系統(tǒng)為一階系統(tǒng) 即 1 1 Ts sG 根據(jù)題意可知 41min T 即 15 Ts 所以 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為 1 151 G s s 又由于 2 1 6 R s s 所以 2 1 6 151 C sG s R s ss t 0 tr tc RCTess 題圖 4 4 c 系統(tǒng)的單位斜坡階躍響應(yīng)曲線 c t t 0 RC 1 tc 題圖 4 4 b 系統(tǒng)的單位脈沖階躍響應(yīng)曲線 c t 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 40 1 15 1 15 15 6 t c tte 1 1515 11 2 5 1 2 5 1 66 t t e tr tc tttee 當(dāng) t時(shí) 2 5 C ss e o 4 6 已知控制系統(tǒng)的微分方程為2 5 20 y ty tx t 試用拉氏變換法求該系統(tǒng)的單位 脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng) 并討論二者的關(guān)系 解 在零初始條件下 給上述微分方程的等號(hào)兩端取拉斯變換 得 2 5 20 sY sY sX s 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 208 2 510 4 G s ss 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 0 4 1 8 t y te 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 0 4 2 2020 t y te 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)曲線分別如題圖 4 6 a 和 4 6 b 所示 題圖 4 6 a 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 題圖 4 6 b 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 41 根據(jù)以上分析可知 單位脈沖函數(shù) t 為單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 則單位脈沖響應(yīng)為單 位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) MATLAB 參考程序 graph406 m G tf 8 1 0 4 figure 1 impulse G grid figure 2 step G grid 4 7 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 1 G s s s 試求系統(tǒng)的上升時(shí)間 峰值時(shí)間 最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 1 s ss 因?yàn)?2 1 n 所以 1 n 又因?yàn)?21 n 所以 0 5 111 r 22 coscos3 14cos0 5 t2 42 11 0 5 d n s 22 3 14 t3 63 110 5 p d n s 2 2 0 5 3 14 1 1 0 5 0 0 16 3 p Mee 33 6 0 02 0 5 s n ts 或者 44 8 0 05 0 5 s n ts 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 題圖 4 7 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 42 4 7 所示 MATLAB 參考程序 graph407 m G tf 1 1 1 1 figure step G grid hold off 4 8 設(shè)有一閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 22 2 2 nn n sssR sC s 為了使系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)有約 5 的超調(diào)量和 2 秒的調(diào)整時(shí)間 試求 和 n 解 由 2 1 00 5 p Me 解得 0 69 若0 02 4 2 s n t 則 22 2 9 0 69 n rad s 若0 05 3 2 s n t 則 33 2 17 22 0 69 n rad s 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 8 所示 MATLAB 參考程序 graph408 m G tf 8 41 1 4 8 41 figure step G grid hold off 4 9 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 6010 1 0 21 2 tt c tee 試求 1 該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 題圖 4 8 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 43 2 系統(tǒng)的阻尼比 和無(wú)阻尼固有頻率 n 解 1 單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 10 21 2 6010 C s sss 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 0 21 2600 1 601070600 ss s ssss 2 由系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)得 2 600 n 解得 10 624 495 n 270 n 解得 70 1 43 2 n 4 10 題圖 4 10 為某數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)的位置隨動(dòng)系統(tǒng)的方框圖 試求 1 阻尼比 及無(wú)阻尼比固有頻率 n 2 求該系統(tǒng)的 p M p t和 s t 解 1 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 9 1 2 ss s 由系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)得 39 2 nn 17 0 6 1 2 1 12 n n 2 2 2 0 17 1 1 0 17 58 8 p Mee 22 1 062 13 1 0 17 p d n ts 0 02 時(shí) 444 7 84 0 17 3 s nn ts 1 1 s s 9 a K R s C s 題圖 4 10 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 44 0 05 時(shí) 33 5 88 0 17 3 s n ts 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 10 a 所示 MATLAB 參考程序 graph410 m n1 9 d1 1 1 0 n2 1 d2 1 n d feedback n1 d1 n2 d2 figure step n d v 0 12 0 1 7 axis v 4 11 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 1 K G s Ts 求 1 2 0 20 TK 2 1 0 16 TK 3 1 5 2 TK 等三種情況時(shí)的單位階躍響應(yīng) 并分析開環(huán)增益K與 時(shí)間常數(shù)T對(duì)系統(tǒng)性能的影響 解 1 1 1 1 1 K KG sK s T G sTsK s K 時(shí)間常數(shù) 1 T T K 題圖 4 10 a 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 45 1 1 1 t T K K c te K 1 20 0 2 KT 0 01 0 95 1 t C te 2 16 0 1KT 0 06 0 94 1 t c te 3 2 5 1KT 0 29 0 71 1 t c te 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 11 a 4 11 b 和 4 11 c 所示 可見(jiàn) K 增大 使閉環(huán)增益增大 輸出穩(wěn)態(tài)值增大 更接近期望值 1 誤差減小 K 增 大 使閉環(huán)時(shí)間常數(shù)減小 響應(yīng)加快 T 增大 閉環(huán)時(shí)間常數(shù)增大 響應(yīng)變慢 MATLAB 參考程序 graph411 m n1 20 d1 0 2 1 nh 1 dh 1 n11 d11 feedback n1 d1 nh dh figure 1 step n11 d11 n2 16 d2 0 1 1 n21 d21 feedback n2 d2 nh dh figure 2 step n21 d21 n3 2 5 d3 1 1 n31 d31 feedback n3 d3 nh dh 題圖 4 11 a 20 0 2KT 時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 題圖 4 11 b 16 0 1KT 時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 題圖 4 11 c 2 5 1KT 時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 46 figure 3 step n31 d31 4 12 要使題圖 4 12 所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量等于 25 峰值時(shí)間 p t為 2 秒 試確定 f KK和的值 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 f K s sKK sK 因?yàn)?2 1 25 p Me 解得 0 4 又因?yàn)?2 2 1 p n t 解得 1 71 n 和二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式比較 有 22 1 712 92 n K 22 0 4 1 71 1 368 fn KK 解得 0 47 2 92 f KK 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 12 a 所示 MATLAB 參考程序 graph412 m n 2 92 d 1 2 92 0 47 2 92 G tf n d figure step G 4 13 對(duì)題圖 4 13 所示系統(tǒng) 試求 1 h K為多少時(shí) 0 5 2 單位階躍響應(yīng)的超調(diào) 量和調(diào)整時(shí)間 3 比較加入 1 h K s 與不加入 1 h K s 時(shí)系統(tǒng)的性能 題圖 4 12 2 1 s K R s C s 1 f K s 題圖 4 12 a 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 47 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 10 1 2 10 10 h h K s s sKs 1 因?yàn)?2 10 n 所以 3 16 n 又因?yàn)?2 102 hn K 且 0 5 所以 0 116 h K 2 2 0 5 3 14 1 1 0 5 2 100 100 16 3 p Mee 當(dāng)0 02 時(shí) 44 2 53 0 5 3 16 s n t 當(dāng)0 05 時(shí) 33 1 9 0 5 3 16 s n t 對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 13 a 所示 3 不加 1 h K s 時(shí) 2 10 210 G s ss 21 103 16 0 316 23 16 n n 對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線如題圖 4 13 b 所示 通過(guò)以上分析可知 有 1 h K s 時(shí) n 不變 增加 s t減小 相應(yīng)的快速性提高 p M 下降 動(dòng)態(tài)過(guò)程相對(duì)平穩(wěn) 10 2 s s 1 h K s R s C s 題圖 4 13 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 48 MATLAB參考程序graph413 m G1 tf 10 1 2 10 figure 1 step G1 G2 tf 1 16 10 1 3 16 10 figure 2 step G2 4 14 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 sss K sHsG 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)開環(huán)放大系數(shù) 開環(huán)增益 K值的范圍 解 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可得系統(tǒng)的特征方程為 32 D 320ssssK 列出勞斯表如下 3 s 1 2 2 s 3 K 1 s 6 3 K 0 s K 若系統(tǒng)穩(wěn)定 則 1 6 3 K 0 即K0 所以系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的范圍為 0 K 時(shí) 系統(tǒng)穩(wěn)定 2 值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能的影響 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 2 2 21 n n ssKss KK sG sK2 s1 1 K tr tc te 題圖4 21 控制系統(tǒng) 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 58 則 21K K n 12 5 0KK 因此 值通過(guò)影響阻尼比來(lái)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 值越小 阻尼比越小 超調(diào)量 越大 上升時(shí)間越短 3 值對(duì)系統(tǒng)斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知 該系統(tǒng)為 型系統(tǒng) 且靜態(tài)速度誤差系數(shù)為 1 KKv 則該系統(tǒng)對(duì)斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 1 1KKe vss 因此 值越大 系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差將越大 MATLAB仿真結(jié)果如題圖4 21 a b c d e f 所示 MATLAB 參考程序 graph421 m k1 10 k2 1 beta 0 1 2 10 for i 1 length beta num k1 k2 den 1 k2 beta i k1 k2 figure step num den grid on end beta 2 10 t 0 0 025 10 u t for i 1 length beta num k1 k2 den 1 k2 beta i k1 k2 figure lsim num den u t grid on end 第四章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 59 題圖4 21 a 0 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 題圖4 21 b 1 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 題圖4 21 c 2 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 題圖4 21 d 10 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 題圖4 21 e 2 系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線題圖4 21 f 10 系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 60 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 內(nèi)容提要 一 根軌跡的概念 當(dāng)開環(huán)某一參數(shù)由零到無(wú)窮大變化時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 閉環(huán)極點(diǎn) 在 s 平面上 變化的軌跡稱為根軌跡 二 繪制根軌跡的基本條件 根軌跡方程 1 1 1 m i i n j j Ksz sp nm 相角條件 12 ksHsG 或 12 11 kpszs n j j m i i 幅值條件 1 sHsG 即 1 1 1 m i i n j j Ksz sp 三 繪制根軌跡的基本規(guī)則 規(guī)則一 根軌跡的分支數(shù) 連續(xù)性 對(duì)稱性 分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù) 既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 即閉 環(huán)極點(diǎn) 在 s 平面上的分布 那么 根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù) 即 max m n 連續(xù)性 根軌跡是連續(xù)的曲線 對(duì)稱性 根軌跡對(duì)稱于 s 平面的實(shí)軸 規(guī)則二 根軌跡的始點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn) 終于開環(huán)零點(diǎn) 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 61 規(guī)則三 實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上的某一區(qū)域 若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零 極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù) 則該區(qū)域必在根軌跡 上 即 實(shí)軸上的根軌跡 其右邊開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù) 規(guī)則四 根軌跡的漸近線 漸近線與實(shí)軸的夾角 1 1 0 12 mnk mn k 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) mn zp n j m i ij a 11 規(guī)則五 根軌跡的分離點(diǎn) 分離點(diǎn)d的坐標(biāo)滿足 0 ds dK 或 n j j m i i pdzd 11 11 一般情況下 1 在實(shí)軸上 兩個(gè)相鄰極點(diǎn)間的根軌跡必有一分離點(diǎn) 2 在實(shí)軸上 兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的根軌跡必有一會(huì)合點(diǎn) 3 在實(shí)軸上 兩個(gè)相鄰的零極點(diǎn)間若存在根軌跡 則該段根軌跡上一般無(wú)會(huì)合點(diǎn) 4 實(shí)軸上 分離點(diǎn)的分離角恒為 90 規(guī)則六 根軌跡的起始角與終止角 出射角或入射角 起始角 1 111 180 mln plljljlj ijj l pzpppp o m 終止角 1 111 180 nlm zlljlili jii l zpzzzz o 規(guī)則七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值 方法 1 用勞斯判據(jù)求解 n 方法 2 用 js 直接代入特征方程 整理后令其實(shí)部 虛部分別為零 解得 n 和 K n 值即是根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo) K則為系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時(shí)的根軌跡增益 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 62 四 廣義根軌跡 1 參數(shù)根軌跡 它是以系統(tǒng)中任一參數(shù) 如開環(huán)零點(diǎn) 開環(huán)極點(diǎn) 時(shí)間常數(shù) 反饋比例 系數(shù)等 作為可變參量繪制的根軌跡 2 正反饋回路和零度根軌跡 有的閉環(huán)控制系統(tǒng)其內(nèi)環(huán)是一個(gè)正反饋回路 正反饋回路 的根軌跡被稱為零度根軌跡 它的繪制方法有別于負(fù)反饋回路的根軌跡 繪制零度根軌跡時(shí) 只需把常規(guī)根軌跡的畫法規(guī)則中 與相角條件有關(guān)的3條加以修改 即可 規(guī)則三 實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上的某一區(qū)域 若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零 極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù) 則該區(qū)域必在根軌 跡上 即 實(shí)軸上的根軌跡 其右邊開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù) 規(guī)則四 根軌跡的漸近線 漸近線與實(shí)軸的夾角 1 1 0 2 mnk mn k 規(guī)則六 根軌跡的起始角與終止角 出射角或入射角 起始角 1 111 mln plliljlj ijj l pzpppp 終止角 1 111 nlm zlljlili jii l zpzzzz 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 63 5 1 已知開環(huán)零 極點(diǎn)分布如題圖 5 1 所示 試概略繪制相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡 5 2 繪制具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)的負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡圖 1 5 4 sss K sHsG 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 5 4 sss K sHsG 起點(diǎn) 5 4 0 321 ppp 終點(diǎn) 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 4 0 和 5 根軌跡的漸近線 045 3 3 a 3 a 分離點(diǎn) 111 0 45 ddd 47 1 d 與虛軸的交點(diǎn) 題圖 5 1 a j 0 b j 0 c 0 j d j 0 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 64 用 js 直接代入特征方程求解 這時(shí)閉環(huán)極點(diǎn) js 由 1 0G s H s 有 1 0G jH j 又由 Re 1 0 Im 1 0 G jH j G jH j 解臨界增益值 K和與虛軸的交點(diǎn) 09 2 K 020 3 jj 聯(lián)立解上述方程式 得 18020 c K 根據(jù)以上幾點(diǎn)可繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡如題圖 5 2 a 所示 2 3 2 5 sss sK sHsG 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 5 2 3 Ks G s s ss d 3 5 0 4 2 6 2 2 2 j 題圖 5 2 a K K K 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 65 起點(diǎn) 3 2 0 321 ppp 終點(diǎn) 5 1 z兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 2 0 和 3 5 根軌跡的漸近線 0 2 532 a 2 a 根軌跡的分離點(diǎn) 根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)滿足 1111 235dddd 通過(guò)試湊可得 1 0 89d 根據(jù)以上幾點(diǎn)可繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡如題圖 5 2 b 所示 3 84 2 sss K sHsG 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 84 2 sss K sHsG 起點(diǎn) 22 22 0 321 jpjpp 終點(diǎn) 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 0 根軌跡的漸近線 022224 33 a jj 3 a 與虛軸的交點(diǎn) d 5 0 4 11 1 1 j 題圖 5 2 b 2 3 K K K 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 66 用 js 直接代入特征方程求解 這時(shí)閉環(huán)極點(diǎn) js 由 1 0G s H s 有 1 0G jH j 又由 Re 1 0 Im 1 0 G jH j G jH j 解臨界增益值 K和與虛軸的交點(diǎn) 04 2 K 08 3 jj 聯(lián)立解上述方程式 得 3222 c K 根據(jù)以上幾點(diǎn)可繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡如題圖 5 2 c 所示 4 1010 1010 20 jsjss sK sHsG 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1010 1010 20 jsjss sK sHsG 起點(diǎn) 123 1010 1010 0pjpjp 終點(diǎn) 1 20z 兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 20 0 0 4 11 2 2 j 題圖 5 2 c 2 3 4 4 K K K 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 67 漸近線 2 0 aa 根軌跡起始角 11 12 13 1 21 21 23 2 18018045901350 18018045902250 oooooo oooooo pz pppp p pz pp pp p 根據(jù)以上幾點(diǎn)可繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡如題圖 5 2 d 所示 5 3 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 22 1 2 ssTss K sHsG 試?yán)L制當(dāng)4 K時(shí) 以T為參變量的根軌跡 解 當(dāng)4 K時(shí) 系統(tǒng)的特征方程式為 0 22 1 4 1 1 2 ssTss sHsG 則 04 22 1 2 ssTss 將上式展開 用不含 T 的項(xiàng)去除各項(xiàng) 得 432 32 22 10 224 T sss sss 令 432 32 22 224 T sss G s H s sss 為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù) 根據(jù)等效傳遞函數(shù) 可得 0 20 5 5 10 10 j 題圖 5 2 d 10 15 20 20 K K K 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 68 起點(diǎn) 123 2 2 2ppjpj 終點(diǎn) jzjzzz 1 1 0 4321 實(shí)軸上的根軌跡 2 實(shí)軸上的分離點(diǎn) 1111111 2 1 1 22ddddjdjdjdj 通過(guò)試湊解得 3 15d 根據(jù)以上幾點(diǎn)可繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡如題圖 5 3 所示 5 4 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 ss K sHsG 1 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖 2 確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的 K值 3 確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍 解 起點(diǎn) 123 0 1ppp 終點(diǎn) 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 1 0 和 1 題圖5 3 j 0 50 1 2 3 1 1 1 5 1 5 T T T 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 69 根軌跡的漸近線 3 2 3 11 a 3 a 實(shí)軸上的分離點(diǎn) 根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)滿足 111 0 11 ddd 得 0 33 d 0 148 d K 與虛軸的交點(diǎn) 第一種解法 用勞斯判據(jù)計(jì)算 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 1 0G s H s 即 02 23 Ksss 由上式列勞斯表 0 1 2 3 2 2 2 11 Ks K s Ks s 由勞斯表可知 當(dāng) 2 K時(shí) 表中第一列所有元素均大于零 系統(tǒng)穩(wěn)定 當(dāng) 2 K時(shí) 系 統(tǒng)不穩(wěn)定 即2 K 是系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界值 并且當(dāng)2 K時(shí) 系統(tǒng)特征方程的兩個(gè)根為 js 2 1 即1 c 第二種解法 用 js 直接代入特征方程求解 這時(shí)閉環(huán)極點(diǎn) js 由 1 0G s H s 有 1 0G jH j 又由 Re 1 0 Im 1 0 G jH j G jH j 解臨界增益值 K和與虛軸的交點(diǎn) 02 2 K 0 3 jj 聯(lián)立解上述方程式 得 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 70 1 c 2 c K 使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍 20 K 時(shí) 表中第一列所有元素均大于零 系統(tǒng)穩(wěn)定 當(dāng)126K 系統(tǒng)都穩(wěn)定 MATLAB參考程序grap58 m n 4 3 1 d 3 5 1 0 rlocus n d 5 9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如題圖 5 9 所示 試?yán)L制以 為可變 參數(shù)的根軌跡 并由根軌跡圖回答下列問(wèn)題 1 確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的 值及使系統(tǒng)穩(wěn)定的 值的范圍 2 確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)時(shí) 值 1 25 0 2 ss s sR sC 題圖5 9控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 題圖5 8 系統(tǒng)的根軌跡 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 76 的取值范圍 3 確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)有超調(diào)時(shí) 值的取值范圍 4 系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩 時(shí)的振蕩頻率 解 1 系統(tǒng)的特征方程為 025 025 0 23 ssssD 等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 22 5 0 5 0 25 0 25 0 25 0 ss K sssss sG 即 等效開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡增益為 25 0 K 起點(diǎn) 5 0 0 3 21 pp 終點(diǎn) 無(wú)窮遠(yuǎn)處 實(shí)軸上的根軌跡 0 5 和 0 5 0 漸近線 0 50 51 33 a 3 a 分離點(diǎn) 0 5 0 21 dd 解得 6 1 d 0185 0 d K 即074 0 d 與虛軸的交點(diǎn) 令 js 代入特征方程 由 1 0G s H s 有 1 0G jH j 又由 Re 1 0 Im 1 0 G jH j G jH j 解臨界增益值 K和與虛軸的交點(diǎn) 0 2 K 025 0 3 jj 聯(lián)立解上述方程式 得 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 77 5 0 c 25 0 c K 即 1 c 仿真曲線如題圖 5 9 a 和 5 9 b 所示 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的 值為 1 使系統(tǒng)穩(wěn)定的 值的范圍 10 2 系統(tǒng)階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)時(shí) 值的取值范圍 074 00 3 系統(tǒng)階躍響應(yīng)有超調(diào)時(shí) 值的取值范圍 1074 0 4 系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩時(shí)的振蕩頻率 srad c 5 0 MATLAB 參考程序 grap59 m K 1 z p 0 0 5 0 5 n d zp2tf z p K rlocus n d 5 10 已知多項(xiàng)式 3 33 234 sKsssssA 其中K為實(shí)數(shù) 若要求0 sA的 根都為復(fù)數(shù) 試確定K的變化范圍 解 根據(jù)題意 可得等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 3234 1 3 33 3 ss sK ssss sK sG 起點(diǎn) 1 0 43 21 pp 終點(diǎn) 3 1 z和 三個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡 3 和 1 0 題圖 5 9 b 2 0 5 K s s 根軌跡的分離點(diǎn)和臨界點(diǎn)信息 題圖 5 9 a 2 0 5 K s s 的根軌跡圖 第五章 根軌跡設(shè)計(jì)方法 78 漸近線 0 3 33 a 3 a 分離點(diǎn) 3 1 1 31 ddd 解得 268 0 1 d 732 3 2 d 0385 0 1 d K 96 103 2 d K 因此 若要求0 sA的根都為復(fù)數(shù) 則K的變化范圍為96 1030385 0 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線具有以下規(guī)律 1 起始段 0 1 對(duì)于0型系統(tǒng) 0 由于 0G jKG j 則極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)是位于 實(shí)軸上的有限值 2 對(duì)于 型系統(tǒng) 1 由于 90G jG j 在低頻時(shí) 極坐標(biāo)圖是 一條漸近線 它趨近于一條平行于負(fù)虛軸的直線 3 對(duì)于 型系統(tǒng) 2 由于 180G jG j 在低頻時(shí) 極坐標(biāo)圖 是一條漸近線 它趨近于一條平行于負(fù)實(shí)軸的直線 2 終止段 對(duì)于0型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 0 90G jG jnm 因此 對(duì)于任何mn 的系統(tǒng) 時(shí)的極坐標(biāo)圖的幅值必趨于零 而相角趨于 90nm 三 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 繪制系統(tǒng)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般步驟如下 第六章 頻率特性分析 80 1 由傳遞函數(shù) sG 求出頻率特性 jG 并將 jG 轉(zhuǎn)化為若干個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的典型環(huán)節(jié)頻率特 性相乘的形式 2 確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 3 分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線 4 將各個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線進(jìn)行疊加 不包括系統(tǒng)總的增益K 5 將疊加后的曲線垂直移動(dòng)到 Klg20 得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性 6 修正誤差 畫出比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性 7 畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性 將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性 四 穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕度 1 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 當(dāng) 由 到 時(shí) 若GH平面上的開環(huán)頻率特性 G jH j 的奈奎斯特圖逆時(shí) 針?lè)较虬鼑?1 j0 點(diǎn)P圈 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 P為 G jH j 在s平面的右半平面的極點(diǎn) 數(shù) 2 伯德穩(wěn)定判據(jù) 在伯德圖上 當(dāng) 由0 時(shí) 在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi) 開環(huán)對(duì)數(shù) 相頻特性對(duì)180 o線正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為 2 p 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 否則不穩(wěn)定 其中P為 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù) 而從180 o線開始的正或負(fù)穿越 以半次 正或負(fù)穿越計(jì)算 若 sHsG含有v個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí) 則應(yīng)由0 處給對(duì)數(shù)相頻曲線突加v個(gè) 90o 以虛線表示 計(jì)算正 負(fù)穿越時(shí) 補(bǔ)上的虛線看成對(duì)數(shù)相頻曲線的一部分 3 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 1 相位裕度 在幅值穿越頻率 c 上 使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相角滯后量 叫相位裕度 以 表示 即 180 c 180 180 ccc jHjG 2 幅值裕度 g K 在相位穿越頻率 g 上 使1 gg jHjG 所應(yīng)增大的開環(huán)增益倍數(shù) 叫幅值裕度 第六章 頻率特性分析 81 以 g K表示 即1 ggg jHjGK 幅值裕度的分貝值可用下式計(jì)算 lg20lg20 gggg jHjGKdBK 3 若0 且 0 g KdB 則系統(tǒng)穩(wěn)定 為了使系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定裕度和獲得良好 的動(dòng)態(tài)性能 一般要求相角裕度30 70 oo 幅值裕度5 2 2 g K或8 6 dBKg 第六章 頻率特性分析 82 6 1 什么是系統(tǒng)的頻率特性 答 當(dāng)不斷改變輸入的正弦波頻率 由0變化到無(wú)窮大 時(shí) 該幅值比和相位差隨頻率 的變化情況稱為系統(tǒng)的頻率特性 6 2 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 49 11 80 8 tt c tee 0 t 試求系統(tǒng)幅頻特性和相 頻特性 解 49 11 80 8 tt c tee 11 80 8 49 C s sss 11 80 8 36 49 1 4 9 C s sss C ss R ss R sss s 22 36 49 1681 Aarctgarctg 6 3 由質(zhì)量 彈簧 阻尼組成的機(jī)械系統(tǒng)如題圖 6 3 所示 已知 kkgm 1 為彈簧剛度 c 為阻尼系數(shù) 若外力 2sin2 Nttf 由試驗(yàn)得到 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 2 2sin txoss 試確定k和c 解 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2 2 1 1 G s mscsk G j kmj 由 2sin2f tt 可知 2 r A 且 sin 2 2 oss Xt 所以 1 1 2 cr AG jAG j 根據(jù) sin 2 2 oss xt 可知 2 limarctan 2 c km 因?yàn)?1 2mkg 所以有 22 11 2 4 4kc c m k tf 0 tx 題圖6 3 第六章 頻率特性分析 83 2 arctan 42 c k 解得 4 1 kN mcNs m 6 4 試求下列系統(tǒng)的幅頻 相頻 實(shí)頻和虛頻特性 A U V 1 130 5 s sG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 2 55 130 3011 900 j G j j 所以 有 2 5 30 9001 Aarctg 22 5150 1 9001 900 UV 2 11 0 1 ss sG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 2 10 1 0 11 1 0 01 j G j jj 所以 有 2 1 900 1 0 011 Aarctg o 22 0 11 1 0 01 1 0 01 UV 6 5 設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 10 1 G s s 當(dāng)系統(tǒng)作用以下輸入信號(hào) 試求 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差 1 30sin 0 ttr 解 根據(jù)已知 可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù) 10 11 s s 1 11 e s s s 相應(yīng)的頻率特性為 第六章 頻率特性分析 84 10 11 j j 1 11 e j j j 2 10 11 121 Aarctg 2 2 1 arctanarctan 11 121 ee A 1 10 1 0 9 122 A 1 1 5 19 11 arctg o 1 0 9sin 305 19 0 9sin 24 81 ss cttt ooo 2 1 0 128 122 e A 1 1 arctan1 arctan39 8 11 e o 1 0 128sin 3039 8 0 128sin 69 8 ss ettt ooo MATLAB 驗(yàn)證 當(dāng) 30sin 0 ttr時(shí) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng)曲線如題圖 6 5 a 和 6 5 b 所示 2 452cos 2 0 ttr 解 10 2 0 89 125 A 2 2 10 3 11 arctg o 2 2 0 89cos 24510 3 1 78cos 255 3 ss cttt ooo 5 2 0 2 125 e A 2 2 arctan2arctan53 13 11 e o 2 2 0 2cos 24553 13 0 4cos 28 13 ss ettt ooo 第六章 頻率特性分析 85 MATLAB驗(yàn)證 當(dāng) 452cos 2 0 ttr時(shí) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng)如題圖6 5 c 和 6 5 d 所示 3 452cos 2 30sin 00 tttr 解 因?yàn)?312 r tr tr t 所以 有 312 0 9sin 24 81 1 78cos 255 3 ssssss ctctcttt oo 312 0 128sin 69 8 0 4cos 28 13 ssssss etetettt oo MATLAB 驗(yàn)證 當(dāng) 452cos 2 30sin 00 tttr時(shí) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差響 應(yīng)如題圖 6 5 e 和 6 5 f 所示 題圖6 5 a sin 30 r tt o 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng) 題圖6 5 b sin 30 r tt o 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng) 第六章 頻率特性分析 86 題圖6 5 c 2cos 245 r tt o 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng) 題圖6 5 e sin 30 2cos 245 r ttt oo 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng) 題圖6 5 d 2cos 245 r tt o 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng) 第六章 頻率特性分析 87 MATLAB參考程序graph605 m t 0 0 1 20 G1 tf 10 1 11 G2 tf 1 1 1 11 r1 sin t pi 6 r2 2 cos 2 t pi 4 r3 sin t pi 6 2 cos 2 t pi 4 figure 1 lsim G1 r1 t grid figure 2 lsim G2 r1 t grid figure 3 lsim G1 r2 t grid figure 4 lsim G2 r2 t grid figure 5 lsim G1 r3 t grid figure 6 lsim G2 r3 t grid 6 6 畫出下列各開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖 并判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定 1 11 0 1 100 ss sHsG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 2 22 100 1 0 1 1 1 100 1 0 11 1 1 0 01 j G jH j jj 01 01 1 110 01 01 1 1 01 100 2222 2 j 題圖6 5 f sin 30 2cos 245 r ttt oo 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng) 第六章 頻率特性分析 88 當(dāng)0 時(shí) 100 Re jHjG 0 Ie jHjG 0 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 180 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 和第 象限間變化 且不包圍點(diǎn) 1 j0 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 a 所示 該系統(tǒng)穩(wěn)定 2 105 0 12 0 15 0 100 sss sHsG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 100 0 51 0 21 0 051 G jH j jjj 23 222 100 1 0 135 0 0050 75 1 0 25 1 0 04 1 0 0025 j 2 222 3 222 100 1 0 135 1 0 25 1 0 04 1 0 0025 100 0 0050 75 1 0 25 1 0 04 1 0 0025 j 當(dāng)0 時(shí) 100 Re jHjG 0 Ie jHjG 0 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 270 與實(shí)軸的交點(diǎn) 題圖6 6 b 105 0 12 0 15 0 100 sss sHsG 的奈奎斯特圖 題圖6 6 a 11 0 1 100 ss sHsG 的奈奎斯特圖 第六章 頻率特性分析 89 令 0 Ie jHjG 解得 3 14 x 則 05 5 Re xx jHjG 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 和第 象限間變化 且包圍點(diǎn) 1 j0 兩圈 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 b 所示 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 3 11 0 1 200 sss sHsG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 01 01 1 1 0 1 1200 11 0 1 200 222 32 j jjj jHjG 01 01 1 11 0 200 01 01 1 220 22 2 22 j 當(dāng)0 時(shí) 220 Re jHjG Ie jHjG 90 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 270 與實(shí)軸的交點(diǎn) 令 0 Ie jHjG 解得 16 3 x 則 1 18 Re xx jHjG 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 和第 象限間變化 且包圍點(diǎn) 1 j0 兩圈 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 c 所示 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 題圖6 6 c 11 0 1 200 sss sHsG 的奈奎斯特圖 題圖6 6 d 13 12 1 10 sss sHsG 的奈奎斯特圖 第六章 頻率特性分析 90 4 13 12 1 10 sss sHsG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 91 41 1 66 111 10 13 12 1 10 222 32 j jjj jHjG 91 41 1 66 10 91 41 1 111 10 222 3 222 2 j 當(dāng)0 時(shí) 10 Re jHjG 0 Ie jHjG 0 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 270 與實(shí)軸的交點(diǎn) 令 0 Ie jHjG 解得 1 x 則 1 Re xx jHjG 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 和第 象限間變化 且過(guò)點(diǎn) 1 j0 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 d 所示 該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 5 s sHsG 01 01 1 解 系統(tǒng)的頻率特性為 222 0001 01 01 0 0001 01 1 0001 01 01 01 01 01 1 j j j jHjG 當(dāng)0 時(shí) 1 Re jHjG 0 Ie jHjG 0 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 90 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 象限間變化 不包圍點(diǎn) 1 j0 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 e 所示 由于該系統(tǒng)在 s 右半平面有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn) 所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定 6 11 0 1 ss sHsG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 2222 2 j j jj jHjG 當(dāng)0 時(shí) 1 0 Re jHjG Ie jHjG 90 第六章 頻率特性分析 91 當(dāng) 時(shí) Re jHjG Ie jHjG 180 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 象限間變化 不包圍點(diǎn) 1 j0 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 f 所示 該系統(tǒng)穩(wěn)定 7 11 0 15 0 1 sss sHsG 解 系統(tǒng)的頻率特性為 01 01 25 01 05 0 6 0 11 0 15 0 1 222 32 j jjj jHjG 01 01 25 01 105 0 01 01 25 01 6 0 22 2 22 j 當(dāng)0 時(shí) 6 0 Re jHjG Ie jHjG 90 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 270 與實(shí)軸的交點(diǎn) 令 0 Ie jHjG 解得 47 4 x 則 08 0 Re xx jHjG 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 和第 象限間變化 且包圍點(diǎn) 1 j0 兩圈 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 g 所示 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 8 14 16 0 50 2 ss s sHsG 題圖6 6 e s sHsG 01 01 1 的奈奎斯特圖 題圖6 6 f 11 0 1 ss sHsG 的奈奎斯特圖 第六章 頻率特性分析 92 解 系統(tǒng)的頻率特性為 161 170 161 4 21 50 161 4 34 21 50 14 16 0 50 2222 2 22 2 2 j j j j jHjG 當(dāng)0 時(shí) Re jHjG Ie jHjG 90 當(dāng) 時(shí) 0 Re jHjG 0 Ie jHjG 180 系統(tǒng)的奈奎斯特圖在第 象限間變化 順時(shí)針包圍點(diǎn) 1 j0 兩圈 MATLAB 驗(yàn)證如題圖 6 6 h 所示 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 MATLAB參考程序graph606 m G1 tf 100 conv 1 1 0 1 1 figure 1 re im nyquist G1 plot re im v1 10 110 60 10 axis v1 xlabel Real Axis ylabel Imaginary Axis title Nyquist Diagram G2 tf 100 conv 0 5 1 conv 0 2 1 0 05 1 figure 2 re im nyquist G2 plot re im v2 20 100 70 10 axis v2 xlabel Real Axis ylabel Imaginary Axis title Nyquist Diagram G3 tf 200 conv 1 0 conv 1 1 0 1 1 figure 3 re im nyquist G3 plot re im v3 30 1 5 3 axis v3 題圖6 6 g 11 0 15 0 1 sss sHsG 的奈奎斯特圖 題圖6 6 h 14 16 0 50 2 ss s sHsG 的奈奎斯特圖 第六章 頻率特性分析 93 xlabel Real Axis ylabel Imaginary Axis title Nyquist Diagram G4 tf 10 conv 1 1 conv 2 1 3 1 figure 4 re im nyquist G4 plot re im v4 3 11 8 1 axis v4 xlabel Real Axis ylabel Imaginary Axis title Nyquist Diagram G5 tf 1 0 01 1 figure 5 re im nyquist G5 plot re im v5 0 1 1 1 0 1 0 6 axis v5 xlabel Real Axis ylabel Imaginary Axis title Nyquist Diagram G6 tf 1 0 1 1 0 figure 6 re im nyquist G