高等數(shù)學(xué)習(xí)題答案4.doc

四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 驗(yàn)證函數(shù) 在上滿足羅爾定理的條件，并求出相應(yīng)的，使.解：在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，顯然滿足羅爾定理的三個(gè)條件.，若令，則有.2. 下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的三個(gè)條件?有沒(méi)有滿足定理結(jié)論中的 ?解：，且連續(xù)、可導(dǎo)，滿足羅爾定理中的三個(gè)條件. ，若令，則有.解：函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，故不滿足羅爾定理的條件.解：函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，故不滿足羅爾定理的條件.3. 不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間.解：，根據(jù)羅爾定理知：存在，使得;同理，根據(jù)羅爾定理知：存在，使得;又由于是二次方程，最多只有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故的兩個(gè)實(shí)根分別為，.4. 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性.解：割線的斜率， ，若令，則有.5. 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明：構(gòu)造函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且，根據(jù)羅爾定理：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，進(jìn)而得到.6. 若方程有一個(gè)正根,證明方程必有一個(gè)小于的正根.解：令， 方程有正根，即，同時(shí)，得到，根據(jù)羅爾定理，存在，使得，即必有一個(gè)小于的正根.7. 設(shè),且,在上存在，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使解：，根據(jù)羅爾定理：存在，使得;，根據(jù)羅爾定理：存在，使得;由在上存在，得到在上連續(xù)且可導(dǎo)，又，根據(jù)羅爾定理知：存在，使得.8. 利用洛必達(dá)法則求下列極限.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 9設(shè)=5,求常數(shù)m,n的值解：由，得到; 由，得到.10設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,試證g(x)= 可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)解：當(dāng)時(shí)，顯然連續(xù);當(dāng)時(shí)，; 在點(diǎn)的函數(shù)值和極限值相等，故在點(diǎn)也連續(xù);綜上得到可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).11求下面函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值(1) 解：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為，; 單調(diào)減區(qū)間為; (2)解：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為; 單調(diào)減區(qū)間為; 12. 試證方程只有一個(gè)根.解：構(gòu)造函數(shù)，顯然連續(xù). ， 因此，根據(jù)零點(diǎn)定理：存在，使得. 又，只在一些孤立點(diǎn)上的值為，因此嚴(yán)格單調(diào)遞減，只能存在唯一的一個(gè)根.13. 已知，若f(0) = 0, f (x)在內(nèi)存在且單調(diào)增加，證明在內(nèi)也單調(diào)增加.解：令，則， 其中 由于函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即單調(diào)增加.14.證明下列不等式(1) 1+x, x0； 解：構(gòu)造函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)增加，且，則時(shí)恒成立，即證.(2) x-ln(1+x)x, x0解：構(gòu)造函數(shù) 構(gòu)造函數(shù)15. 試問(wèn)為何值時(shí)，在處取得極值?是極大值還是極小值?并求出此極值.解：，令，則; ，該點(diǎn)是極大點(diǎn).16.討論下列函數(shù)的凸性，并求曲線的拐點(diǎn)：(1) 解：， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)下凸;當(dāng)時(shí)，函數(shù)上凸;拐點(diǎn)為.(2) 解：(3) 解：17.利用函數(shù)的凸性證明下列不等式：(1) ， xy解：構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)下凸;根據(jù)下凸的定義有：，即.(2) xlnx+ylny(x+y)ln,x0,y0,xy解：構(gòu)造函數(shù)18 當(dāng)a，b為何值時(shí)，點(diǎn)(1，3)為曲線y=a+b的拐點(diǎn) 解：，復(fù)習(xí)題四 一、填空1設(shè)，則在之間滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的.2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使 成立3的單增區(qū)間是，單減區(qū)間是.4若點(diǎn)為曲線為拐點(diǎn)，則 ，5曲線的水平漸近線為，鉛垂?jié)u近線為二、選擇1函數(shù)具有下列特征：當(dāng)時(shí)，(0,1)oyx，則其圖形為 B yx(0,1)o（A） （B） ox(0,1)yoyx(0,1)（C） （D） 2設(shè)在上連續(xù)，且不恒為常數(shù)，則在內(nèi) A （A）必有最大值或最小值 （B）既有極大值又有極小值 （C）既有最大值又有最小值 （D）至少存在一點(diǎn)，使三求極限解：洛必達(dá)法則得到極限為.四證明